Phasor

För annan användning, se Phasor (disambiguation) .

Ej att förväxla med phaser .

"Komplex amplitud" omdirigerar här. För det kvantmekaniska konceptet, se Komplex sannolikhetsamplitud .

Ett exempel på serie RLC-krets och respektive fasdiagram för en specifik ω . Pilarna i det övre diagrammet är fasor, ritade i ett fasdiagram ( komplext plan utan axel visas), som inte får förväxlas med pilarna i det nedre diagrammet, som är referenspolariteten för spänningarna och referensriktningen för strömmen .

Inom fysik och teknik är en fasvektor (en portmanteau av fasvektor ) ett komplext tal som representerar en sinusformad funktion vars amplitud ( A ), vinkelfrekvens ( ω ) och initial fas ( θ ) är tidsinvarianta . Det är relaterat till ett mer allmänt koncept som kallas analytisk representation , som bryter ner en sinusform till produkten av en komplex konstant och en faktor beroende på tid och frekvens. Den komplexa konstanten, som beror på amplitud och fas, är känd som en fasor , eller komplex amplitud , och (i äldre texter) sinor eller till och med komplexor .

En vanlig situation i elektriska nätverk som drivs av tidsvarierande ström är förekomsten av flera sinusoider, alla med samma frekvens, men olika amplituder och faser. Den enda skillnaden i deras analytiska representationer är den komplexa amplituden (fasor). En linjär kombination av sådana funktioner kan representeras som en linjär kombination av fasorer (känd som fasaritmetik eller fasalgebra ) och den tids-/frekvensberoende faktor som de alla har gemensamt.

Ursprunget till termen fasor antyder med rätta att en (schematisk) kalkyl som liknar den som är möjlig för vektorer också är möjlig för fasorer. En viktig ytterligare egenskap hos fastransformen är att differentiering och integration av sinusformade signaler (som har konstant amplitud, period och fas) motsvarar enkla algebraiska operationer på fasorerna; fastransformen tillåter alltså analys (beräkning) av AC- steady state för RLC-kretsar genom att lösa enkla algebraiska ekvationer (om än med komplexa koefficienter) i fasdomänen istället för att lösa differentialekvationer (med reella koefficienter) i tidsdomänen. Upphovsmannen till fasomvandlingen var Charles Proteus Steinmetz som arbetade på General Electric i slutet av 1800-talet. Han fick sin inspiration från Oliver Heaviside . Heavisides operationella kalkyl modifierades så att variabeln p blir jw. Det komplexa talet j har enkel betydelse: fasförskjutning.

Om man överblickar vissa matematiska detaljer, kan fastransformen också ses som ett speciellt fall av Laplace-transformen , som dessutom kan användas för att (samtidigt) härleda transientsvaret från en RLC-krets. Laplace-transformen är dock matematiskt svårare att tillämpa och ansträngningen kan vara orättfärdig om bara steady state-analys krävs.

Fig 2. När funktionen $A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}$ avbildas i det komplexa planet, vektorn som bildas av dess imaginära och reella delar roterar runt ursprunget. Dess magnitud är A och den avslutar en cykel varannan π /ω sekund. θ är vinkeln den bildar med den positiva reella axeln vid t = 0 (och vid t = n 2 π / ω för alla heltalsvärden av n ).

Notation

Se även: Vektornotation

Fasornotation (även känd som vinkelnotation ) är en matematisk notation som används inom elektronikteknik och elektroteknik . $1\angle \theta$ kan representera antingen vektorn $(\cos \theta ,\,\sin \theta )$ eller det komplexa talet $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ , med $i^{2}=-1$ , som båda har magnituden 1. En vektor vars polära koordinater är magnituden $A$ och vinkeln $\theta$ skrivs $A\angle \theta .$

