Euler-ekvationer (vätskedynamik)

Den här artikeln handlar om Euler-ekvationer i klassiskt vätskeflöde. För annan användning, se Lista över ämnen uppkallade efter Leonhard Euler .

Den här sidan förutsätter att klassisk mekanik gäller; För en diskussion om komprimerbart vätskeflöde när hastigheter närmar sig ljusets hastighet, se relativistiska Euler-ekvationer .

Flöda runt en vinge. Detta inkompressibla flöde uppfyller Eulers ekvationer.

Inom vätskedynamik är Euler-ekvationerna en uppsättning kvaslinjära partiella differentialekvationer som styr adiabatiskt och inviscid flöde . De är uppkallade efter Leonhard Euler . I synnerhet motsvarar de Navier–Stokes ekvationer med noll viskositet och noll värmeledningsförmåga .

Euler-ekvationerna kan tillämpas på inkompressibelt eller komprimerbart flöde . De inkompressibla Euler-ekvationerna består av Cauchy-ekvationer för bevarande av massa och balans av momentum, tillsammans med inkompressibilitetsvillkoret att flödeshastigheten är ett solenoidfält . De komprimerbara Euler-ekvationerna består av ekvationer för bevarande av massa, rörelsemängdsbalans och energibalans, tillsammans med en lämplig konstitutiv ekvation för vätskans specifika energitäthet. Historiskt sett härleddes endast ekvationerna för bevarande av massa och balans av momentum av Euler. Men litteratur om vätskedynamik refererar ofta till hela uppsättningen av de komprimerbara Euler-ekvationerna – inklusive energiekvationen – som "de komprimerbara Euler-ekvationerna".

De matematiska tecknen i de inkompressibla och komprimerbara Euler-ekvationerna är ganska olika. För konstant vätskedensitet kan de inkompressibla ekvationerna skrivas som en kvasilinjär advektionsekvation för vätskehastigheten tillsammans med en elliptisk Poissons ekvation för trycket. Å andra sidan bildar de komprimerbara Euler-ekvationerna ett kvaslinjärt hyperboliskt system av bevarandeekvationer .

Eulerekvationerna kan formuleras i en "konvektiv form" (även kallad " lagrangisk form ") eller en "konserveringsform" (även kallad " eulerisk form "). Den konvektiva formen betonar förändringar av tillståndet i en referensram som rör sig med vätskan. Konserveringsformen betonar den matematiska tolkningen av ekvationerna som konserveringsekvationer för en kontrollvolym fixerad i rymden (vilket är användbart ur en numerisk synvinkel).

Historia

Eulerekvationerna dök först upp i publicerad form i Eulers artikel "Principes généraux du mouvement des fluides", publicerad i Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 1757 (även om Euler tidigare hade presenterat sitt arbete för Berlinakademin 1752). Eulerekvationerna var bland de första partiella differentialekvationerna som skrevs ner, efter vågekvationen . I Eulers ursprungliga arbete bestod ekvationssystemet av momentum- och kontinuitetsekvationerna och var således underbestämt förutom i fallet med ett inkompressibelt flöde. En ytterligare ekvation, som kallades det adiabatiska tillståndet , tillhandahölls av Pierre-Simon Laplace 1816.

Under andra hälften av 1800-talet fann man att ekvationen relaterad till energibalansen hela tiden måste hållas för kompressibla flöden, och det adiabatiska tillståndet är en konsekvens av de grundläggande lagarna vid smidiga lösningar. Med upptäckten av den speciella relativitetsteorin förenades begreppen energitäthet, rörelsetäthet och spänning till begreppet spännings-energitensor , och energi och rörelsemängd förenades likaså till ett enda begrepp, energi -momentvektorn .

Inkompressibla Euler-ekvationer med konstant och enhetlig densitet

I konvektiv form (dvs formen med den konvektiva operatorn uttrycklig i momentumekvationen ) är de inkompressibla Euler-ekvationerna i fallet med densitetskonstant i tid och enhetlig i rymden:

Inkompressibla Euler-ekvationer med konstant och enhetlig densitet ( konvektiv eller lagrangisk form )

$\left\{{\begin{aligned}{D\mathbf {u} \over Dt}&=-\nabla w+\mathbf {g} \\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}\right.$

var:

• $\displaystyle \mathbf {u} }$ { är flödeshastighetsvektorn , med komponenter i ett N -dimensionellt utrymme $u_{1},u_{2},\dots , u_{N}$ ,
• ${D\mathbf {v} \over Dt}={\partial \mathbf {v} \over \partial t}+\mathbf {u} \ cdot \nabla \mathbf {v}$ , för en generisk funktion (eller fält) $\mathbf {v}$ betecknar dess materialderivata i tid med avseende på advektivfältet $\mathbf {u}$ och
• $\nabla w$ är gradienten för det specifika (med betydelsen per massaenhet ) termodynamiskt arbete , den interna källtermen , och
• $\mathbf {u} }$ cdot är flödeshastighetsdivergensen .
• $\mathbf {g}$ representerar kroppsaccelerationer (per massenhet) som verkar på kontinuumet, till exempel gravitation , tröghetsaccelerationer, elektrisk fältacceleration och så vidare.

Den första ekvationen är Eulers momentumekvation med enhetlig densitet (för denna ekvation kan den inte heller vara konstant i tiden). Genom att expandera materialderivatan blir ekvationerna:

$\left\{{\begin{aligned}{\partial \mathbf {u} \over \partial t}+ (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} &=-\nabla w+\mathbf {g} \\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}\right.$

${\displaystyle \rho _{0}} gäller$ faktiskt följande identitet:

$\nabla w\equiv \nabla \left({\frac {p}{\rho _{0}}}\right)={\frac {1 }{\rho _{0}}}\nabla p$

där $p$ är det mekaniska trycket . Den andra ekvationen är den inkompressibla begränsningen , som anger att flödeshastigheten är ett solenoidfält (ekvationernas ordning är inte kausal, men understryker det faktum att den inkompressibla begränsningen inte är en degenererad form av kontinuitetsekvationen, utan snarare av energiekvationen , vilket kommer att framgå i det följande). Noterbart kontinuitetsekvationen krävas även i detta inkompressibla fall som en ytterligare tredje ekvation i fall av densitet som varierar i tid eller varierar i rymden. Till exempel, med enhetlig densitet men varierande i tid, skulle kontinuitetsekvationen som ska läggas till ovanstående uppsättning motsvara:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$

Så fallet med konstant och enhetlig densitet är det enda som inte kräver kontinuitetsekvationen som ytterligare ekvation oavsett närvaron eller frånvaron av den inkompressibla begränsningen. Faktum är att fallet med inkompressibla Euler-ekvationer med konstant och enhetlig densitet som diskuteras här är en leksaksmodell som bara har två förenklade ekvationer, så den är idealisk för didaktiska ändamål även om den har begränsad fysisk relevans.

Ekvationerna ovan representerar således bevarande av massa (1 skalär ekvation) respektive momentum (1 vektorekvation som innehåller $N$ skalära komponenter, där $N$ är den fysiska dimensionen av det intressanta utrymmet). Flödeshastighet och tryck är de så kallade fysikaliska variablerna .

I ett koordinatsystem givet av $\left(x_{1},\dots ,x_{N}\right)$ hastighets- och yttre kraftvektorerna $\mathbf { u}$ och $\mathbf {g}$ har komponenter $(u_{1},\dots ,u_{N})$ och ${\displaystyle \left(g_{1},\dots ,g_{N}\right)} ,$ respektive. Sedan kan ekvationerna uttryckas i subscript notation som:

Singulariteter $\left\{ {\begin{aligned}{\partial u_{i} \over \partial t}+\sum _{j=1}^{N}{\partial \left(u_{i}u_{j}+w\delta _{ij}\right) \over \partial x_{j}}&=g_{i}\\\summa _{i=1}^{N}{\partial u_{i} \over \partial x_{i }}&=0\end{aligned}}\right.$

där $i$ och $j$ nedsänkningar betecknar de N -dimensionella rymdkomponenterna, och $\delta _{ij}$ är Kroenecker-deltatet . Användningen av Einstein-notation (där summan antyds av upprepade index istället för sigma-notation ) är också frekvent.

Egenskaper

Även om Euler först presenterade dessa ekvationer 1755, förblir många grundläggande frågor eller begrepp om dem obesvarade.

I tre rymddimensioner, i vissa förenklade scenarier, producerar Euler-ekvationerna singulariteter.

Släta lösningar av de fria (i betydelsen utan källterm: g=0) ekvationerna tillfredsställer bevarandet av specifik kinetisk energi:

${\partial \over \partial t}\left({\frac {1}{2}}u^{2 }\right)+\nabla \cdot \left(u^{2}\mathbf {u} +w\mathbf {u} \right)=0$

I det endimensionella fallet utan källtermen (både tryckgradient och extern kraft) blir momentumekvationen den inviscid Burgers ekvation :

${\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}=0$

Denna modellekvation ger många insikter i Eulers ekvationer.

