Eulers kritiska belastning

   Fig. 1: Kritisk spänning vs slankhetsförhållande för stål, för E = 200 GPa, sträckgräns = 240 MPa .

Eulers kritiska belastning är den tryckbelastning vid vilken en smal pelare plötsligt kommer att böjas eller bucklas . Det ges av formeln:

$$P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}$$

var

• $P_{cr}$ , Eulers kritiska belastning (längsgående kompressionsbelastning på kolumn),
• $E$ , Youngs modul för kolumnmaterialet,
• $I$ , minsta andra areamoment av kolumnens tvärsnitt (area tröghetsmoment),
• ${\displaystyle L} ,$ längd på kolumn som inte stöds ,
• $K$ , kolumns effektiva längdfaktor

Denna formel härleddes 1757 av den schweiziske matematikern Leonhard Euler . Kolonnen förblir rak för laster mindre än den kritiska lasten. Den kritiska belastningen är den största belastningen som inte kommer att orsaka lateral deformation (buckling). För belastningar större än den kritiska belastningen kommer kolonnen att avböjas i sidled. Den kritiska belastningen försätter kolonnen i ett tillstånd av instabil jämvikt. En belastning utöver den kritiska belastningen gör att kolonnen misslyckas genom att bucklas . När belastningen ökas utöver den kritiska belastningen ökar de laterala avböjningarna, tills den kan misslyckas i andra lägen, såsom eftergivande av materialet. Inläsning av kolumner utöver den kritiska belastningen behandlas inte i den här artikeln.

Omkring 1900 visade JB Johnson att vid låga slankhetsförhållanden borde en alternativ formel användas.

Modellens antaganden

Fig. 2: Kolumns effektiva längdfaktorer för Eulers kritiska last. Vid praktisk design rekommenderas att öka faktorerna enligt ovan.

Följande antaganden görs när man härleder Eulers formel:

1. Kolonnens material är homogent och isotropt .
2. Tryckbelastningen på pelaren är endast axiell.
3. Kolonnen är fri från initial stress .
4. Kolonnens vikt försummas .
5. Pelaren är initialt rak (ingen excentricitet för den axiella belastningen).
6. Stiftförband är friktionsfria (ingen momentbegränsning) och fasta ändar är stela (ingen rotationsavböjning).
7. Kolonnens tvärsnitt är likformigt över hela dess längd .
8. Den direkta spänningen är mycket liten jämfört med böjspänningen (materialet komprimeras endast inom det elastiska intervallet av töjningar).
9. Kolonnens längd är mycket stor jämfört med kolonnens tvärsnittsdimensioner.
10. Kolonnen misslyckas endast genom buckling. Detta gäller om tryckspänningen i kolumnen inte överstiger sträckgränsen σ $\displaystyle \sigma _{y}}$ (se figur 1):
    $$\sigma ={\frac {P_{cr}}{A}}={\frac {\pi ^{2} E}{(L_{e}/r)^{2}}}<\sigma _{y}$$
    var:
    • ${\textstyle {L_{e}}/{r}}$ är slankhetsförhållandet,
    • $L_{e}=KL$ är den effektiva längden,
    • ${\textstyle r={\sqrt {I/A}}}$ är gyrationsradien ,
    • $I$ är det andra areamomentet (area tröghetsmoment),
    • $A$ är areans tvärsnitt.

För smala pelare är den kritiska bucklingsspänningen vanligtvis lägre än sträckgränsen. Däremot kan en tjock pelare ha en kritisk bucklingsspänning högre än sträcket, dvs den ger efter före buckling.

Matematisk härledning

Fäst avslutad kolumn

Följande modell gäller för kolumner som helt enkelt stöds i varje ände ( ${\displaystyle K=1} )$ .

För det första kommer vi att uppmärksamma det faktum att det inte finns några reaktioner i de gångjärnsförsedda ändarna, så vi har heller ingen skjuvkraft i något tvärsnitt av kolonnen. Orsaken till inga reaktioner kan erhållas från symmetri (så reaktionerna bör vara i samma riktning) och från momentjämvikt (så reaktionerna bör vara i motsatta riktningar).

Använd fria kroppsdiagrammet till höger i figur 3 och gör en summering av moment kring punkt x :

$$\Sigma M=0\Högerpil M(x)+Pw=0$$

där w är den laterala avböjningen.

Enligt Euler-Bernoulli strålteori är avböjningen av en balk relaterad till dess böjmoment genom:

$$M=-EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}.$$

Fig. 3: Kolumn med tappslut under påverkan av knäckningsbelastning

så:

$$EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+Pw=0$$

Låt ${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}} ,$ så:

$${\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+\lambda ^{2}w=0$$

Vi får en klassisk homogen andra ordningens vanlig differentialekvation .

De allmänna lösningarna för denna ekvation är: $w(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\ lambda x)$ , där $A$ och $B$ är konstanter som ska bestämmas av randvillkor , som är:

• Vänster ände fäst: $w(0)=0\högerpil A=0$
• Höger ände fäst: $w(\ell )=0\högerpil B\sin(\lambda \ell )=0$

Fig. 4: De tre första lägena för knäcklaster

Om $B=0$ finns inget böjmoment och vi får den triviala lösningen av $w(x)=0$ .

Men från den andra lösningen $\sin(\lambda \ell )=0$ får vi $\lambda _{n}\ell =n\pi$ , för $n=0,1,2,\ldots$

Tillsammans med $\lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}$ som definierats tidigare är de olika kritiska lasterna:

$$P_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{\ell ^ {2}}}\;,\quad {\text{ för }}n=0,1,2,\ldots$$

och beroende på värdet på $n$ produceras olika bucklingslägen som visas i figur 4. Belastningen och läget för n=0 är det icke bucklade läget.

Teoretiskt sett är vilket knäckningssätt som helst möjligt, men i fallet med en långsamt applicerad belastning kommer sannolikt endast den första modala formen att produceras.

Den kritiska belastningen för Euler för en kolumn med stift är därför:

$$P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{\ell ^{2}}}$$

och den erhållna formen på den böjda kolonnen i det första läget är:

$$w(x)=B\sin \left({\pi \over \ell }x\right).$$

Allmän riktlinje

Fig. 5: krafter och moment som verkar på en pelare.

Differentialekvationen för en stråles axel är:

$${\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+{\frac {P}{ EI}}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\frac {q}{EI}}$$

För en kolumn med endast axiell belastning försvinner sidobelastningen $q(x)$ och ersätter $\lambda ^{2}={\frac {P}{EI }}$ , vi får:

$${\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+\lambda ^{2}{\frac {d ^{2}w}{dx^{2}}}=0$$

Detta är en homogen fjärde ordningens differentialekvation och dess allmänna lösning är

$$w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x) +Cx+D$$

De fyra konstanterna $A,B,C,D$ bestäms av gränsvillkoren (ändrestriktioner) på $w(x)$ , i varje ände. Det finns tre fall:

1. Fäst ände:

   $w=0$ och $M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0$

2. Fast slut:

   $w=0$ och ${dw \over dx}=0$

3. Fri ände:

   $M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0$ och $V=0\högerpil {d^{3}w \over dx^{3}}+\lambda ^{2}{dw \over dx}=0$

För varje kombination av dessa randvillkor erhålls ett egenvärdesproblem . När vi löser dem får vi värdena för Eulers kritiska belastning för vart och ett av fallen som presenteras i figur 2.

Se även

• Spänning
• Böjningsmoment
• Böjning
• Euler–Bernoullis strålteori