Vinkeln kan anges i grader med en underförstådd omvandling från grader till radianer . Till exempel $1\angle 90$ antas vara $1\angle 90^{\circ },$ som är vektorn $\displaystyle (0 ,\,1)}$ eller talet $e^{i\pi /2}=i.$

Definition

En realvärderad sinusoid med konstant amplitud, frekvens och fas har formen:

$A\cos(\omega t+\theta ),$

där endast parameter $t$ är tidsvariant. Inkluderandet av en imaginär komponent :

$i\cdot A\sin(\omega t+\theta )$

ger den, i enlighet med Eulers formel , factoring-egenskapen som beskrivs i lede-stycket:

$A\cos(\ omega t+\theta )+i\cdot A\sin(\omega t+\theta )=Ae^{i(\omega t+\theta )}=Ae^{i\theta}\cdot e^{i\omega t} ,$

vars verkliga del är den ursprungliga sinusformen. Fördelen med den komplexa representationen är att linjära operationer med andra komplexa representationer ger ett komplext resultat vars reella del reflekterar samma linjära operationer med de reella delarna av de andra komplexa sinusoiderna. Dessutom kan all matematik göras med bara faserna $Ae^{i\theta },$ och den gemensamma faktorn $e^{i\omega t}$ är återinförs före den verkliga delen av resultatet.

Funktionen $Ae^{i(\omega t+\theta )}$ kallas den analytiska representationen av $A\cos(\omega t+\theta ).$ Figur 2 visar den som en roterande vektor i det komplexa planet. Det är ibland bekvämt att referera till hela funktionen som en fasor , som vi gör i nästa avsnitt. Men termen fasor innebär vanligtvis bara det statiska komplexa talet $Ae^{i\theta }.$

Aritmetisk

Se även: Komplext nummer § Relationer och operationer

Multiplikation med en konstant (skalär)

Multiplikation av fas $Ae^{i\theta }e^{i\omega t}$ med en komplex konstant, $Be^{i\phi }$ , producerar en annan fasor. Det betyder att dess enda effekt är att ändra amplituden och fasen för den underliggande sinusoiden:

$${\begin{aligned}&\operatörsnamn {Re} \left(\left(Ae^{i\theta}\cdot Be^{i\phi}\right)\cdot e^{i\omega t} \right)\\={}&\operatörsnamn {Re} \left(\left(ABe^{i(\theta +\phi )}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\ ={}&AB\cos(\omega t+(\theta +\phi )).\end{aligned}}$$

Inom elektronik skulle $Be^{i\phi }$ representera en impedans , som är oberoende av tid. I synnerhet är det inte förkortningen för en annan fasor. Att multiplicera en fasström med en impedans ger en fasspänning. Men produkten av två fasorer (eller kvadrera en fas) skulle representera produkten av två sinusoider, vilket är en icke-linjär operation som producerar nya frekvenskomponenter. Fasornotation kan bara representera system med en frekvens, såsom ett linjärt system stimulerat av en sinusform.

Tillägg

Summan av fasorer som addition av roterande vektorer

Summan av flera fasorer ger en annan fasor. Det beror på att summan av sinusoider med samma frekvens också är en sinusoid med den frekvensen:

$${\begin{aligned}&A_{1}\cos(\ omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})\\[3pt]={}&\operatörsnamn {Re} \left(A_{1}e^ {i\theta _{1}}e^{i\omega t}\right)+\operatörsnamn {Re} \left(A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatörsnamn {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}+A_{2} e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatörsnamn {Re} \left(\left(A_{1}e^{i \theta _{1}}+A_{2}e^{i\theta _{2}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatörsnamn {Re } \left(\left(A_{3}e^{i\theta _{3}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&A_{3}\cos (\omega t+\theta _{3}),\end{aligned}}$$

var:

$$A_{3}^{2}= (A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2} \sin \theta _{2})^{2},$$

och, om vi tar ${\textstyle \theta _{3}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\ pi }{2}}\right]}$ , då är ${\displaystyle \theta _{3}} :$