Icke-dimensionalisering

Se även: Cauchy momentum ekvation § Icke-dimensionalisering

För att göra ekvationerna dimensionslösa måste en karakteristisk längd $r_{0}$ och en karakteristisk hastighet $u_{0}$ definieras. Dessa bör väljas så att de dimensionslösa variablerna alla är av ordning ett. Följande dimensionslösa variabler erhålls således:

${\begin{aligned}u^{*} frac {u}{u_{0}}},\\[5pt]r^{*}&\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\\[5pt]t^{*}& \equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,\\[5pt]p^{*}&\equiv {\frac {w}{u_{0}^{2}}} ,\\[5pt]\nabla ^{*}&\equiv r_{0}\nabla \end{aligned}}$

och av fältenhetsvektorn :

${\hat {\mathbf {g} }}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g}},$

Substitution av dessa omvända relationer i Euler-ekvationer, som definierar Froude-talet , ger (utan * vid apix):

Inkompressibla Euler-ekvationer med konstant och enhetlig densitet ( ickedimensionell form )

$\left\{{\begin{aligned}{D\mathbf {u} \over Dt}&=-\nabla w+{ \frac {1}{\mathrm {Fr} }}{\hat {\mathbf {g} }}\\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}\right.$

Euler-ekvationer i Froude-gränsen (inget externt fält) kallas fria ekvationer och är konservativa. Gränsen för höga Froude-tal (lågt yttre fält) är således anmärkningsvärd och kan studeras med störningsteori .

Konserveringsformulär

Se även: Bevarandeekvation

Konserveringsformen betonar de matematiska egenskaperna hos Euler-ekvationer, och särskilt den sammandragna formen är ofta den mest bekväma för beräkningsvätskedynamiksimuleringar . Beräkningsmässigt finns det vissa fördelar med att använda de konserverade variablerna. Detta ger upphov till en stor klass av numeriska metoder som kallas konservativa metoder.

De fria Euler-ekvationerna är konservativa , i den meningen att de motsvarar en konserveringsekvation:

${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} ={\mathbf {0} },$

eller helt enkelt i Einstein-notation:

${\frac {\partial y_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial f_{ij}}{\ partiell r_{i}}}=0_{i},$

där konserveringskvantiteten $\mathbf {y}$ i detta fall är en vektor, och $\mathbf {F}$ är en flödesmatris . Detta kan enkelt bevisas.

Demonstration av konserveringsformuläret

För det första gäller följande identiteter:

$\nabla \cdot (w\mathbf {I} )=\mathbf {I} \cdot \nabla w+w\nabla \ cdot \mathbf {I} =\nabla w$

$\mathbf {u} \cdot \nabla \cdot \mathbf {u} =\nabla \cdot (\ mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )$

där $\otimes$ betecknar den yttre produkten . Samma identiteter uttryckta i Einstein notation är:

$\partial _{i}\left(w\delta _{ ij}\right)=\delta _{ij}\partial _{i}w+w\partial _{i}\delta _{ij}=\delta _{ij}\partial _{i}w=\partial _{j}w$

$u_{j}\partial _{i}u_{i}=\partial _{i}\left(u_{ i}u_{j}\right)$

där I är identitetsmatrisen med dimension N och δ _ij dess allmänna element, Kroeneckerdeltat.

Tack vare dessa vektoridentiteter kan de inkompressibla Euler-ekvationerna med konstant och enhetlig densitet och utan yttre fält sättas i den så kallade konserverings- (eller Eulerian) differentialformen, med vektornotation:

$\left\{{\begin{aligned}{\partial \mathbf {u} \over \ partiell t}+\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +w\mathbf {I} \right)&=\mathbf {0} \\{\partial 0 \over \partial t}+\nabla \cdot \mathbf {u} &=0,\end{aligned}}\right.$

eller med Einstein notation:

$\left\{{\begin{aligned}\partial _{t}u_{ j}+\partial _{i}\left(u_{i}u_{j}+w\delta _{ij}\right)&=0\\\partial _{t}0+\partial _{j} u_{j}&=0,\end{aligned}}\right.$

Då har inkompressibla Euler-ekvationer med enhetlig densitet bevarandevariabler:

${\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\0\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +w\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}.$

Observera att i den andra komponenten är u i sig själv en vektor, med längden N, så y har längden N+1 och F har storleken N(N+1). I 3D har till exempel y längd 4, I har storlek 3×3 och F har storlek 4×3, så de explicita formerna är:

${\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\0\end{pmatrix}};\quad {\mathbf {F } }={\begin{pmatrix}u_{1}^{2}+w&u_{1}u_{2}&u_{1}u_{3}\\u_{2}u_{1}&u_{2}^{ 2}+w&u_{2}u_{3}\\u_{3}u_{1}&u_{3}u_{2}&u_{3}^{2}+w\\u_{1}&u_{2}&u_ {3}\end{pmatrix}}.$

Äntligen kan Euler-ekvationer omarbetas till den specifika ekvationen:

Inkompressibel Euler-ekvation(er) med konstant och enhetlig densitet ( konservering eller Eulerisk form )

${\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\mathbf {u} \ \0\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +w\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix} }={\begin{pmatrix}\mathbf {g} \\0\end{pmatrix}}$

Rumsliga dimensioner

För vissa problem, speciellt när de används för att analysera komprimerbart flöde i en kanal eller om flödet är cylindriskt eller sfäriskt symmetriskt, är de endimensionella Euler-ekvationerna en användbar första approximation. I allmänhet löses Euler-ekvationerna med Riemanns metod för egenskaper . Detta involverar att hitta kurvor i planet av oberoende variabler (dvs. $x$ och $t$ ) längs vilka partiella differentialekvationer (PDE) degenererar till vanliga differentialekvationer (ODEs). Numeriska lösningar av Euler-ekvationerna är starkt beroende av metoden för egenskaper.

Inkompressibla Euler-ekvationer

I konvektiv form är de inkompressibla Euler-ekvationerna i fallet med densitetsvariabel i rymden:

Inkompressibla Euler-ekvationer ( konvektiv eller lagrangisk form )

$\left\{{\begin{aligned}{D\rho \over Dt}&=0\\{D\ mathbf {u} \over Dt}&=-{\frac {\nabla p}{\rho }}+\mathbf {g} \\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}} \höger.$

där de ytterligare variablerna är:

• $\rho$ är vätskemassadensiteten ,
• $p$ är trycket , $p=\rho w$ .

Den första ekvationen, som är den nya, är den inkompressibla kontinuitetsekvationen . I själva verket skulle den allmänna kontinuitetsekvationen vara:

${\partial \rho \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \mathbf {u} =0$

men här är den sista termen identiskt noll för inkompressibilitetsbegränsningen.

Konserveringsformulär

Se även: bevarandeekvation

De inkompressibla Euler-ekvationerna i Froude-gränsen är ekvivalenta med en enda konserveringsekvation med konserverad kvantitet respektive tillhörande flöde:

${\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}\rho \\\rho \mathbf {u} \\0\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\ börja{pmatrix}\rho \mathbf {u} \\\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}.$

Här $(N+2) N$$\mathbf {y}$ längden $N+2$ och $\mathbf {F}$ har storlek . I allmänhet (inte bara i Froude-gränsen) kan Euler-ekvationer uttryckas som:

${\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix} \rho \\\rho \mathbf {u} \\0\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\rho \mathbf {u} \\\rho \mathbf {u} \otimes \ mathbf {u} +p\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\rho \mathbf {g} \\0\end{pmatrix}}$

Bevarandevariabler

Variablerna för ekvationerna i konserveringsform är ännu inte optimerade. Faktum är att vi skulle kunna definiera:

${\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\0\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{ pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\,\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\{\frac {\mathbf { j} }{\rho }}\end{pmatrix}}.$

var:

• $\mathbf {j} =\rho \mathbf {u}$ är momentumdensiteten , en bevarandevariabel.

Inkompressibel Euler-ekvation(er) ( konservering eller Eulerisk form )

${\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\ rho \\\mathbf {j} \\0\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\,\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\{\frac {\mathbf {j} }{\rho }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\ \mathbf {f} \\0\end{pmatrix}}$

var:

• $\mathbf {f} =\rho \mathbf {g}$ är kraftdensiteten , en bevarandevariabel.

Eulers ekvationer

I differentialkonvektiv form kan de komprimerbara (och mest allmänna) Euler-ekvationerna skrivas inom kort med materialderivatanteckningen :

Eulerekvationer ( konvektiv form )

$\left\{{\begin{aligned}{D\rho \over Dt}&=-\rho \nabla \cdot \mathbf {u} \\[1.2ex]{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}&=-{\frac {\nabla p} {\rho }}+\mathbf {g} \\[1.2ex]{De \over Dt}&=-{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} \end{aligned }}\höger.$

där de ytterligare variablerna här är:

• $e$ är den specifika interna energin (intern energi per massenhet).

