Dubbel tangentbunt

Inom matematiken , särskilt differentialtopologi , hänvisar dubbeltangensknippet eller det andra tangentknippet till tangentknippet ( TTM , π _TTM , TM ) för det totala utrymmet TM för tangentknippet ( TM , π _TM , M ) i ett jämnt grenrör M . En notering om notation: i den här artikeln betecknar vi projektionskartor med deras domäner, t.ex. π _TTM : TTM → TM . Vissa författare indexerar dessa kartor efter deras intervall istället, så för dem skulle kartan skrivas π _TM .

Det andra tangentknippet uppstår i studiet av anslutningar och andra ordningens vanliga differentialekvationer, dvs (semi)spraystrukturer på släta grenrör, och det är inte att förväxla med andra ordningens jetknippe .

Sekundär vektorbuntstruktur och kanonisk flip

Eftersom ( TM , π _TM , M ) är en vektorbunt i sin egen rätt, har dess tangentbunt den sekundära vektorbuntstrukturen ( TTM ,( π _TM ) _* , TM ), där ( π _TM ) _* : TTM → TM är framskjutningen av den kanoniska projektionen π _TM : TM → M . I det följande betecknar vi

\xi =\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{x}\in T_{x}M ,\qquad X=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{x}\in T_{x}M

och tillämpa det tillhörande koordinatsystemet

\xi \mapsto (x^{1},\ldots ,x^{n},\xi ^{1},\ ldots ,\xi ^{n})

på TM . Sedan tar fibern i den sekundära vektorbuntstrukturen vid X ∈ T _x M formen

(\pi _{TM})_{*}^{-1}(X)={\Big \{}\ X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k }}}{\Big |}_{\xi }+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{\xi }\ {\ Stor |}\ \xi \in T_{x}M\ ,\ Y^{1},\ldots ,Y^{n}\in \mathbb {R} \ {\Big \}}.

Dubbeltangensbunten är en dubbelvektorbunt .

Den kanoniska vändningen är en jämn involution j : TTM → TTM som utbyter dessa vektorrumsstrukturer i den meningen att det är en vektorknippeisomorfism mellan ( TTM , π _TTM , TM ) och ( TTM ,( π _TM ) _* , TM ). I de tillhörande koordinaterna på TM står det som

j{\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{\xi}+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{\xi }{\Big )}=\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{ k}}}{\Big |}_{X}+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{X}.

Den kanoniska vändningen har egenskapen att för valfri f : R ² → M ,

{\frac {\partial f}{{\partial t}{\partial s}}}=j\circ {\frac {\partial f }{{\partial s}{\partial t}}}

där s och t är koordinater för standardbasen för R ² . Observera att båda partiella derivatorna är funktioner från R2 till TTM ^.

₀ Denna egenskap kan faktiskt användas för att ge en inneboende definition av den kanoniska vändningen. Det finns faktiskt en nedsänkning p : J ² ( R ² , M ) → TTM ges av

p([f])={\frac {\partial f}{{\partial t}{\partial s}}}(0, 0)

där p kan definieras i utrymmet för tvåstrålar vid noll eftersom endast beror på f upp till order två vid noll. Vi överväger ansökan:

J:J_{0}^{2}(\mathbb {R } ^{2},M)\till J_{0}^{2}(\mathbb {R} ^{2},M)\quad /\quad J([f])=[f\circ \alpha ]

där a( s , t )= ( t , s ). Då J kompatibel med projektionen p och inducerar den kanoniska vändningen på kvoten TTM .

Kanoniska tensorfält på tangentbunten

Som för alla vektorknippen kan tangentutrymmena T _ξ ( T _x M ) för fibrerna T _x M i tangentknippet ( TM , π _TM , M ) identifieras med fibrerna T _x M själva. Formellt uppnås detta genom det vertikala lyftet , vilket är en naturlig vektorrymdisomorfism vl _ξ : T _x M → V _ξ ( T _x M ) definierad som

(\operatörsnamn {vl} _{\xi}X)[f]:={\frac {d}{dt}}{\Big |}_{t=0}f(x,\xi +tX ),\qquad f\in C^{\infty }(TM).

Det vertikala lyftet kan också ses som en naturlig vektorknippeisomorfism vl:(π _TM ) ^* TM → VTM från tillbakadragningsknippet av ( TM , π _TM , M ) över π _TM : TM → M till det vertikala tangentknippet

VTM:=\operatörsnamn {Ker} (\pi _{TM})_{*}\subset TTM.

Det vertikala lyftet låter oss definiera det kanoniska vektorfältet

V:TM\to TTM;\qquad V_{\xi }:=\operatörsnamn {vl} _{\xi }\xi ,

som är slät i slittangentbunten TM \0. Det kanoniska vektorfältet kan också definieras som den infinitesimala generatorn för Lie-gruppsåtgärden

\mathbb {R} \times (TM\setminus 0)\to TM\setminus 0;\qquad (t,\xi )\mapsto e^{t}\xi .