• ${\textstyle \operatorname {sgn}(A_{1}\sin(\theta _{1})+A_ {2}\sin(\theta _{2}))\cdot {\frac {\pi }{2}},}$ om $A_{ 1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,$ med $\displaystyle \operatorname {sgn} }$ { signumfunktionen ;
• $\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \ theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right) ,$ om $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}>0$ ;
• $\pi +\arctan \left({\frac {A_{ 1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2} }}\right),$ om $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2} <0$ .

eller, via lagen om cosinus på det komplexa planet (eller den trigonometriska identiteten för vinkelskillnader ):

$$A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ }-\Delta \theta ) =A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta \theta ),$$

där $\Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}.$

En nyckelpunkt är att A ₃ och θ ₃ inte är beroende av ω eller t , vilket är det som gör fasnotation möjlig. Tids- och frekvensberoendet kan undertryckas och återinföras i resultatet så länge som de enda operationerna som används däremellan är de som producerar en annan fasor. I vinkelnotation skrivs operationen som visas ovan:

$$A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}.$$

Ett annat sätt att se addition är att två vektorer med koordinater [ A ₁ cos( ωt + θ ₁ ), A ₁ sin( ωt + θ ₁ )] och [ A ₂ cos( ωt + θ ₂ ), A ₂ sin( ωt + θ ₂ )] adderas vektoriellt för att producera en resulterande vektor med koordinater [ A ₃ cos( ωt + θ ₃ ), A ₃ sin( ωt + θ ₃ )] (se animation).

Fasordiagram över tre vågor i perfekt destruktiv interferens

Inom fysiken sker denna typ av tillägg när sinusoider stör varandra, konstruktivt eller destruktivt. Det statiska vektorkonceptet ger användbar insikt i frågor som denna: "Vilken fasskillnad skulle krävas mellan tre identiska sinusoider för perfekt avbrytning?" I det här fallet kan du helt enkelt föreställa dig att du tar tre lika långa vektorer och placerar dem huvud mot svans så att det sista huvudet matchar den första svansen. Uppenbarligen är formen som uppfyller dessa villkor en liksidig triangel , så vinkeln mellan varje fasor till nästa är 120° ( 2 π ⁄ 3 radianer), eller en tredjedel av en våglängd λ ⁄ 3 . Så fasskillnaden mellan varje våg måste också vara 120°, vilket är fallet i trefaseffekt .

Med andra ord, vad detta visar är att:

$$\cos(\omega t)+\cos \left(\omega t+ {\frac {2\pi }{3}}\right)+\cos \left(\omega t-{\frac {2\pi }{3}}\right)=0.$$

I exemplet med tre vågor var fasskillnaden mellan den första och den sista vågen 240°, medan för två vågor sker destruktiv interferens vid 180°. I gränsen för många vågor måste fasorerna bilda en cirkel för destruktiv interferens, så att den första fasorn är nästan parallell med den sista. Detta innebär att för många källor inträffar destruktiv interferens när den första och sista vågen skiljer sig med 360 grader, en full våglängd $\lambda$ . Det är därför i enkelslitsdiffraktion , minima uppstår när ljus från den bortre kanten färdas en hel våglängd längre än ljuset från den närliggande kanten.

När den enskilda vektorn roterar moturs, kommer dess spets vid punkt A att rotera ett helt varv på 360° eller 2 π radianer som representerar en hel cykel. Om längden på dess rörliga spets överförs med olika vinkelintervall i tiden till en graf som visas ovan, skulle en sinusformad vågform ritas med början till vänster med noll tid. Varje position längs den horisontella axeln indikerar tiden som har förflutit sedan nolltiden, t = 0 . När vektorn är horisontell representerar spetsen av vektorn vinklarna vid 0°, 180° och vid 360°.