Ekvationerna ovan representerar alltså bevarande av massa , rörelsemängd och energi : energiekvationen uttryckt i variabeln inre energi gör det möjligt att förstå sambandet med det inkompressibla fallet, men det är inte i den enklaste formen. Massdensitet, flödeshastighet och tryck är de så kallade konvektiva variablerna (eller fysikaliska variabler, eller lagrangianska variabler), medan massdensitet, momenttäthet och total energitäthet är de så kallade konserverade variablerna (även kallade euleriska eller matematiska variabler) .

Om man expanderar materialderivatan är ekvationerna ovan:

$_ \left\{{\begin{aligned}{\partial \rho \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \mathbf {u} &=0\\ [1.2ex]{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho } }&=\mathbf {g} \\[1.2ex]{\partial e \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla e+{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}\right.}$

Inkompressibel begränsning (besökt på nytt)

För att komma tillbaka till det inkompressibla fallet, blir det nu uppenbart att den inkompressibla begränsningen som är typisk för de tidigare fallen faktiskt är en speciell form som är giltig för inkompressibla flöden av energiekvationen, och inte för massekvationen. I synnerhet motsvarar den inkompressibla begränsningen följande mycket enkla energiekvation:

${De \over Dt}=0$

således den specifika inre energin konstant längs flödeslinjerna, även i ett tidsberoende flöde. Trycket i ett inkompressibelt flöde fungerar som en Lagrange-multiplikator , som är multiplikatorn för den inkompressibla begränsningen i energiekvationen, och följaktligen i inkompressibla flöden har det ingen termodynamisk betydelse. Faktum är att termodynamik är typisk för komprimerbara flöden och degenererar i inkompressibla flöden.

Baserat på masskonserveringsekvationen kan man sätta denna ekvation i bevarandeformen:

${\partial \rho e \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho e\mathbf {u} )=0$

vilket betyder att för ett inkompressibelt inviscid icke-ledande flöde gäller en kontinuitetsekvation för den inre energin.

Entalpi bevarande

Eftersom den specifika entalpin per definition är:

$h=e+{\frac {p}{\rho }}$

Materialderivatet av den specifika inre energin kan uttryckas som:

${De \over Dt}={Dh \over Dt}-{\frac {1}{\ rho }}\left({Dp \over Dt}-{\frac {p}{\rho }}{D\rho \over Dt}\right)$

Genom att sedan ersätta momentumekvationen i detta uttryck får man:

${De \over Dt}={Dh \over Dt}-{\frac {1}{\rho } }\left(p\nabla \cdot \mathbf {u} +{Dp \over Dt}\right)$

Och genom att ersätta den senare i energiekvationen får man att entalpiuttrycket för Eulers energiekvation:

${Dh \over Dt}={\frac {1}{\rho }}{Dp \over Dt}$

I en referensram som rör sig med ett inviscid och icke-ledande flöde, motsvarar variationen av entalpi direkt en variation av trycket.

Termodynamik för ideala vätskor

Inom termodynamiken är de oberoende variablerna den specifika volymen och den specifika entropin , medan den specifika energin är en funktion av tillståndet för dessa två variabler.

Avdrag av blanketten gällande termodynamiska system

Med tanke på den första ekvationen måste variabeln ändras från densitet till specifik volym. Per definition:

$v\equiv {\frac {1}{\rho }}$

Följande identiteter gäller alltså:

$\nabla \rho =\nabla \left({\frac {1}{v}}\right)=-{\frac {1}{ v^{2}}}\nabla v$

${\frac {\partial \rho }{\partial t}} ={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{v}}\right)=-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac { \partial v}{\partial t}}$

Sedan genom att ersätta dessa uttryck i masskonserveringsekvationen:

$-{\frac {\mathbf {u} }{v^{2}}}\cdot \nabla v- {\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial v}{\partial t}}=-{\frac {1}{v}}\nabla \cdot \mathbf {u}$

Och genom multiplikation:

${\partial v \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla v=v\nabla \cdot \mathbf {u}$

Denna ekvation är den enda som hör till allmänna kontinuumekvationer, så endast denna ekvation har samma form till exempel även i Navier-Stokes ekvationer.

Å andra sidan är trycket i termodynamik motsatsen till den partiella derivatan av den specifika inre energin med avseende på den specifika volymen:

$p(v,s)=-{\partial e(v,s) \over \partial v}$

eftersom den interna energin i termodynamiken är en funktion av de två variablerna ovan, bör tryckgradienten som ingår i momentumekvationen uttryckas som:

${p∇$

Det är bekvämt för kortheten att byta notation för andra ordningens derivator:

$-\nabla p(v,s)=e_{vv}\nabla v+e_{vs}\nabla s$

Slutligen, energiekvationen:

${De \over Dt}=-pv\nabla \cdot \mathbf {u}$

kan ytterligare förenklas i konvektiv form genom att ändra variabel från specifik energi till den specifika entropin: i själva verket kan termodynamikens första lag i lokal form skrivas:

${De \over Dt}=T{Ds \over Dt}-p{Dv \over Dt}$

genom att ersätta materialderivatan av den inre energin blir energiekvationen:

$T{Ds \over Dt}+{\frac {p}{\rho ^{2}}}\left( {D\rho \over Dt}+\rho \nabla \cdot \mathbf {u} \right)=0$

nu är termen mellan parentes identiskt noll enligt massans bevarande, då blir Eulers energiekvation helt enkelt:

${Ds \over Dt}=0$

För en termodynamisk vätska är de komprimerbara Euler-ekvationerna följaktligen bäst skrivna som:

Euler-ekvationer ( konvektiv form, för ett termodynamiskt system )

$\left\{{\begin{aligned}{Dv \over Dt}&=v\nabla \cdot \mathbf {u} \\[1.2ex]{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}&=ve_{vv}\nabla v+ve_{vs }\nabla s+\mathbf {g} \\[1.2ex]{Ds \over Dt}&=0\end{aligned}}\right.$

var:

• $v$ är den specifika volymen
• $\mathbf {u}$ är flödeshastighetsvektorn
• $s$ är den specifika entropin

I det allmänna fallet och inte bara i det inkompressibla fallet, betyder energiekvationen att för en inviscid termodynamisk vätska är den specifika entropin konstant längs flödeslinjerna, även i ett tidsberoende flöde. Baserat på masskonserveringsekvationen kan man sätta denna ekvation i bevarandeformen:

${\partial \rho s \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho s\mathbf {u} )=0$

vilket betyder att för ett inviscid icke-ledande flöde gäller en kontinuitetsekvation för entropin.

Å andra sidan kräver de två andra ordningens partiella derivator av den specifika interna energin i momentumekvationen specifikationen av den fundamentala tillståndsekvationen för det aktuella materialet, dvs. av den specifika interna energin som funktion av de två variablerna specifik volym och specifik entropi:

$e=e(v,s)$

Den grundläggande tillståndsekvationen innehåller all termodynamisk information om systemet (Callen, 1985), precis som paret av en termisk tillståndsekvation tillsammans med en kaloritillståndsekvation .

Konserveringsblankett

Se även: Bevarandeekvation

Euler-ekvationerna i Froude-gränsen är ekvivalenta med en enda konserveringsekvation med konserverad kvantitet respektive tillhörande flöde:

${\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\E^{t}\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }= {\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\\left(E^ {t}+p\right){\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \end{pmatrix}}.$

var:

• $\mathbf {j} =\rho \mathbf {u}$ är momentumdensiteten , en bevarandevariabel.
• ${\textstyle E^{t}=\rho e+{\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$ är den totala energitätheten (total energi per enhetsvolym).

Här har $\mathbf {y}$ längden N + 2 och $\mathbf {F}$ har storlek N(N + 2). I allmänhet (inte bara i Froude-gränsen) kan Euler-ekvationer uttryckas som:

Euler-ekvation(er) ( ursprunglig konservering eller Eulerisk form )

${\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\E^{t}\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {j } \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\\left(E^{t}+p\right){\ frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\mathbf {f} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \cdot \mathbf {f} \end{pmatrix}}$

var:

• $\mathbf {f} =\rho \mathbf {g}$ är kraftdensiteten , en bevarandevariabel.

