De Moivres formel

Inom matematiken anger de Moivres formel (även känd som de Moivres sats och de Moivres identitet ) att för alla reella tal x och heltal n gäller att

${\big (}\cos x+i\sin x{\big )}^{n}=\ cos nx+i\sin nx,$

där i är den imaginära enheten ( i ² = −1 ). Formeln är uppkallad efter Abraham de Moivre , även om han aldrig angav det i sina verk. Uttrycket cos x + i sin x förkortas ibland till cis x .

Formeln är viktig eftersom den kopplar samman komplexa tal och trigonometri . Genom att expandera den vänstra sidan och sedan jämföra de reella och imaginära delarna under antagandet att x är reell, är det möjligt att härleda användbara uttryck för cos nx och sin nx i termer av cos x och sin x .

Som skrivet är formeln inte giltig för icke-heltalspotenser n . Det finns dock generaliseringar av denna formel som är giltiga för andra exponenter. Dessa kan användas för att ge explicita uttryck för de n: te rötterna av enhet , det vill säga komplexa tal z så att z ⁿ = 1 .

Exempel

För $x=30^{\circ }$ och $n=2$ , hävdar de Moivres formel att

$$\(0(^{\cos circ })+i\sin(30^{\circ})\right)^{2}=\cos(2\cdot 30^{\circ })+i\sin(2\cdot 30^{\circ } ),$$

eller motsvarande det

$$\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}+ {\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}.$$

I det här exemplet är det lätt att kontrollera ekvationens giltighet genom att multiplicera ut den vänstra sidan.

Relation till Eulers formel

De Moivres formel är en föregångare till Eulers formel

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$$

som fastställer det grundläggande sambandet mellan de trigonometriska funktionerna och den komplexa exponentialfunktionen.

Man kan härleda de Moivres formel med Eulers formel och exponentiallagen för heltalspotenser

$\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx},$

eftersom Eulers formel antyder att den vänstra sidan är lika med $\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}$ medan den högra sidan är lika med till

$e^{inx}=\cos nx+i\sin nx.$

Bevis genom induktion

Sanningen i de Moivres sats kan fastställas genom att använda matematisk induktion för naturliga tal, och utökas till alla heltal därifrån. För ett heltal n , anrop följande påstående S( n ) :

$(\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx.$

För n > 0 fortsätter vi med matematisk induktion . S(1) är helt klart sant. För vår hypotes antar vi att S( k ) är sant för vissa naturliga k . Det vill säga, vi antar

$\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos kx+i\sin kx.$

Nu med tanke på S( k + 1) :

${\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right) ^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left(\cos kx +i\sin kx\right)\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\text{av induktionshypotesen}}\\&=\cos kx\cos x-\sin kx\ sin x+i\left(\cos kx\sin x+\sin kx\cos x\right)\\&=\cos((k+1)x)+i\sin((k+1)x)&&\ qquad {\text{av de trigonometriska identiteterna}}\end{alignedat}}$

Se vinkelsumma och skillnadsidentiteter .

Vi drar slutsatsen att S( k ) innebär S( k + 1) . Genom principen om matematisk induktion följer att resultatet är sant för alla naturliga tal. Nu S(0) helt klart sant eftersom cos(0 x ) + i sin(0 x ) = 1 + 0 i = 1 . Slutligen, för de negativa heltalsfallen, betraktar vi en exponent för − n för naturligt n .

${\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{-n}&={\big (}\left(\cos x+i\sin x\ höger)^{n}{\big )}^{-1}\\&=\left(\cos nx+i\sin nx\right)^{-1}\\&=\cos(-nx)+ i\sin(-nx).\qquad (*)\\\end{aligned}}$

Ekvationen (*) är ett resultat av identiteten

$z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}},$

för z = cos nx + i sin nx . Därför S( n ) för alla heltal n .

Formler för cosinus och sinus individuellt

Se även: Lista över trigonometriska identiteter

För en likhet av komplexa tal måste man nödvändigtvis ha likhet både av de reella delarna och de imaginära delarna av båda medlemmarna i ekvationen. Om x , och därför även cos x och sin x , är reella tal , så kan identiteten för dessa delar skrivas med hjälp av binomialkoefficienter . Denna formel gavs av den franske matematikern François Viète från 1500-talet :

${\begin{aligned}\sin nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x )^{nk}\,\sin {\frac {(nk)\pi }{2}}\\\cos nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k} }(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{nk}\,\cos {\frac {(nk)\pi}{2}}.\end{aligned}}$

I var och en av dessa två ekvationer är den slutliga trigonometriska funktionen lika med ett eller minus ett eller noll, vilket tar bort hälften av posterna i var och en av summorna. Dessa ekvationer är faktiskt giltiga även för komplexa värden på x , eftersom båda sidor är hela (det vill säga holomorfa på hela det komplexa planet ) funktioner av x , och två sådana funktioner som sammanfaller på den reella axeln nödvändigtvis sammanfaller överallt. Här är de konkreta fallen av dessa ekvationer för n = 2 och n = 3 :

${\begin{alignedat}{2}\cos 2x&=\left(\cos x\right)^{2}+\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right )&{}={}&2\left(\cos x\right)^{2}-1\\\sin 2x&=2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right)&&\ \\cos 3x&=\left(\cos x\right)^{3}+3\cos x\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={} &4\left(\cos x\right)^{3}-3\cos x\\\sin 3x&=3\left(\cos x\right)^{2}\left(\sin x\right)-\ left(\sin x\right)^{3}&{}={}&3\sin x-4\left(\sin x\right)^{3}.\end{alignedat}}$

Den högra sidan av formeln för cos nx är i själva verket värdet T _n (cos x ) för Chebyshev-polynomet T _n vid cos x .