På samma sätt, när spetsen på vektorn är vertikal representerar den det positiva toppvärdet, ( + A _max ) vid 90° eller π ⁄ 2 och det negativa toppvärdet, ( − A _max ) vid 270° eller 3 π ⁄ 2 . Då representerar vågformens tidsaxel vinkeln antingen i grader eller radianer genom vilken fasorn har rört sig. Så vi kan säga att en fasare representerar en skalad spänning eller strömvärde för en roterande vektor som är "frusen" någon gång, ( t ) och i vårt exempel ovan är detta i en vinkel på 30°.

Ibland när vi analyserar alternerande vågformer kan vi behöva känna till positionen för fasorn, som representerar den alternerande kvantiteten vid ett visst ögonblick, speciellt när vi vill jämföra två olika vågformer på samma axel. Till exempel spänning och ström. Vi har i vågformen ovan antagit att vågformen startar vid tidpunkten t = 0 med en motsvarande fasvinkel i antingen grader eller radianer.

Men om en andra vågform börjar till vänster eller till höger om denna nollpunkt, eller om vi i fasnotation vill representera förhållandet mellan de två vågformerna, måste vi ta hänsyn till denna fasskillnad, Φ för vågformen . Betrakta diagrammet nedan från den tidigare självstudien för fasskillnad.

Differentiering och integration

Tidsderivatan eller integralen av en fasor producerar en annan fasor . Till exempel:

$${\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)\\={}&\operatörsnamn {Re} \left(Ae^{i\theta}\cdot i\omega e^{i\ omega t}\right)\\={}&\operatörsnamn {Re} \left(Ae^{i\theta}\cdot e^{i\pi /2}\omega e^{i\omega t}\right )\\={}&\operatörsnamn {Re} \left(\omega Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}& \omega A\cdot \cos \left(\omega t+\theta +{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}$$

Därför, i fasrepresentation, blir tidsderivatan av en sinusform bara multiplikation med konstanten ${\textstyle i\omega =e^{i\pi /2}\cdot \omega }$ .

På liknande sätt motsvarar integration av en fasor multiplikation med ${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.} Den tidsberoende faktorn$ , ${ \displaystyle e^{i\omega t},}$ påverkas inte.

När vi löser en linjär differentialekvation med fasaritmetik, faktoriserar vi bara $e^{i\omega t}$ ur alla termer i ekvationen och återinför den i svaret. Tänk till exempel på följande differentialekvation för spänningen över kondensatorn i en RC-krets :

$${\frac {\mathrm {d} \,v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{RC}}v_{\text {C}}(t)={\frac {1}{RC}}v_{\text{S}}(t).$$

När spänningskällan i denna krets är sinusformad:

$$v_{\text{S}}(t)=V_{\text{P}}\cdot \cos(\omega t+\ theta ),$$

$v_{\text{S}}(t)=\operatörsnamn {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).$ ersätta

$$v_{\text{C}}(t)=\operatörsnamn {Re} \left(V_{\text{c}}\ cdot e^{i\omega t}\right),$$

där fas $V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },$ och fas $V_{\ text{c}}$ är den okända kvantiteten som ska bestämmas.

I fasstenografin reduceras differentialekvationen till:

$$i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}={\frac {1}{RC}}V_{\text{s }}.$$

Härledning

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatörsnamn {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)+{\frac { 1}{RC}}\operatörsnamn {Re} (V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t})={\frac {1}{RC}}\operatörsnamn {Re} \left( V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right)$

 

 

 

 

()

Eftersom detta måste gälla för alla $t$ , specifikt: ${\textstyle t-{\frac {\pi }{2\omega }},}$ följer det att:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatörsnamn {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right )+{\frac {1}{RC}}\operatörsnamn {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)={\frac {1}{RC }}\operatörsnamn {Im} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).$

 

 

 

 

()