Vi noterar att även Euler-ekvationen även när konservativ (inget yttre fält, Froude-gräns) inte har några Riemann-invarianter i allmänhet. Några ytterligare antaganden krävs

Vi har dock redan nämnt att för en termodynamisk vätska är ekvationen för den totala energitätheten ekvivalent med bevarandeekvationen:

${\partial \over \partial t}(\rho s)+\nabla \cdot (\rho s\mathbf {u} )=0$

Då uttrycks konserveringsekvationerna i fallet med en termodynamisk vätska enklare som:

Eulers ekvation(er) ( konserveringsform, för termodynamiska vätskor )

${\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix }\rho \\\mathbf {j} \\S\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\S{\frac {\mathbf {j} }{\rho }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\ \\mathbf {f} \\0\end{pmatrix}}$

var:

• $S=\rho s$ är entropitätheten, en termodynamisk bevarandevariabel.

En annan möjlig form för energiekvationen, som är särskilt användbar för isobarer , är:

${\frac {\partial H^{t}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left (H^{t}\mathbf {u} \right)=\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} -{\frac {\partial p}{\partial t}}$

var:

• ${\textstyle H^{t}=E^{t}+p=\rho e+p+{\frac {1}{2}} \rho u^{2}}$ är den totala entalptitätheten .

Kvasilinjär form och karakteristiska ekvationer

Att expandera flödena kan vara en viktig del av att konstruera numeriska lösare , till exempel genom att utnyttja ( ungefärliga ) lösningar på Riemann-problemet . I regioner där tillståndsvektorn y varierar smidigt, kan ekvationerna i konservativ form sättas i kvasilinjär form:

${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{i}{\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial r_{i} }}={\mathbf {0} }.$

där $\mathbf {A} _{i}$ kallas flödet Jacobians definierade som matriserna :

$\mathbf {A} _{i}(\mathbf {y} )={\frac {\partial \mathbf {f} _{i}(\mathbf {y} )}{\partial \mathbf {y } }}.$

Uppenbarligen existerar inte denna Jacobian i diskontinuitetsregioner (t.ex. kontaktdiskontinuiteter, chockvågor i inviscid icke-ledande flöden). Om flödet Jacobians $\mathbf {A} _{i}$ inte är funktioner av tillståndsvektorn ${\displaystyle \mathbf {y} } ,$ visar ekvationerna linjär .

Karakteristiska ekvationer

De komprimerbara Eulerekvationerna kan kopplas bort till en uppsättning N+2 vågekvationer som beskriver ljud i Eulerskt kontinuum om de uttrycks i karakteristiska variabler istället för bevarade variabler.

Tensor A är faktiskt alltid diagonaliserbar . Om egenvärdena (fallet med Euler-ekvationer) alla är verkliga definieras systemet hyperboliskt , och fysiskt representerar egenvärden hastigheterna för informationens utbredning. Om de alla är åtskilda, definieras systemet strikt hyperboliskt (det kommer att visa sig vara fallet med endimensionella Euler-ekvationer). Vidare är diagonalisering av komprimerbar Euler-ekvation lättare när energiekvationen uttrycks i variabeln entropi (dvs med ekvationer för termodynamiska vätskor) än i andra energivariabler. Detta kommer att bli tydligt genom att överväga 1D-fallet.

Om $\mathbf {p} _{i}$ är den högra egenvektorn för matrisen $\mathbf {A}$ som motsvarar egenvärdet $\lambda _{i}$ , genom att bygga projektionsmatrisen :

$\mathbf {P} =\left[\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},...,\mathbf {p} _{n}\ höger]$

Man kan slutligen hitta de karakteristiska variablerna som:

$\mathbf {w} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} ,$

Eftersom A är konstant, multiplicerar den ursprungliga 1-D-ekvationen i flux-jakobisk form med P ⁻¹ de karakteristiska ekvationerna:

${\frac {\partial w_{i}}{\partial t}}+\lambda _{j}{\frac {\partial w_ {i}}{\partial r_{j}}}=0_{i}$

De ursprungliga ekvationerna har frikopplats till N+2 karakteristiska ekvationer som var och en beskriver en enkel våg, där egenvärdena är våghastigheterna. Variablerna w _i kallas de karakteristiska variablerna och är en delmängd av de konservativa variablerna. Lösningen av initialvärdesproblemet i termer av karakteristiska variabler är slutligen mycket enkel. I en rumslig dimension är det:

$w_{i}(x,t)=w_{i}\left(x-\lambda _{i}t,0\ höger)$

Sedan erhålls lösningen i termer av de ursprungliga konservativa variablerna genom att transformera tillbaka:

$\mathbf {y} =\mathbf {P} \mathbf {w} ,$

denna beräkning kan uttryckas som den linjära kombinationen av egenvektorerna:

$\mathbf {y} (x,t)=\sum _{i=1}^{m }w_{i}\left(x-\lambda _{i}t,0\right)\mathbf {p} _{i},$

Nu blir det uppenbart att de karakteristiska variablerna fungerar som vikter i den linjära kombinationen av de jakobiska egenvektorerna. Lösningen kan ses som överlagring av vågor, som var och en advereras oberoende utan förändring i form. Varje i - _te våg har formen _w i _pi och fortplantningshastigheten λi . I det följande visar vi ett mycket enkelt exempel på denna lösningsprocedur.

Vågor i 1D oskadd, icke-ledande termodynamisk vätska

Om man betraktar Euler-ekvationer för en termodynamisk vätska med de två ytterligare antagandena om en rumslig dimension och fri (inget yttre fält: g = 0):

$\left\{{\begin{aligned}{\partial v \over \partial t}+u{\partial v \over \partial x}-v{\partial u \ över \partial x}&=0\\[1.2ex]{\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}-e_{vv}v{\partial v \over \partial x}-e_{vs}v{\partial s \over \partial x}&=0\\[1.2ex]{\partial s \over \partial t}+u{\partial s \over \partial x}& =0\end{aligned}}\right.$

Om man definierar vektorn av variabler:

$\mathbf {y} ={\begin{pmatrix}v\\u\\s\end{pmatrix}}$

påminner om att $v$ är den specifika volymen, $u$ flödeshastigheten, $s$ den specifika entropin, motsvarande jacobian matris är:

${\mathbf {A} }={\begin{pmatrix}u&-v&0\\-e_{vv}v&u&-e_{vs}v\\0&0&u\end{pmatrix}}.$

Först måste man hitta egenvärdena för denna matris genom att lösa den karakteristiska ekvationen :

$\det(\mathbf {A} (\mathbf {y} )-\lambda (\mathbf {y} )\mathbf {I} )=0$

det är uttryckligen:

$\det {\begin{bmatrix}u-\lambda &-v&0\\-e_{vv} v&u-\lambda &-e_{vs}v\\0&0&u-\lambda \end{bmatrix}}=0$

Denna determinant är mycket enkel: den snabbaste beräkningen börjar på den sista raden, eftersom den har det högsta antalet nollelement.

$(u-\lambda )\det {\begin{bmatrix}u-\lambda &-v\\-e_ {vv}v&u-\lambda \end{bmatrix}}=0$

Nu genom att beräkna determinanten 2×2:

$(u-\lambda )\left((u-\lambda )^{2}-e_{vv}v^{ 2}\right)=0$

genom att definiera parametern:

$a(v,s)\equiv v{\sqrt {e_{vv}}}$

eller motsvarande i mekaniska variabler, som:

$a(\rho ,p)\equiv {\sqrt {\partial p \over \partial \rho }}$

Denna parameter är alltid verklig enligt termodynamikens andra lag . Faktum är att termodynamikens andra lag kan uttryckas av flera postulat. Den mest elementära av dem i matematiska termer är konvexiteten för den grundläggande tillståndsekvationen, dvs hessianmatrisen för den specifika energin uttryckt som funktion av specifik volym och specifik entropi:

${\begin{pmatrix}e_{vv}&e_{vs}\\e_{vs}&e_{ss}\end{pmatrix}}$

definieras positivt. Detta uttalande motsvarar de två villkoren:

$\displaystyle \left\{{\begin{aligned}e_{vv}&>0\\[1.2ex]e_{vv}e_{ss }-e_{vs}^{2}&>0\end{aligned}}\right.}$

Det första villkoret är det som säkerställer att parametern a definieras reell.

Den karakteristiska ekvationen resulterar slutligen:

$(u-\lambda )\left((u-\lambda )^{2}-a^{2}\right)=0$

Det har tre verkliga lösningar:

$\lambda _ {1}(v,u,s)=ua(v,s)\quad \lambda _{2}(u)=u,\quad \lambda _{3}(v,u,s)=u+a (mot)$

Sedan har matrisen tre reella egenvärden alla åtskilda: 1D Euler-ekvationerna är ett strikt hyperboliskt system .

