Kubisk oktaedrisk bikaka
| Kub-oktaeder honungskaka | |
|---|---|
| Typ | Kompakt enhetlig honungskaka |
| Schläfli symbol | {(3,4,3,4)} eller {(4,3,4,3)} |
| Coxeter diagram |
               ↔ ↔  
|
| Celler |
  {4,3} {3,4} r{4,3} 
|
| Ansikten |
triangel {3} kvadrat {4} |
| Vertex figur |
 rhombicuboctahedron |
| Coxeter grupp | [(4,3) [2] ] |
| Egenskaper | Vertextransitiv, kanttransitiv |
I geometrin av hyperboliskt 3-utrymme är den cubic-octahedral honeycomb en kompakt enhetlig honeycomb , konstruerad av kub- , oktaeder- och cuboctahedron -celler, i en rhombicuboctahedron vertexfigur . Den har ett enringigt Coxeter-diagram , , och namnges av sina två vanliga celler.
En geometrisk bikaka är en rymdfyllning av polyedriska eller högre dimensionella celler , så att det inte finns några luckor. Det är ett exempel på den mer allmänna matematiska plattsättningen eller tessellationen i valfritt antal dimensioner.
Bikakor konstrueras vanligtvis i vanligt euklidiskt ("platt") utrymme, som de konvexa enhetliga bikakorna . De kan också konstrueras i icke-euklidiska utrymmen , såsom hyperboliska enhetliga honeycombs . Vilken ändlig enhetlig polytop som helst kan projiceras till sin omkrets för att bilda en enhetlig bikaka i sfäriskt utrymme.
Bilder
Vidvinkelperspektivvyer:
Centrerad på kub
Centrerad på oktaeder
Centrerad på cuboctahedron
Den innehåller en undergrupp H2 plattsättning, den alternerade ordningen-4 hexagonala plattsättningen , , med vertexfigur (3.4) 4 .
Symmetri
En lägre symmetriform, index 6, av denna bikaka kan konstrueras med [(4,3,4,3 * )] symmetri, representerad av en trigonal trapezoeder fundamental domän och Coxeter diagram . Denna lägre symmetri kan utökas genom att återställa en spegel som .
     ↔ =
|
    ↔ =
|
 ↔ =
|
Relaterade honungskakor
Det finns 5 relaterade enhetliga bikakor genererade inom samma familj, genererade med 2 eller fler ringar av Coxeter-gruppen : , , , , .
Rättad kubisk-oktaedrisk honungskaka
| Rättad kubisk-oktaedrisk honungskaka | |
|---|---|
| Typ | Kompakt enhetlig honungskaka |
| Schläfli symbol | r{(4,3,4,3)} |
| Coxeter diagram |
|
| Celler |
r{4,3} rr{3,4} 
|
| Ansikten |
triangel {3} kvadrat {4} |
| Vertex figur |
 kubisk |
| Coxeter grupp | [[(4,3) [2] ]],  
|
| Egenskaper | Vertextransitiv, kanttransitiv |
Den rätade kubisk-oktaedriska bikakan är en kompakt enhetlig bikake , konstruerad av kubisk-oktaedriska celler och rhombicuboctahedron -celler, i en kubisk vertexfigur . Den har ett Coxeter-diagram .
- Perspektivvy från mitten av rhombicuboctahedron
Cyklotrunkerad kubisk-oktaedrisk bikaka
| Cyklotrunkerad kubisk-oktaedrisk bikaka | |
|---|---|
| Typ | Kompakt enhetlig honungskaka |
| Schläfli symbol | ct{(4,3,4,3)} |
| Coxeter diagram |
|
| Celler |
 t{4,3} {3,4}
|
| Ansikten |
triangel {3} oktagon {8} |
| Vertex figur |
 fyrkantig antiprisma |
| Coxeter grupp | [[(4,3) [2] ]],  
|
| Egenskaper | Vertextransitiv, kanttransitiv |
Den cyklotrunkerade kubisk-oktaedriska bikakan är en kompakt enhetlig bikaka , konstruerad av trunkerade kub- och oktaederceller , i en kvadratisk antiprisma -vertexfigur . Den har ett Coxeter-diagram .