Det är också lätt att se att:

$${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatörsnamn {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i \omega t}\right)&=\operatörsnamn {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(V_{\text{c} }\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)=\operatörsnamn {Re} \left(i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\ höger)\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatörsnamn {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\ höger)&=\operatörsnamn {Im} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(V_{\text{c}}\cdot e^ {i\omega t}\right)}}\right)=\operatörsnamn {Im} \left(i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right).\end {Justerat}}$$

Genom att ersätta dessa med ekv.1 och ekv.2 , multiplicera ekv.2 med $i,$ och addera båda ekvationerna ger:

$${\begin{aligned}i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}\ cdot e^{i\omega t}&={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\\\left(i\omega V_{\ text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}\right)\!\cdot e^{i\omega t}&=\left({\frac {1} {RC}}V_{\text{s}}\right)\cdot e^{i\omega t}\\i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_ {\text{c}}&={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}.\end{aligned}}$$

Att lösa faskondensatorns spänning ger:

$$V_{\text{c}}={\frac {1}{1+i\omega RC}}\cdot V_{\text{s}}={\frac {1-i\omega RC}{ 1+(\omega RC)^{2}}}\cdot V_{\text{P}}e^{i\theta }.$$

Som vi har sett representerar faktorn som multiplicerar $V_{\text{s}}$ skillnader i amplituden och fasen för $v_{\text{C}}(t)$ relativt $V_{\text{P}}$ och $\theta .$

I polär koordinatform är den första termen i det sista uttrycket:

$$1+ (\omega RC)^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-i\phi (\omega )} ,}$$

där $\phi (\omega )=\arctan(\omega RC)$ .

Därför:

$$v_{\text{C}}(t)=\operatörsnamn {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)={\frac {1 }{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{\text{P}}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega )).$$

Förhållande mellan faser

En storhet som kallas komplex impedans är förhållandet mellan två fasorer, vilket inte är en fasor, eftersom det inte motsvarar en sinusformigt varierande funktion.

Ansökningar

Kretslagar

Med fasorer kan teknikerna för att lösa DC- kretsar tillämpas för att lösa linjära AC-kretsar.

Ohms lag för resistorer

Ett motstånd har inga tidsfördröjningar och ändrar därför inte fasen på en signal, därför förblir V = IR giltigt.

Ohms lag för motstånd, induktorer och kondensatorer

V = IZ där Z är den komplexa impedansen .

Kirchhoffs kretslagar

Arbeta med spänningar och ström som komplexa fasorer.

I en växelströmskrets har vi verklig effekt ( P ) som är en representation av medeleffekten in i kretsen och reaktiv effekt ( Q ) som indikerar effekt som flyter fram och tillbaka. Vi kan också definiera den komplexa potensen S = P + jQ och den skenbara potensen som är storleken på S . Effektlagen för en växelströmskrets uttryckt i faser är då S = VI ^* (där I ^* är det komplexa konjugatet av I , och storleken på spännings- och strömfasorerna V och I är RMS -värdena för spänningen och strömmen, respektive).

Med tanke på detta kan vi tillämpa teknikerna för analys av resistiva kretsar med fasorer för att analysera enkelfrekvens linjära AC-kretsar som innehåller motstånd, kondensatorer och induktorer . Linjära växelströmskretsar med flera frekvenser och växelströmskretsar med olika vågformer kan analyseras för att hitta spänningar och strömmar genom att transformera alla vågformer till sinusvågskomponenter (med hjälp av Fourier-serien ) med storlek och fas och sedan analysera varje frekvens separat, som tillåts av superpositionssatsen . Denna lösningsmetod gäller endast för ingångar som är sinusformade och för lösningar som är i steady state, dvs efter att alla transienter har dött ut.

Konceptet är ofta involverat i att representera en elektrisk impedans . I detta fall är fasvinkeln fasskillnaden mellan spänningen som appliceras på impedansen och strömmen som drivs genom den.