Vid denna tidpunkt bör man bestämma de tre egenvektorerna: var och en erhålls genom att ersätta ett egenvärde i egenvärdesekvationen och sedan lösa det. Genom att ersätta det första egenvärdet λ ₁ får man:

$\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-v&0\\-e_{vv}v&a&-e_{vs }v\\0&0&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\u_{1}\\s_{1}\end{pmatrix}}=0}$

Baserat på den tredje ekvationen som helt enkelt har lösningen s ₁ =0, reducerar systemet till:

${\begin{pmatrix}a&-v\\-a^{2}/v&a\end{pmatrix}}{\begin{ pmatrix}v_{1}\\u_{1}\end{pmatrix}}=0$

De två ekvationerna är redundanta som vanligt, sedan definieras egenvektorn med en multiplikationskonstant. Vi väljer som höger egenvektor:

$\mathbf {p} _{1}={\begin{pmatrix}v\\a\\0\end{pmatrix}}$

De andra två egenvektorerna kan hittas med analog procedur som:

$\mathbf {p} _{2}={\begin{pmatrix}e_{vs}\\0\ \-\left({\frac {a}{v}}\right)^{2}\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {p} _{3}={\begin{pmatrix}v\\ -a\\0\end{pmatrix}}$

Sedan kan projektionsmatrisen byggas:

$\mathbf {P} (v,u,s )=(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},\mathbf {p} _{3})={\begin{pmatrix}v&e_{vs}&v\\a&0&-a \\0&-\left({\frac {a}{v}}\right)^{2}&0\end{pmatrix}}$

Slutligen blir det uppenbart att den verkliga parametern som tidigare definierats är utbredningshastigheten för informationskarakteristiken för det hyperboliska systemet gjord av Euler-ekvationer, dvs det är våghastigheten . Det återstår att visa att ljudhastigheten motsvarar det speciella fallet med en isentropisk transformation :

$a_{s}\equiv {\sqrt {\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}}}$

Kompressibilitet och ljudhastighet

Ljudhastighet definieras som våghastigheten för en isentropisk transformation:

$a_{s}(\rho ,p)\equiv {\sqrt {\left({\partial p \over \partial \rho }\right )_{s}}}$

enligt definitionen av den isoentropiska kompressibiliteten:

$K_{s}(\rho ,p)\equiv {\frac {1}{\rho }}\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}$

ljudhastigheten resulterar alltid i kvadratroten av förhållandet mellan den isentropiska kompressibiliteten och densiteten:

$a_{s}\equiv {\sqrt {\frac {K_{s}}{\rho }}}$

Idealisk gas

Ljudhastigheten i en idealgas beror bara på dess temperatur:

$a_{s}(T)={\sqrt {\gamma {\frac {T}{m}}}}$

Avdrag av blanketten som gäller för idealgaser

I en ideal gas beskrivs den isoentropiska omvandlingen av Poissons lag:

$d\left(p\rho ^{-\gamma }\right)_{s}=0$

där γ är värmekapacitetsförhållandet , en konstant för materialet. Genom att explicitera skillnaderna:

$\rho ^{-\gamma }(dp)_{s}+\gamma p\rho ^{-\ gamma -1}(d\rho )_{s}=0$

och genom att dividera för ρ ^{− γ} d ρ :

$\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}=\gamma p\rho$

Sedan genom att ersätta en idealgas i de allmänna definitionerna är den isentropiska kompressibiliteten helt enkelt proportionell mot trycket:

$K_{s}(p)=\gamma p$

och ljudhastighetsresultaten ( Newton–Laplace lag ):

$a_{s}(\rho ,p)={\sqrt {\gamma {\frac {p}{\rho }}}}$

Särskilt för en idealgas gäller den ideala gaslagen , som i matematisk form helt enkelt är:

$p=nT$

där n är taltätheten och T är den absoluta temperaturen , förutsatt att den mäts i energiska enheter (dvs. i joule ) genom multiplikation med Boltzmann-konstanten . Eftersom masstätheten är proportionell mot taldensiteten genom den genomsnittliga molekylmassan m för materialet:

$\rho =mn$

Den ideala gaslagen kan omarbetas till formeln:

${\frac {p}{\rho }}={\frac {T}{m}}$

Genom att ersätta detta förhållande i Newton-Laplace-lagen uppnås slutligen uttrycket av ljudhastigheten till en idealgas som funktion av temperaturen.

Eftersom den specifika entalpin i en idealgas är proportionell mot dess temperatur:

$h=c_{p}T={\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {T}{m}}$

Ljudhastigheten i en idealgas kan också göras beroende endast av dess specifika entalpi:

$a_{s}(h)={\sqrt {(\gamma -1)h}}$

Bernoullis teorem för stadigt inviscid flöde

Bernoullis sats är en direkt följd av Eulers ekvationer.

Inkompressibelt fodral och Lambs form

Vektorkalkylens identitet för korsprodukten av en krull gäller:

$\mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{F}\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\mathbf {v\cdot \nabla} \mathbf {F} \ ,$

där Feynmans nedsänkta notation $\nabla _{F}$ används, vilket betyder att den nedsänkta gradienten endast fungerar på faktorn $\mathbf {F}$ .

Lamb i sin berömda klassiska bok Hydrodynamics (1895), fortfarande i tryck, använde denna identitet för att ändra den konvektiva termen för flödeshastigheten i rotationsform:

$​​{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} ={\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} }$

Eulers momentumekvation i Lambs form blir:

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}=\mathbf {g} ={\frac {\partial \mathbf {u} }{\ partiell t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)-\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u})+{\ frac {\nabla p}{\rho }}$

Se även: Cauchy momentum ekvation § Lammform

Nu, baserat på den andra identiteten:

$\nabla \left({\frac {p}{\rho }}\right)={\frac {\nabla p}{\rho } }-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho$

Eulers momentumekvation antar en form som är optimal för att demonstrera Bernoullis sats för stadiga flöden:

$\nabla \left({\frac {1}{2}} u^{2}+{\frac {p}{\rho }}\right)-\mathbf {g} =-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}$

Faktum är att i fallet med ett externt konservativt fält , genom att definiera dess potential φ:

$\nabla \left({\frac {1}{2}} u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}$

Vid ett stadigt flöde försvinner tidsderivatan av flödeshastigheten, så momentumekvationen blir:

$\nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2} +\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )$

Och genom att projicera momentumekvationen på flödesriktningen, dvs längs en strömlinje , försvinner tvärprodukten eftersom dess resultat alltid är vinkelrät mot hastigheten:

$\mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^ {2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla \rho$

I det stadiga inkompressibla fallet är massekvationen helt enkelt:

$\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0$ ,

det är masskonserveringen för ett stadigt inkompressibelt flöde som säger att densiteten längs en strömlinje är konstant . Då blir Eulers momentumekvation i det stadiga inkompressibla fallet:

$\mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{ \frac {p}{\rho }}\right)=0$

Bekvämligheten med att definiera den totala tryckhöjden för ett inviscid vätskeflöde är nu uppenbart:

$b_{l}\equiv {\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }},$

som helt enkelt kan skrivas som:

$\mathbf {u} \cdot \nabla b_{l}=0$

Det vill säga momentumbalansen för ett jämnt inviscid och inkompressibelt flöde i ett externt konservativt fält säger att det totala trycket längs en strömlinje är konstant .

Kompressibelt fodral

I det mest allmänna stabila (kompressibila) fallet är massekvationen i konserveringsform:

$\nabla \cdot \mathbf {j} =\rho \nabla \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0$ .

Därför är det tidigare uttrycket snarare

$\mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2} +\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)={\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u}$

Den högra sidan visas på energiekvationen i konvektiv form, som på det stationära tillståndet lyder:

$\mathbf {u} \cdot \nabla e=-{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u}$

Energiekvationen blir därför:

$\mathbf {u} \cdot \nabla \left(e+{\frac {p}{\rho }}+{\frac { 1}{2}}u^{2}+\phi \right)=0,$

så att den inre specifika energin nu finns i huvudet.

Eftersom den externa fältpotentialen vanligtvis är liten jämfört med de andra termerna, är det bekvämt att gruppera de senare i den totala entalpin :

$h^{t}\equiv e+{\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}u^{2}$

och Bernoulli-invarianten för ett inviscid gasflöde är:

$b_{g}\equiv h^{t}+\phi =b_{l}+e,$

som kan skrivas som:

$\mathbf {u} \cdot \nabla b_{g}=0$

Det vill säga energibalansen för ett stadigt inviscid flöde i ett externt konservativt fält säger att summan av den totala entalpin och den externa potentialen är konstant längs en strömlinje .

I det vanliga fallet med litet potentiellt fält, helt enkelt:

$\mathbf {u} \cdot \nabla h^{t}\sim 0$

Friedmann form och Crocco form

Se även: Croccos sats

Genom att ersätta tryckgradienten med entropi- och entalpigradienten, enligt termodynamikens första lag i entalpiformen:

$v\nabla p=-T\nabla s+\nabla h$

i den konvektiva formen av Eulers momentumekvation kommer man fram till:

${\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=T\nabla \,s-\nabla \,h$

Friedmann härledde denna ekvation för det speciella fallet med en perfekt gas och publicerade den 1922. Denna ekvation är dock generell för en oskyl icke-ledande vätska och ingen tillståndsekvation är implicit i den.