Till skillnad från det kanoniska vektorfältet, som kan definieras för alla vektorknippen, är den kanoniska endomorfismen

:TTM\to TTM;\qquad J_{\xi }X:=\operatörsnamn {vl} _{\ xi }(\pi _{TM})_{*}X,\qquad X\in T_{\xi }TM}

är speciell för tangentbunten. Den kanoniska endomorfismen J uppfyller

{

och den är också känd som tangentstrukturen av följande anledning. Om ( E , p , M ) är något vektorknippe med det kanoniska vektorfältet V och ett (1,1)-tensorfält J som uppfyller egenskaperna som anges ovan, med VE i stället för VTM , då vektorbunten ( E , p , M ) är isomorf till tangentbunten ( TM , π _TM , M ) i basgrenröret, och J motsvarar tangentstrukturen för TM i denna isomorfism.

Det finns också ett starkare resultat av detta slag som säger att om N är ett 2 n -dimensionellt grenrör och om det finns ett (1,1)-tensorfält J på N som uppfyller

\operatorname {Ran} (J)=\operatörsnamn { Ker} (J),\qquad J[X,Y]=J[JX,Y]+J[X,JY],

då är N diffeomorf till en öppen uppsättning av det totala utrymmet för en tangentbunt av något n -dimensionellt grenrör M , och J motsvarar tangentstrukturen för TM i denna diffeomorfism.

I alla associerade koordinatsystem på TM har det kanoniska vektorfältet och den kanoniska endomorfismen koordinatrepresentationerna

V=\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}},\qquad J=dx^{k}\otimes {\frac {\partial }{\ partiell \xi ^{k}}}.

(Semi)spraystrukturer

En semispraystruktur på ett jämnt grenrör M är per definition ett jämnt vektorfält H på TM \0 så att JH = V . En ekvivalent definition är att j ( H )= H , där j : TTM → TTM är den kanoniska vändningen. En semispray H är en spray , om dessutom [ V , H ]= H .

Spray- och semispraystrukturer är invarianta versioner av andra ordningens vanliga differentialekvationer på M . Skillnaden mellan spray- och semispraystrukturer är att lösningskurvorna för sprayer är oföränderliga i positiva omparametriseringar ^{[ jargong ]} som punktuppsättningar på M , medan lösningskurvorna för semisprayer vanligtvis inte är det.

Icke-linjära kovariansderivat på släta grenrör

Den kanoniska vändningen gör det möjligt att definiera olinjära kovariantderivat på släta grenrör enligt följande. Låta

{\displaystyle T(TM\setminus 0)=H(TM\setminus 0)\oplus V(TM\setminus

vara en Ehresmann-förbindelse på spalttangensbunten TM \0 och överväg avbildningen

D:(TM\setminus 0)\times \Gamma (TM)\to TM;\quad D_{X}Y:=(\kappa \circ j)(Y_{*}X),

där Y _* : TM → TTM är push-forward, j : TTM → TTM är den kanoniska vändningen och κ: T ( TM /0) → TM /0 är kopplingskartan. Mappningen D _X är en härledning i modulen Γ ( TM ) av jämna vektorfält på M i den meningen att

$D_{X}(\alpha Y+\beta Z)=\alpha D_{X}Y+\beta D_{X}Z,\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ .
$D_{X}(fY)=X[f]Y+fD_{X}Y,\qquad \qquad \qquad f\in C^{\infty }(M)$ .

Varje mappning av D _X med dessa egenskaper kallas en (icke-linjär) kovariansderivata på M . Termen olinjär hänvisar till det faktum att denna typ av kovariantderivata D _{X on inte nödvändigtvis är linjär med avseende på} differentieringens riktning X ∈ TM /0.

Om man tittar på de lokala representationerna kan man bekräfta att Ehresmann-kopplingarna på ( TM /0,π _{TM /0} , M ) och icke-linjära kovariansderivat på M är i en-till-en-överensstämmelse. Dessutom, om D _X är linjär i X , är Ehresmann-kopplingen linjär i den sekundära vektorbuntstrukturen , och D _X sammanfaller med dess linjära kovariantderivata.

Se även

^ JMLee, Introduction to Smooth Manifolds , Springer-Verlag, 2003.
^ P.Michor. Ämnen i Differential Geometry, American Mathematical Society, 2008.
^ Robert J. Fisher och H. Turner Laquer, andra beställer Tangent-vektorer i Riemannian Geometry, J. Korean Math. Soc. 36 (1999), nr 5, sid. 959-1008
^ DSGoel, Nästan Tangent Structures , Kodai Math.Sem.Rep. 26 (1975), 187-193.
^ I.Bucataru, R.Miron, Finsler-Lagrange Geometry , Editura Academiei Române, 2007.

[1] JMLee, Introduction to Smooth Manifolds , Springer-Verlag, 2003.

[2] P.Michor. Ämnen i Differential Geometry, American Mathematical Society, 2008.

[3] Robert J. Fisher och H. Turner Laquer, andra beställer Tangent-vektorer i Riemannian Geometry, J. Korean Math. Soc. 36 (1999), nr 5, sid. 959-1008

[4] DSGoel, Nästan Tangent Structures , Kodai Math.Sem.Rep. 26 (1975), 187-193.

[5] I.Bucataru, R.Miron, Finsler-Lagrange Geometry , Editura Academiei Române, 2007.