Skär locus (Riemannskt grenrör)

I Riemannsk geometri är snittplatsen för en punkt $p$ i ett grenrör grovt sett uppsättningen av alla andra punkter för vilka det finns flera minimerande geodesiker som förbinder dem från $p$ , men den kan innehålla ytterligare punkter där den minimerande geodetiken är unik, under vissa omständigheter. Avståndsfunktionen från p är en jämn funktion utom vid själva punkten p och skärplatsen .

Definition

Fixera en punkt $p$ i ett komplett Riemann-grenrör $(M,g)$ , och betrakta tangentrymden $T_{p}M$ . Det är ett standardresultat att för tillräckligt liten $v$ i ${\displaystyle T_{p}M} ,$ kurvan definierad av den riemannska exponentialkartan , $\gamma (t)=\exp _{p}(tv)$ för $t$ som hör till intervallet $\displaystyle [0,1]}$ är en minimerande geodetik , och är den unika minimeringsgeodesiken som förbinder de två ändpunkterna. Här $\exp _{p}$ den exponentiella kartan från $p$ . Skärningslokuset för $p$ i tangentrymden definieras som mängden av alla vektorer $v$ i $T_{p}M$ så att $\gamma (t)=\exp _{p}(tv)$ är en minimerande geodetik för $t\in [0,1]$ men misslyckas att vara minimerande för $t=1+\epsilon$ för alla $\epsilon >0$ . Cut -lokuset för $p$ i $M$ definieras som bilden av cut-locuset för $p$ i tangentrymden under den exponentiella kartan vid $p$ . Sålunda kan vi tolka snittlokuset för $p$ i $M$ som de punkter i grenröret där geodesiken som börjar vid $p$ slutar att minimeras.

Det minsta avståndet från p till snittlokuset är injektivitetsradien vid p . På den öppna kulan med denna radie är den exponentiella kartan vid p en diffeomorfism från tangentrymden till grenröret, och detta är den största sådan radien. Den globala injektionsradien definieras som infimum av injektionsradien vid p , över alla punkter i grenröret.

Karakterisering

Antag att $q$ är i snittlokuset för $p$ i $M$ . Ett standardresultat är att antingen (1) det finns mer än en minimerande geodetisk sammanfogning $p$ till $q$ , eller (2) $p$ och $q$ är konjugerade längs någon geodetisk som förenar dem. Det är möjligt för både (1) och (2) att hålla.

Exempel

På den vanliga runda n -sfären består skärpunkten för en punkt av den enda punkten mittemot den (dvs. antipodalpunkten ) . På en oändligt lång cylinder består snittet av en punkt av linjen mittemot punkten.

Ansökningar

Betydelsen av cut locus är att avståndsfunktionen från en punkt $p$ är jämn, förutom på cut locus för $p$ och $p$ själv. I synnerhet är det meningsfullt att ta gradienten och hessian för avståndsfunktionen bort från snittlokuset och $p$ . Denna idé används i det lokala Laplacians jämförelsesats och det lokala Hessiska jämförelsesatsen. Dessa används i beviset för den lokala versionen av Toponogov-satsen och många andra viktiga satser i Riemannsk geometri.

Klipp ut lokus för en delmängd

Man kan på liknande sätt definiera snittlokuset för en undergren av Riemann-grenröret, i termer av dess normala exponentiella karta.

Se även

• Kaustik (matematik)