Å andra sidan, genom att ersätta entalpiformen för termodynamikens första lag i rotationsformen av Eulers momentumekvation, får man:

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\ frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{ \rho }}=\mathbf {g}$

och genom att definiera den specifika totala entalpin:

$h^{t}=h+{\frac {1}{2}}u^{2}$

man kommer till Crocco–Vazsonyi-formen (Crocco, 1937) av Eulers momentumekvation:

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\nabla \times \ mathbf {u} )\times \mathbf {u} -T\nabla s+\nabla h^{t}=\mathbf {g}$

I det stabila fallet är de två variablerna entropi och total entalpi särskilt användbara eftersom Euler-ekvationer kan omarbetas till Croccos form:

$\left\{{\begin{aligned}\mathbf {u} \times \nabla \ gånger \mathbf {u} +T\nabla s-\nabla h^{t}&=\mathbf {g} \\\mathbf {u} \cdot \nabla s&=0\\\mathbf {u} \cdot \ nabla h^{t}&=0\end{aligned}}\right.$

Slutligen om flödet också är isotermiskt:

$T\nabla s=\nabla (Ts)$

genom att definiera den specifika totala Gibbs fria energi :

$g^{t}\equiv h^{t}+Ts$

Croccos form kan reduceras till:

$\left\{{\begin{aligned}\mathbf {u} \times \nabla \times \mathbf {u} -\nabla g^{t}&=\mathbf {g} \\\mathbf {u} \cdot \nabla g^{t}&=0\end{aligned}}\right.$

Från dessa samband drar man slutsatsen att den specifika totala fria energin är enhetlig i ett stadigt, irroterande, isotermiskt, isoentropiskt, inviscid flöde.

Diskontinuiteter

Se även: Chockvågor och Burgers ekvation

Eulerekvationerna är kvaslinjära hyperboliska ekvationer och deras allmänna lösningar är vågor . Under vissa antaganden kan de förenklas vilket leder till Burgers ekvation . Ungefär som de välbekanta oceaniska vågorna "bryts" vågor som beskrivs av Eulerekvationerna och så kallade chockvågor bildas; detta är en olinjär effekt och representerar att lösningen blir flervärdig . Fysiskt representerar detta en uppdelning av de antaganden som ledde till formuleringen av differentialekvationerna, och för att extrahera ytterligare information från ekvationerna måste vi gå tillbaka till den mer fundamentala integralformen. Sedan svaga lösningar genom att arbeta i "hopp" (diskontinuiteter) in i flödesstorheterna – densitet, hastighet, tryck, entropi – med hjälp av Rankine–Hugoniot-ekvationerna . Fysiska kvantiteter är sällan diskontinuerliga; i verkliga flöden jämnas dessa diskontinuiteter ut av viskositet och genom värmeöverföring . (Se Navier–Stokes ekvationer )

Stötutbredning studeras – bland många andra områden – inom aerodynamik och raketframdrivning , där tillräckligt snabba flöden förekommer.

Att korrekt beräkna kontinuumstorheterna i diskontinuerliga zoner (till exempel stötvågor eller gränsskikt) från de lokala formerna (alla ovanstående former är lokala former, eftersom variablerna som beskrivs är typiska för en punkt i det betraktade utrymmet, dvs. de är lokala variabler ) av Euler-ekvationer genom finita differensmetoder i allmänhet skulle för många rymdpunkter och tidssteg vara nödvändiga för minnet av datorer nu och i en nära framtid. I dessa fall är det obligatoriskt att undvika de lokala formerna av bevarandeekvationerna, att passera några svaga former , som den finita volymen en .

Rankine–Hugoniotekvationer

Med utgångspunkt från det enklaste fallet, betraktar man en stadig fri bevarandeekvation i bevarandeform i rymddomänen:

$\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {0}$

där F i allmänhet är flödesmatrisen. Genom att integrera denna lokala ekvation över en fast volym Vm _blir det:

$\int _{V_{m}}\nabla \cdot \mathbf {F} \,dV=\mathbf {0} .$

Sedan, baserat på divergenssatsen , kan vi transformera denna integral till en gränsintegral av flödet:

$\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \,ds=\mathbf {0} .$

Denna globala form anger helt enkelt att det inte finns något nettoflöde av en konserverad kvantitet som passerar genom en region i fallet stadigt och utan källa. I 1D minskar volymen till ett intervall , dess gräns är dess extrema, sedan reduceras divergenssatsen till kalkylens fundamentalsats :

$\int _{x_{m}}^{x_{m+1}}\mathbf {F} (x')\,dx '=\mathbf {0} ,$

det är den enkla finita differensekvationen , känd som hopprelationen :

$\Delta \mathbf {F} =\mathbf {0} .$

Det kan uttryckas som:

$\mathbf {F} _{m+1}-\mathbf {F} _{m}=\mathbf {0}$

där notationen som används är:

$\mathbf {F} _{m}=\mathbf {F} (x_{m}).$

Eller, om man utför en obestämd integral:

$\mathbf {F} -\mathbf {F} _{0}=\mathbf {0} .$

Å andra sidan, en övergående bevarandeekvation:

${\partial y \over \partial t}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {0}$

ger ett hoppförhållande:

${\frac {dx}{dt}}\,\Delta u=\Delta \mathbf {F} .$

För endimensionella Euler-ekvationer är bevarandevariablerna och flödet vektorerna:

$\mathbf {y} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{v}}\\j\\E^{t}\end{pmatrix} },$

$\mathbf {F} ={\begin{pmatrix}j\\vj^{2}+p\\vj \left(E^{t}+p\right)\end{pmatrix}},$

var:

• $v$ är den specifika volymen,
• $j$ är massflödet.

är korrespondenthopprelationerna, kallade Rankine–Hugoniot-ekvationerna :<

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}\Delta \left({\frac {1}{v}}\right)&=\Delta j\\[1.2 ex]{\frac {dx}{dt}}\Delta j&=\Delta (vj^{2}+p)\\[1.2ex]{\frac {dx}{dt}}\Delta E^{t} &=\Delta (jv(E^{t}+p))\end{aligned}}\right..$

I det stadiga endimensionella fallet blir det enkelt:

$\left\{{\begin{aligned}\Delta j&=0\\[1.2ex]\Delta \left(vj^{2}+p\right)&=0\\[1.2ex]\Delta \left(j\left({\frac {E^{t}}{\rho }}+{\frac {p}{\rho }}\right)\right)&=0\end{aligned}}\ höger..$

Tack vare massdifferensekvationen kan energiskillnadsekvationen förenklas utan någon begränsning:

$\left\{{\begin{aligned}\Delta j&=0\\[1.2ex]\Delta \left(vj^{ 2}+p\right)&=0\\[1.2ex]\Delta h^{t}&=0\end{aligned}}\right.,$

där $h^{t}$ är den specifika totala entalpin.

Dessa är de vanligtvis uttryckta i de konvektiva variablerna:

$\left\{{\begin{aligned}\Delta j&=0\\[1.2ex ]\Delta \left({\frac {u^{2}}{v}}+p\right)&=0\\[1.2ex]\Delta \left(e+{\frac {1}{2}} u^{2}+pv\right)&=0\end{aligned}}\right.,$

var:

• $u$ är flödeshastigheten
• $e$ är den specifika interna energin.

Energiekvationen är en integrerad form av Bernoullis ekvation i det komprimerbara fallet. De tidigare mass- och momentumekvationerna genom substitution leder till Rayleigh-ekvationen:

${\frac {\Delta p}{\Delta v}}=-{\frac {u_{0}^{2}}{v_{0}}}.$

Eftersom den andra termen är en konstant, beskriver Rayleigh-ekvationen alltid en enkel linje i tryckvolymplanet som inte är beroende av någon tillståndsekvation, dvs Rayleigh-linjen. Genom substitution i Rankine–Hugoniot-ekvationerna kan det också göras explicit som:

$\left\{{\begin{aligned}\rho u&=\rho _{0}u_{0}\\[1.2ex]\rho u^{2}+p&=\rho _{0}u_ {0}^{2}+p_{0}\\[1.2ex]e+{\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {p}{\rho }}&=e_{ 0}+{\frac {1}{2}}u_{0}^{2}+{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\end{aligned}}\right..$

Man kan också få den kinetiska ekvationen och Hugoniots ekvation. De analytiska passagerna visas inte här för korthetens skull.

Se även: Rayleighs ekvation och Hugoniots ekvation

Dessa är respektive:

$\left\{{\begin{aligned}u^{2}(v,p)&=u_{0}^{2}+(p-p_{0})(v_{0}+v) \\[1.2ex]e(v,p)&=e_{0}+{\frac {1}{2}}(p+p_{0})(v_{0}-v)\end{aligned} }\höger..$

Hugoniots ekvation, tillsammans med materialets fundamentala tillståndsekvation:

$e=e(v,p)$

₀₀ beskriver generellt i tryckvolymplanet en kurva som går förbi förhållandena (v , p ), dvs Hugoniotkurvan, vars form starkt beror på vilken typ av material som betraktas.