- Perspektivvy från mitten av oktaedern
Det kan ses som något analogt med den trioktagonala plattsättningen , som har trunkerade kvadratiska och triangelfasetter:
Cyklotrunkerad oktaedrisk-kubisk bikaka
| Cyklotrunkerad oktaedrisk-kubisk bikaka | |
|---|---|
| Typ | Kompakt enhetlig honungskaka |
| Schläfli symbol | ct{(3,4,3,4)} |
| Coxeter diagram |
 ↔ ↔
|
| Celler |
{4,3} t{3,4} 
|
| Ansikten |
kvadratisk {4} sexkant {6} |
| Vertex figur |
 triangulär antiprisma |
| Coxeter grupp | [[(4,3) [2] ]],
|
| Egenskaper | Vertextransitiv, kanttransitiv |
Den cyklotrunkerade oktaedriska-kubiska bikakan är en kompakt enhetlig bikake , konstruerad av kub och trunkerade oktaederceller , i en triangulär antiprisma vertexfigur . Den har ett Coxeter-diagram .
- Perspektivvy från mitten av kuben
Den innehåller en H2-undergrupp tetrahexagonala plattor omväxlande fyrkantiga och hexagonala ytor, med Coxeter-diagram eller halvsymmetri :
Symmetri
     Trigonal trapetsoeder ↔
|
   Halv domän ↔  
|
   H 2 undergrupp, rombisk *3232 ↔
|
En radiell undergruppssymmetri, index 6, av denna bikaka kan konstrueras med [(4,3,4,3 * )], , representerad av en trigonal trapezoeder fundamental domän, och Coxeter diagram . Denna lägre symmetri kan utökas genom att återställa en spegel som .
|
↔ =
|
 ↔ =
|
|
Stympad kubisk-oktaedrisk honungskaka
| Stympad kubisk-oktaedrisk honungskaka | |
|---|---|
| Typ | Kompakt enhetlig honungskaka |
| Schläfli symbol | t{(4,3,4,3)} |
| Coxeter diagram |
|
| Celler |
   t{3,4} t{4,3} rr{3,4} tr{4,3} 
|
| Ansikten |
triangel {3} kvadrat {4} sexkant {6} oktagon {8} |
| Vertex figur |
 rektangulär pyramid |
| Coxeter grupp | [(4,3) [2] ] |
| Egenskaper | Vertex-transitiv |
Den trunkerade cubic-octahedral honeycomben är en kompakt enhetlig honeycomb , konstruerad av trunkerad octahedron , trunkerad kub , rhombicuboctahedron och trunkerade cuboctahedron celler, i en rektangulär pyramid vertex figur . Den har ett Coxeter-diagram .
- Perspektivvy från mitten av rhombicuboctahedron
Omnitruncerad kubisk-oktaedrisk honungskaka
| Omnitruncerad kubisk-oktaedrisk honungskaka | |
|---|---|
| Typ | Kompakt enhetlig honungskaka |
| Schläfli symbol | tr{(4,3,4,3)} |
| Coxeter diagram |
|
| Celler |
tr{3,4}
|
| Ansikten |
kvadratisk {4} sexkant {6} oktagon {8} |
| Vertex figur |
 Rombisk disfenoid |
| Coxeter grupp | [2[(4,3) [2] ]] eller [(2,2) + [(4,3) [2] ]],
|
| Egenskaper | Vertextransitiv, kanttransitiv, celltransitiv |
Den omnitruncated cubic-octahedral honeycomb är en kompakt enhetlig honeycomb , konstruerad av trunkerade cuboctahedron celler, i en rombisk disphenoid vertex figur . Den har ett Coxeter-diagram med [2,2] + (ordning 4) utökad symmetri i sin rombiska disfenoida vertexfigur .
- Perspektivvy från mitten av stympad cuboctahedron
Se även
- Coxeter , Regular Polytopes , 3:a. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tabell I och II: Vanliga polytoper och honeycombs, s. 294–296)
- Coxeter , The Beauty of Geometry: Twelve Essays , Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Kapitel 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Sammanfattningstabeller II,III,IV,V, p212-213)
- Jeffrey R. Weeks The Shape of Space, 2:a upplagan ISBN 0-8247-0709-5 (Kapitel 16-17: Geometries on Three-manifolds I,II)
-
Norman Johnson Uniform Polytopes , Manuskript
- NW Johnson : Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. Avhandling, University of Toronto, 1966
- NW Johnson: Geometries and Transformations , (2018) Kapitel 13: Hyperboliska Coxeter-grupper