Kraftteknik

Vid analys av trefasiga växelströmssystem definieras vanligtvis en uppsättning fasorer som de tre komplexa kubrötter av enhet, grafiskt representerade som enhetsstorlekar vid vinklar på 0, 120 och 240 grader. Genom att behandla flerfasiga AC-kretsmängder som fasorer kan balanserade kretsar förenklas och obalanserade kretsar kan behandlas som en algebraisk kombination av symmetriska komponenter . Detta tillvägagångssätt förenklar avsevärt det arbete som krävs vid elektriska beräkningar av spänningsfall, effektflöde och kortslutningsströmmar. I samband med energisystemanalys anges ofta fasvinkeln i grader och storleken i RMS -värde snarare än sinusformens toppamplitud.

Tekniken med synkrofasörer använder digitala instrument för att mäta fasorerna som representerar transmissionssystemspänningar vid utbredda punkter i ett transmissionsnät. Skillnader mellan faserna indikerar effektflöde och systemstabilitet.

Telekommunikation: analoga moduleringar

A: fasrepresentation av amplitudmodulering, B: alternativ representation av amplitudmodulering, C: fasrepresentation av frekvensmodulering, D: alternativ representation av frekvensmodulering

Den roterande bildramen som använder fasor kan vara ett kraftfullt verktyg för att förstå analoga moduleringar som amplitudmodulering (och dess varianter) och frekvensmodulering .

$$x(t)=\operatörsnamn {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i2 \pi f_{0}t}\right),$$

där termen inom parentes ses som en roterande vektor i det komplexa planet.

Fasorn har längden $A$ , roterar moturs med en hastighet av $f_{0}$ varv per sekund, och vid tiden $t=0$ gör vinkeln ${ \displaystyle \theta }$ med avseende på den positiva reella axeln.

Vågformen $x(t)$ kan sedan ses som en projektion av denna vektor på den reella axeln. En modulerad vågform representeras av denna fasor (bärvågen) och två ytterligare fasorer (modulationsfasorerna). Om den modulerande signalen är en enkel ton av formen ${\displaystyle Am\cos {2\pi f_{m}t}} ,$ där $m$ är moduleringsdjupet och $f_{m}$ är frekvensen för den modulerande signalen, då för amplitudmodulering ges de två modulationsfaserna av,

${1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}+f_ {m})t}$ och

${1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}-f_ {m})t}$ .

De två moduleringsfasorerna är fasade så att deras vektorsumma alltid är i fas med bärvågsfasorn. En alternativ representation är två fasorer som motroterar runt änden av bärvågsfasorn med en hastighet $f_{m}$ i förhållande till bärvågsfasorn. Det är,

${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta}\cdot e^{i2\pi f_{m}t}} ,$ och

${1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{-i2\pi f_{m}t}$ .

Frekvensmodulering är en liknande representation förutom att de modulerande fasorerna inte är i fas med bärvågen. I detta fall skiftas vektorsumman för de modulerande fasorerna 90° från bärvågsfasen. ${\displaystyle 2f_{m},3f_{m}} etc, men för$ frekvensmodulationsrepresentation ytterligare små moduleringsfasorer vid flesta praktiska ändamål ignoreras dessa eftersom deras effekt är mycket liten.

Se även

• Infas- och kvadraturkomponenter
  • Konstellationsdiagram
• Analytisk signal , en generalisering av fasorer för tidsvarierande amplitud, fas och frekvens.
  • Komplext kuvert
• Fasfaktor , en fasfaktor av enhetsstorlek

Vidare läsning

•   Douglas C. Giancoli (1989). Fysik för vetenskapsmän och ingenjörer . Prentice Hall. ISBN 0-13-666322-2 .
•   Dorf, Richard C.; Tallarida, Ronald J. (1993-07-15). Pocket Book of Electrical Engineering Formulas (1 upplaga). Boca Raton, FL: CRC Press. s. 152–155. ISBN 0849344735 .

externa länkar

• Phasor Phactory
• Visuell representation av fasorer
• Polär och rektangulär notation
• Fasor inom telekommunikation