Det är också vanligt att definiera en Hugoniot-funktion :

${\mathfrak {h}}(v,s)\equiv e(v,s)-e_{0}+{\frac {1}{2}}(p(v,s)+p_{0})(v-v_{0})$

gör det möjligt att kvantifiera avvikelser från Hugoniot-ekvationen, på samma sätt som den tidigare definitionen av hydraulhuvudet, användbart för avvikelserna från Bernoullis ekvation.

Finit volym form

Å andra sidan, genom att integrera en generisk bevarandeekvation:

${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {s}$

på en fast volym V _m , och sedan baserat på divergenssatsen , blir det:

${\frac {d}{dt}}\int _{V_{m}}\mathbf {y} dV+\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat { n}}ds=\mathbf {S} .$

Genom att integrera denna ekvation också över ett tidsintervall:

$\int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n+1})\,dV-\int _{V_{m}}\mathbf {y} ( \mathbf {r} ,t_{n})\,dV+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt=\mathbf {0} .$

Nu genom att definiera den nodbevarade kvantiteten:

$\mathbf {y} _{m,n}\equiv {\frac {1}{V_{m}}} \int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n})\,dV,$

vi härleder den ändliga volymformen:

$\mathbf {y} _{m,n+1}=\mathbf {y} _{m,n}-{\frac {1}{V_{m}}}\int _{t_{n} }^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt.$

I synnerhet, för Euler-ekvationer, när de konserverade kvantiteterna har bestämts, deduceras de konvektiva variablerna genom tillbakasubstitution:

$\left\{{\begin{aligned}\mathbf {u} _{m,n}&={\frac {\mathbf {j} _{m,n}}{\rho _{m,n }}}\\[1.2ex]e_{m,n}&={\frac {E_{m,n}^{t}}{\rho _{m,n}}}-{\frac {1} {2}}u_{m,n}^{2}\\[1.2ex]\end{aligned}}\right..$

Då är de explicita finita volymuttrycken för de ursprungliga konvektiva variablerna:

Euler-ekvationer ( finit volymform )

$\left\{{\begin{aligned}\rho _{m,n+1}&=\rho _{m,n}-{\frac {1}{V_{m}}}\int _ {t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\rho \mathbf {u} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt\\ [1.2ex]\mathbf {u} _{m,n+1}&=\mathbf {u} _{m,n}-{\frac {1}{\rho _{m,n}V_{m} }}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}(\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} -p\mathbf {I} )\cdot {\hat {n}}\,ds\,dt\\[1.2ex]\mathbf {e} _{m,n+1}&=\mathbf {e} _{m,n }-{\frac {1}{2}}\left(u_{m,n+1}^{2}-u_{m,n}^{2}\right)-{\frac {1}{\ rho _{m,n}V_{m}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\left(\rho e+{\ frac {1}{2}}\rho u^{2}+p\right)\mathbf {u} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt\\[1.2ex]\end{aligned }}\höger..$

Begränsningar

Det har visat sig att Euler-ekvationer inte är en komplett uppsättning ekvationer, men de kräver några ytterligare begränsningar för att erkänna en unik lösning: dessa är tillståndsekvationen för det aktuella materialet. För att vara förenliga med termodynamiken bör dessa tillståndsekvationer uppfylla termodynamikens två lagar. Å andra sidan beskrivs icke-jämviktssystem per definition av lagar som ligger utanför dessa lagar. I det följande listar vi några mycket enkla tillståndsekvationer och motsvarande inflytande på Eulers ekvationer.

Idealisk polytropisk gas

Se även: idealisk gas

För en idealisk polytrop gas är den grundläggande tillståndsekvationen :

$e(v,s)=e_{0}e^{(\gamma -1) m\left(s-s_{0}\right)}\left({v_{0} \over v}\right)^{\gamma -1}$

där $e$ är den specifika energin, $v$ är den specifika volymen, $s$ är den specifika entropin, $m$ är molekylmassan, $\ gamma$ här anses vara en konstant ( polytropisk process ), och kan visas motsvara värmekapacitetsförhållandet . Denna ekvation kan visas vara förenlig med de vanliga tillståndsekvationerna som används av termodynamiken.

Demonstration av överensstämmelse med termodynamiken hos en ideal gas

Med den termodynamiska definitionen av temperatur:

$T(e)\equiv {\partial e \over \partial s}=(\gamma -1)me$

Där temperaturen mäts i energienheter. Observera först att genom att kombinera dessa två ekvationer kan man härleda den ideala gaslagen :

$pv=mT$

eller, i vanlig form:

$p=nT$

där: $n\equiv {\frac {m}{v}}$ är materialets taltäthet. Å andra sidan är den idealiska gaslagen mindre strikt än den ursprungliga grundekvationen för staten.

Betrakta nu den molära värmekapaciteten som är associerad med en process x :

$c_{x}=\left(mT{\partial s \over \partial T}\right)_{x}$

enligt termodynamikens första lag:

$de(v,s)=-pdv+T\,ds$

det kan enkelt uttryckas som:

$c_{x}\equiv m\left({\partial e \over \partial T}\right)_{x }+mp\left({\partial v \over \partial T}\right)_{x}$

Om vi ​​nu inverterar ekvationen för temperatur T(e) härleder vi att för en ideal polytrop gas är den isokoriska värmekapaciteten konstant:

$c_{v}\equiv m\left({\partial e \over \partial T}\right) _{v}=m{de \over dT}={\frac {1}{(\gamma -1)}}$

och på liknande sätt för en idealisk polytrop gas blir den isobariska värmekapaciteten konstant:

$c_{ p}\equiv m\left({\partial e \over \partial T}\right)_{p}+mp\left({\partial v \over \partial T}\right)_{p}=m{ de \over dT}+p\left({\partial v \over \partial T}\right)_{p}={\frac {1}{(\gamma -1)}}+1$

Detta leder till två viktiga relationer mellan värmekapaciteter : konstant gamma representerar faktiskt värmekapacitetsförhållandet i den ideala polytropiska gasen:

${\frac {c_{p}}{c_{v}}}=\gamma$

och man kommer också till Meyers förhållande :

$c_{p}=c_{v}+1$

Den specifika energin är då, genom att invertera relationen T(e):

$e(T)={\frac {mT}{\gamma -1}}=c_{v}mT$

Den specifika entalpin resulterar genom substitution av den senare och av den ideala gaslagen:

$h(T)\equiv e(T)+(pv)(T) =c_{v}mT+mT=c_{p}mT$

Från denna ekvation kan man härleda ekvationen för tryck genom dess termodynamiska definition:

$p(v,e)\equiv -{\partial e \over \partial v}=(\gamma -1){ \frac {e}{v}}$

Genom att invertera den kommer man till den mekaniska tillståndsekvationen:

$e(v,p)={\frac {pv}{\gamma -1}}$

För en idealgas kan de komprimerbara Euler-ekvationerna enkelt uttryckas i de mekaniska eller primitiva variablerna specifik volym, flödeshastighet och tryck, genom att ta uppsättningen av ekvationerna för ett termodynamiskt system och modifiera energiekvationen till en tryckekvation genom denna mekaniska statsekvationen. Till sist resulterar de i konvektiv form:

Eulerekvationer för en idealisk polytrop gas ( konvektiv form )

$\left\{{\begin{aligned}{Dv \over Dt} &=v\nabla \cdot \mathbf {u} \\[1.2ex]{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}&=v\nabla p+\mathbf {g} \\[1.2ex] {Dp \over Dt}&=-\gamma p\nabla \cdot \mathbf {u} \end{aligned}}\right.$

och i endimensionell kvasilinjär form resulterar de:

${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\mathbf {A} {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial x}}={\mathbf { 0} }.$

där den konservativa vektorvariabeln är:

${\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}v\\u\\p\end{pmatrix}}$

och motsvarande jacobiska matris är:</ref>

${\mathbf {A} }={\begin{pmatrix}u&-v&0\\0&u&v\\0&\gamma p&u\end{pmatrix}}.$

Stadigt flöde i materialkoordinater

I fallet med stadigt flöde är det bekvämt att välja Frenet-Serret-ramen längs en strömlinje som koordinatsystem för att beskriva Eulers ekvation med stadigt momentum :

${\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p,$

där $\mathbf {u}$ , $p$ och ρ $\displaystyle \rho }$ betecknar flödeshastigheten , trycket respektive densiteten .

