Svag ekvivalens (homotopi teori)

Inom matematiken är en svag ekvivalens en föreställning från homotopiteorin som i någon mening identifierar objekt som har samma "form". Detta begrepp är formaliserat i den axiomatiska definitionen av en modellkategori .

En modellkategori är en kategori med klasser av morfismer som kallas svaga ekvivalenser, fibrationer och kofibreringar , som uppfyller flera axiom. Den associerade homotopikategorin för en modellkategori har samma objekt, men morfismerna ändras för att göra de svaga ekvivalenserna till isomorfismer . Det är en användbar observation att den associerade homotopikategorin endast beror på de svaga ekvivalenserna, inte på fibrerna och samfibrerna.

Topologiska utrymmen

Modellkategorier definierades av Quillen som en axiomatisering av homotopi-teorin som gäller topologiska rum , men också många andra kategorier inom algebra och geometri . Exemplet som startade ämnet är kategorin topologiska utrymmen med Serre-fibrationer som fibrationer och svaga homotopi-ekvivalenser som svaga ekvivalenser (samfibreringarna för denna modellstruktur kan beskrivas som tillbakadragningarna av relativa cellkomplex X ⊆ Y ). Per definition kallas en kontinuerlig mappning f : X → Y av utrymmen en svag homotopi-ekvivalens om den inducerade funktionen på uppsättningar av vägkomponenter

$f_{*}\colon \pi _{0}(X)\to \pi _{0}(Y)$

är bijektiv , och för varje punkt x i X och varje n ≥ 1, den inducerade homomorfismen

$f_{*}\colon \pi _{n}(X,x)\to \pi _{n}( Y,f(x))$

på homotopigrupper är bijektiv. (För X- och Y -väganslutna är det första villkoret automatiskt, och det räcker med att ange det andra villkoret för en enda punkt x i X .)

För enkelt sammankopplade topologiska utrymmen X och Y är en karta f : X → Y en svag homotopiekvivalens om och endast om den inducerade homomorfismen f _* : H _n ( X , Z ) → H _n ( Y , Z ) på singulära homologigrupper är bijektiv för alla n . På samma sätt, för enkelt sammankopplade utrymmen X och Y , är en karta f : X → Y en svag homotopi-ekvivalens om och endast om pullback-homomorfismen f *: H ⁿ ( Y , Z ) → H ⁿ ( X , Z ) på singular kohomologi är bijektiv för alla n .

Exempel: Låt X vara mängden naturliga tal {0, 1, 2, ...} och låt Y vara mängden {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, ...}, båda med subrymdstopologi från den verkliga linjen . Definiera f : X → Y genom att mappa 0 till 0 och n till 1/ n för positiva heltal n . Då f kontinuerlig, och i själva verket en svag homotopi-ekvivalens, men det är inte en homotopi-ekvivalens .

Homotopikategorin för topologiska utrymmen (erhållen genom att invertera de svaga homotopiekvivalenserna) förenklar kategorin topologiska utrymmen avsevärt. Denna homotopikategori är faktiskt ekvivalent med kategorin CW-komplex där morfismer är homotopiklasser av kontinuerliga kartor.

Många andra modellstrukturer i kategorin topologiska utrymmen har också beaktats. Till exempel, i Strøm-modellstrukturen på topologiska utrymmen, är fibrerna Hurewicz-fibrationerna och de svaga ekvivalenserna är homotopi-ekvivalenserna.

Kedjekomplex

Några andra viktiga modellkategorier involverar kedjekomplex . Låt A vara en Grothendieck abelisk kategori , till exempel kategorin moduler över en ring eller kategorin buntar av abelska grupper på ett topologiskt utrymme. Definiera en kategori C ( A ) med objekt komplexen X av objekt i A ,

$\cdots \to X_{1}\to X_{0}\to X_{-1}\to \cdots ,$

och morfiserar kedjekartorna . (Det motsvarar att betrakta "samkedjekomplex" av objekt av A , där numreringen skrivs som

$\cdots \to X^{-1}\to X^{0}\to X^{1}\to \cdots ,$

helt enkelt genom att definiera X ⁱ = X _{− i} .)

Kategorin C ( A ) har en modellstruktur där kofibrationerna är monomorfismerna och de svaga ekvivalenserna är kvasiisomorfismerna . Per definition är en kedjekarta f : X → Y en kvasi-isomorfism om den inducerade homomorfismen

$f_{*}\colon H_{n}(X)\to H_{n}(Y)$

på homologi är en isomorfism för alla heltal n . (Här H _n ( X ) objektet för A definierat som kärnan av X _n → X _{n −1} modulo bilden av X _{n +1} → X _n .) Den resulterande homotopikategorin kallas den härledda kategorin D ( A ) .

Triviala fibrer och triviala samfibrer

I vilken modellkategori som helst kallas en fibration som också är en svag ekvivalens en trivial (eller acyklisk ) fibration . En cofibration som också är en svag ekvivalens kallas en trivial (eller acyklisk ) cofibration .

Anteckningar

•   , "Sheafifiable homotopy model categories", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 129 : 447–473, arXiv : math/0102087 , Bibcode : 2000MPCPS.129 ..417B/501 ..417B / 501 ..4101 00004722 , MR 1780498
•    Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology , Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0 , MR 1867354
•    Hovey, Mark (1999), Model Categories (PDF) , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-1359-5 , MR 1650134
•   Strøm, Arne (1972), "The homotopy category is a homotopy category", Archiv der Mathematik , 23 : 435–441, doi : 10.1007/BF01304912 , MR 0321082