Misslyckande för icke-heltalspotenser och generalisering

De Moivres formel håller inte för potenser som inte är heltal. Härledningen av de Moivres formel ovan involverar ett komplext tal upphöjt till heltalspotensen n . Om ett komplext tal höjs till en potens som inte är heltal, är resultatet flervärdigt (se effektfel och logaritmidentiteter ) . Till exempel, när n = 1 / 2 ger de Moivres formel följande resultat:

för x = 0 ger formeln 1 ^1/2 = 1 , och

för x = 2 π ger formeln 1 ^1/2 = −1 .

Detta tilldelar två olika värden för samma uttryck 1 ^1/2 , så formeln är inte konsekvent i det här fallet.

Å andra sidan är värdena 1 och −1 båda kvadratrötter ur 1. Mer allmänt, om z och w är komplexa tal, då

$\left(\cos z+i\sin z\right)^{w}$

är flervärdigt medan

$\cos wz+i\sin wz$

är inte. Det är dock alltid så

$\cos wz+i\sin wz$

är ett av värdena för

$\left(\cos z+i\sin z\right)^{w}.$

Rötter av komplexa tal

En blygsam förlängning av versionen av de Moivres formel som ges i denna artikel kan användas för att hitta de n: te rötterna av ett komplext tal (motsvarande potensen 1 / n ).

Om z är ett komplext tal, skrivet i polär form som

$z=r\left(\cos x+i\sin x\right),$

då ges de n n :te rötterna av z av

$r^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {x+2 \pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}}\right)$

där k varierar över heltalsvärdena från 0 till n − 1 .

Denna formel är också ibland känd som de Moivres formel.

Analoger i andra inställningar

Hyperbolisk trigonometri

Eftersom cosh x + sinh x = e ^x , gäller en analog till de Moivres formel också för den hyperboliska trigonometrin . För alla heltal n ,

$$(\cosh x+\sinh x)^{n}=\cosh nx+\sinh nx.$$

Om n är ett rationellt tal (men inte nödvändigtvis ett heltal), så kommer cosh nx + sinh nx att vara ett av värdena för (cosh x + sinh x ) ⁿ .

Utvidgning till komplexa tal

Formeln gäller för alla komplexa tal $z=x+iy$

$(\cos z+i\sin z)^{n}=\cos {nz}+i\sin {nz}.$

var

${\begin{aligned}\cos z=\cos(x+iy)&=\cos x\cosh yi\sin x\sinh y\,,\\\sin z=\sin(x+iy) &=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\,.\end{aligned}}$

Kvaternioner

För att hitta rötterna till en quaternion finns en analog form av de Moivres formel. En quaternion i formen

$d+a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}}$

kan representeras i formen

$q=k(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad {\mbox{för }}0\leq \theta <2\pi .$

I denna representation,

$k={\sqrt {d^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}},$

och de trigonometriska funktionerna definieras som

$\cos \theta ={\frac {d}{k}}\quad {\mbox{and}}\quad \sin \theta =\pm {\frac {\sqrt {a^{2}+b ^{2}+c^{2}}}{k}}.$

I det fall a ² + b ² + c ² ≠ 0 ,

$\varepsilon =\pm {\frac {a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf { \hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},$

det vill säga enhetsvektorn. Detta leder till variationen av De Moivres formel:

$q^{n}=k^{n}(\cos n\theta +\varepsilon \sin n\theta ).$

Exempel

För att hitta kubrötter

$Q=1+\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} ,$

skriv kvarternionen i formuläret

$Q=2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+\varepsilon \sin {\frac {\pi}{3}}\right)\qquad {\mbox{där }} \varepsilon ={\frac {\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {3}}}.$

Då ges kubrötterna av:

${\sqrt[{3}]{Q}}={\sqrt[{3}]{2}}(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad {\mbox{för }} \theta ={\frac {\pi }{9}},{\frac {7\pi }{9}},{\frac {13\pi }{9}}.$

2 × 2 matriser

Betrakta följande matris $A={\begin{pmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\ cos \phi \end{pmatrix}}$ . Då $\be &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}\cos n\phi &\sin n\phi \\-\sin n\phi &\cos n\phi \end{pmatrix}}$ . Detta faktum (även om det kan bevisas på samma sätt som för komplexa tal) är en direkt konsekvens av det faktum att rymden av matriser av typen ( $\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\ \-b&a\end{pmatrix}}}$ är isomorft till det komplexa planet .

•   Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Handbok i matematiska funktioner . New York: Dover Publications. sid. 74 . ISBN 0-486-61272-4 . .

externa länkar

• De Moivre's Theorem for Trig Identities av Michael Croucher, Wolfram Demonstrations Project .