Låt $\left\{\mathbf {e} _{s},\mathbf {e} _{n},\mathbf {e} _{b}\right\ }$ vara en Frenet–Serret ortonormal basis som består av en tangentiell enhetsvektor, en normal enhetsvektor respektive en binormal enhetsvektor till strömlinjen. Eftersom en strömlinje är en kurva som tangerar flödets hastighetsvektor, kan den vänstra sidan av ekvationen ovan, den konvektiva derivatan av hastighet, beskrivas på följande sätt:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}\\&=u{\frac {\partial }{\ partiell s}}(u{\boldsymbol {e}}_{s})&({\boldsymbol {u}}=u{\boldsymbol {e}}_{s},~{\partial /\partial s} \equiv {\boldsymbol {e}}_{s}\cdot \nabla )\\&=u{\frac {\partial u}{\partial s}}{\boldsymbol {e}}_{s}+{ \frac {u^{2}}{R}}{\boldsymbol {e}}_{n}&(\eftersom ~{\frac {\partial {\boldsymbol {e}}_{s}}{\partial s}}={\frac {1}{R}}{\boldsymbol {e}}_{n}),\end{aligned}}$

där $R$ är strömlinjens krökningsradie .

Därför visar sig momentumdelen av Euler-ekvationerna för ett stadigt flöde ha en enkel form:

${\begin{cases}\displaystyle u{\frac {\partial u}{\partial s}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial s}},\\\displaystyle {u^{2} \over R}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial n}}&({\partial /\partial n}\equiv {\boldsymbol {e}}_{n}\cdot \nabla ),\\\displaystyle 0=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p} {\partial b}}&({\partial /\partial b}\equiv {\boldsymbol {e}}_{b}\cdot \nabla ).\end{cases}}$

För barotropt flöde ${\displaystyle (\rho =\rho (p))} ,$ härleds Bernoullis ekvation från den första ekvationen:

${\frac {\partial }{\partial s}}\left({\frac {u^{2}}{2}}+ \int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho }}\right)=0.$

Den andra ekvationen uttrycker att, om strömlinjen är krökt, bör det finnas en tryckgradient vinkelrät mot strömlinjen eftersom centripetalaccelerationen för fluidpaketet endast genereras av den normala tryckgradienten.

Den tredje ekvationen uttrycker att trycket är konstant längs den binormala axeln.

Effektivisera krökningssatsen

"Streamline curvature theorem" säger att trycket vid den övre ytan av en aerofoil är lägre än trycket långt borta och att trycket vid den nedre ytan är högre än trycket långt borta; sålunda genererar tryckskillnaden mellan de övre och undre ytorna på en bäryta en lyftkraft.

Låt $r$ vara avståndet från strömlinjens krökningscentrum, då skrivs den andra ekvationen enligt följande:

${\frac {\partial p}{\partial r}}=\rho {\frac {u^{2}}{r}}~(> 0),$

där ${\partial /\partial r}=-{\partial /\partial n}.$

Denna ekvation säger:

I ett jämnt flöde av en inviscid vätska utan yttre krafter, ligger strömlinjens krökningscentrum i riktning mot det minskande radiella trycket.

Även om detta förhållande mellan tryckfältet och flödeskurvaturen är mycket användbart, har det inget namn i den engelskspråkiga vetenskapliga litteraturen. Japanska vätskedynamiker kallar förhållandet "Streamline curvature theorem".

Denna "sats" förklarar tydligt varför det finns så låga tryck i mitten av virvlar , som består av koncentriska cirklar av strömlinjer. Detta är också ett sätt att intuitivt förklara varför bärytorna genererar lyftkrafter .

Exakta lösningar

Alla potentiella flödeslösningar är också lösningar av Euler-ekvationerna, och i synnerhet de inkompressibla Euler-ekvationerna när potentialen är harmonisk.

Ett tvådimensionellt parallellt skjuvflöde.

Lösningar på Eulers ekvationer med virvel är:

• parallella skjuvflöden – där flödet är enkelriktat, och flödeshastigheten endast varierar i tvärflödesriktningarna, t.ex. i ett kartesiskt koordinatsystem $(x,y,z)$ är flödet till exempel i $x$ -riktningen – där den enda hastighetskomponenten som inte är noll är $u_{x}(y,z)$ endast beroende av $y$ och $z$ och inte på $x.$
• Arnold–Beltrami–Childdress-flöde – en exakt lösning av de inkompressibla Euler-ekvationerna.
• Två lösningar av de tredimensionella Euler-ekvationerna med cylindrisk symmetri har presenterats av Gibbon, Moore och Stuart 2003. Dessa två lösningar har oändlig energi; de blåser upp överallt i rymden under begränsad tid.

Se även

• Bernoullis sats
• Kelvins cirkulationssats
• Cauchy ekvationer
• Froude nummer
• Madelungs ekvationer
• Navier–Stokes ekvationer
• Burgers ekvation
• Jeans ekvationer
• Perfekt vätska

Källor

•   Anderson, John (1995). Computational Fluid Dynamics . McGraw-Hill Education. ISBN 978-0-07-001685-9 .
•   Babinsky, Holger (november 2003), "Hur fungerar vingar?" (PDF) , Physics Education , 38 (6): 497–503, Bibcode : 2003PhyEd..38..497B , doi : 10.1088/0031-9120/38/6/001 , S2CID 1657792
•   Chorin, Alexandre J.; Marsden, Jerrold E. (2013). En matematisk introduktion till vätskemekanik . Springer. ISBN 978-1-4612-0883-9 .
• Christodoulou, Demetrios (oktober 2007). "Eulers ekvationer för komprimerbart vätskeflöde" (PDF) . Bulletin från American Mathematical Society . 44 (4): 581–602. doi : 10.1090/S0273-0979-07-01181-0 .
• Euler, Leonhard (1757). "Principes généraux du mouvement des fluides" [ De allmänna principerna för vätskerörelsen]. Mémoires de l'académie des sciences de Berlin (på franska). 11 : 274–315.
•   Fay, James A. (1994). Introduktion till vätskemekanik . MIT Press. ISBN 978-0-262-06165-0 .
•   Friedlander, S.; Serre, D., red. (2003). Handbook of Mathematical Fluid Dynamics – Volym 2 . Elsevier. ISBN 978-0-444-51287-1 .
• Friedmann, A. (1934) [1922]. Kochin, Nikolai (red.). Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости [ En uppsats om hydrodynamik hos komprimerbar vätska ] (på ryska). Petrograd .
•   Gibbon, JD; Moore, DR; Stuart, JT (2003). "Exakt, oändlig energi, uppblåsningslösningar av de tredimensionella Euler-ekvationerna". Icke-linjäritet . 16 (5): 1823–1831. Bibcode : 2003Nonli..16.1823G . doi : 10.1088/0951-7715/16/5/315 . S2CID 250797052 .
•   Henderson, LF (2000). "Allmänna lagar för spridning av chockvågor genom materia" . I Ben-Dor, Gabi; Igra, Ozer; Elperin, Tov (red.). Handbok för chockvågor, set med tre volymer . Elsevier. ISBN 978-0-08-053372-8 .
• Hunter, John K. (25 september 2006), An Introduction to the Incompressible Euler Equations (PDF) , hämtad 2019-05-31
•   今井 功 (IMAI, Isao) (november 1973). 『流体力学(前編)』 [ Fluid Dynamics 1 ] (på japanska). 裳華房 (Shoukabou). ISBN 4-7853-2314-0 .
•   Landau, LD; Lifshitz, EM (2013). Vätskemekanik . Elsevier. ISBN 978-1-4831-4050-6 .
•   Marchioro, C.; Pulvirenti, M. (1994). Matematisk teori om inkompressibla icke-viskösa vätskor . Tillämpade matematiska vetenskaper. Vol. 96. New York: Springer. ISBN 0-387-94044-8 .
•   Quartapelle, Luigi; Auteri, Franco (2013). Fluidodinamica comprimibile [ Compressible Fluid Dynamics ] (på italienska). CEA. ISBN 978-88-08-18558-7 .
•   Toro, EF (1999). Riemanns lösare och numeriska metoder för vätskedynamik: en praktisk introduktion . Springer. ISBN 978-3-540-65966-2 .
• Valorani, Mauro; Nasuti, Francesco (nd), Metodi di analisi delle turbomacchine (PDF) , Sapienza - Universit`a di Roma , hämtad 2019-05-31
• Zingale, M. (16 april 2013), Notes on the Euler equations (PDF) , hämtad 2019-05-31

Vidare läsning

•    Badin, G.; Crisciani, F. (2018). Variationsformulering av vätske- och geofysisk vätskedynamik - Mekanik, symmetrier och bevarandelagar - . Springer. sid. 218. doi : 10.1007/978-3-319-59695-2 . ISBN 978-3-319-59694-5 . S2CID 125902566 .
•   Batchelor, GK (1967). En introduktion till vätskedynamik . Cambridge University Press. ISBN 0-521-66396-2 .
•   Thompson, Philip A. (1972). Kompressibelt vätskeflöde . New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-064405-5 .