Skelett (kategoriteori)

För annan användning, se Skelett (disambiguation) .

Inom matematiken är ett skelett av en kategori en underkategori som grovt sett inte innehåller några främmande isomorfismer . I en viss mening är skelettet i en kategori den "minsta" ekvivalenta kategorin, som fångar alla "kategoriska egenskaper" hos originalet. Faktum är att två kategorier är likvärdiga om och bara om de har isomorfa skelett. En kategori kallas skelett om isomorfa objekt nödvändigtvis är identiska.

Definition

Ett skelett av en kategori C är en ekvivalent kategori D där inga två distinkta objekt är isomorfa. Det anses allmänt vara en underkategori. I detalj är ett skelett av C en kategori D så att:

• D är en underkategori av C : varje objekt av D är ett objekt av CO

${\displaystyle \mathrm {Ob} (D)\subseteq \mathrm {Ob} (C)$

för varje par av objekt d ₁ och d ₂ av D är morfismerna i D morfismer i C , dvs.

$\mathrm {Hom} _{D}(d_{1},d_{2})\subseteq \mathrm {Hom} _{C}(d_{1},d_{2})$

och identiteterna och sammansättningarna i D är begränsningarna för de i C .

• Inkluderingen av D i C är full , vilket betyder att för varje par av objekt d ₁ och d ₂ av D stärker vi ovanstående delmängdsrelation till en likhet:

$\mathrm {Hom} _{D}(d_{1},d_{2})=\mathrm {Hom} _{C}(d_{1},d_{2})$

• Inkluderingen av D i C är i huvudsak surjektiv : Varje C -objekt är isomorft för något D -objekt.
• D är skelett: Inga två distinkta D -objekt är isomorfa.

Existens och unikhet

Det är ett grundläggande faktum att varje liten kategori har ett skelett; mer generellt har varje tillgänglig kategori ett skelett. (Detta motsvarar valets axiom .) Även om en kategori kan ha många distinkta skelett, är två skelett isomorfa som kategorier , så upp till isomorfism av kategorier är skelettet i en kategori unikt .

Betydelsen av skelett kommer från det faktum att de är (upp till isomorfism av kategorier), kanoniska representanter för ekvivalensklasserna av kategorier under ekvivalensrelationen av ekvivalens av kategorier . Detta följer av det faktum att vilket skelett som helst i en kategori C är ekvivalent med C , och att två kategorier är ekvivalenta om och endast om de har isomorfa skelett.

Exempel

• Kategorin Uppsättning av alla uppsättningar har underkategorin för alla kardinalnummer som ett skelett.
• Kategorin K -Vect av alla vektorrum över ett fast fält $K$ har underkategorin som består av alla potenser ${\displaystyle K^{(\alpha )}} ,$ där α är vilket kardinaltal som helst, som ett skelett; för alla ändliga m och n är kartorna $K^{m}\till K^{n}$ exakt de n × m matriserna med poster i K .
• FinSet , kategorin för alla finita mängder har FinOrd , kategorin för alla finita ordningstal , som ett skelett.
• Kategorin för alla välordnade uppsättningar har underkategorin för alla ordningstal som ett skelett.
• En förbeställning , dvs en liten kategori så att för varje par av objekt $A,B$ , uppsättningen ${\mbox{Hom}}(A,B)$ antingen har ett element eller är tom, har en delvis ordnad uppsättning som ett skelett.

Se även

• Ordlista för kategoriteori
• Tunn kategori

•   Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). Abstrakta och konkreta kategorier . Ursprungligen publicerad av John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 . (nu gratis onlineutgåva)
• Robert Goldblatt (1984). Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Studier in logic and the foundations of mathematics, 98). Nord-Holland. Omtryckt 2006 av Dover Publications.