Euler funktion

Domänfärgningsdiagram för ϕ på det komplexa planet

För annan användning, se Lista över ämnen uppkallade efter Leonhard Euler .

Ej att förväxla med Eulers totientfunktion .

I matematik ges Euler -funktionen av

$\phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}),\quad |q|<1.$

Uppkallad efter Leonhard Euler , är det ett modellexempel på en q -serie och ger det prototypiska exemplet på en relation mellan kombinatorik och komplex analys .

Egenskaper

Koefficienten $p(k)$ i den formella potensserieexpansionen för $1/\phi (q)$ ger antalet partitioner av k . Det är,

${\frac {1}{\phi (q)}}=\summa _{k=0}^{\infty }p(k )q^{k}$

där $p$ är partitionsfunktionen .

Euler -identiteten , även känd som Pentagonal nummersatsen , är

$\phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.$

$(3n^{2}-n)/2$ är ett femkantigt tal .

Euler-funktionen är relaterad till Dedekind eta-funktionen as

$\phi (e^{2\pi i\tau })=e^{-\pi i\tau /12}\eta (\tau ).$

Euler-funktionen kan uttryckas som en q -Pochhammer-symbol :

$\phi (q)=(q;q)_{\infty }.$

logaritm är summan av logaritmerna i produktuttrycket, som var och en kan expanderas omkring q = 0, vilket ger

$\ln(\phi (q))=-\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}},$

som är en Lambert-serie med koefficienter -1/ n . Eulerfunktionens logaritm kan därför uttryckas som

$\ln(\phi (q))=\summa _{n=1}^{\infty }b_{n}q^ {n}$

där ${\displaystyle b_{n}=-\sum _{d|n}{\frac {1}{d}}=} -$ [1/1, 3/2, 4/3, 7/4 , 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, ...] (se OEIS A000203 )

På grund av identiteten ${\displaystyle \sum _{d|n}d=\sum _{d|n}{\frac {n}{d}},} detta kan också$ skrivas som

$\ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n}}\sum _{d|n}d .$

Även om $a,b\in \mathbb {R} ^{+}$ och $ab=\pi ^{2}$ , då

$a^{1/4}e^{-a/12}\phi (e^{-2a})=b^{1/4}e^{-b/12}\phi (e^{ -2b}).$

Särskilda värden

Nästa identiteter kommer från Ramanujans anteckningsböcker:

$\phi (e^{-\pi })={\frac {e^{\pi /24 }\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}$

$\phi (e^{-2\pi })={\frac {e^{\pi /12}\Gamma \left({\frac {1} {4}}\right)}{2\pi ^{3/4}}}$

$\ phi (e^{-4\pi })={\frac {e^{\pi /6}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{11} /8}\pi ^{3/4}}}$

$\phi (e^{-8\pi })={\frac {e^{\pi /3}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{29/ 16}\pi ^{3/4}}}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}$

Genom att använda den femkantiga talsatsen , utbyta summa och integral , och sedan åberopa komplexanalytiska metoder, härleder man

$\int _{0}^{1}\phi (q)\,\mathrm {d} q={\frac {8{\sqrt {\frac {3}{23}}}\pi \sinh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{6}}\right)}{2\cosh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{3}} \right)-1}}.$

Övrig

•     Apostol, Tom M. (1976), Introduktion till analytisk talteori , Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929 , Zbl 03135.1000