Bunt gerbe

Inom matematik är en buntgerbe en geometrisk modell av vissa 1- gerber med koppling , eller motsvarande en 2-klass i Deligne cohomology .

Topologi

$U(1)$ - huvudbuntar över ett utrymme $M$ (se cirkelbunt ) är geometriska realiseringar av 1-klasser i Deligne kohomologi som består av 1- formskopplingar och 2-form krökningar. Topologin för ett ${\displaystyle U(1)}-$ paket klassificeras efter dess Chern-klass , som är ett element av $H^{2}(M,\mathbb { Z} )$ , den andra integralkohomologin av $M$ .

Gerbes , eller mer exakt 1-gerbes, är abstrakta beskrivningar av Deligne 2-klasser, som var och en definierar ett element av $H^{3}(M,\mathbb {Z} )$ , den tredje integrerade kohomologin av M .

Som kohomologikurs i Deligne kohomologi

Återkalla för ett jämnt grenrör $M$ de p:te Deligne-kohomologigrupperna definieras av komplexets hyperkohomologi

$$\mathbb {Z} (q)_{D }^{\infty }={\underline {\mathbb {Z} }}(q)\to {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{0}\xrightarrow {d} { \mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{1}\xrightarrow {d} \cdots \xrightarrow {d} {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^ {q-1}$$

kallas vikten q Deligne-komplex , där ${\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{k}$ är bunten av bakterier av jämna differentiala k-former spända med $\mathbb {C}$ . Så, vi skriver

$$\mathbb {H} _{D}^{*}(M,\mathbb {Z} (q)_{D}^{\infty })$$

för Deligne-kohomologigrupperna med vikt $q$ . I fallet $q=3$ är Deligne-komplexet då

$${\underline {\mathbb {Z} }}(3)\to {\mathcal {A}} _{M,\mathbb {C} }^{0}\xrightarrow {d} {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{1}\xrightarrow {d} {\mathcal {A }}_{M,\mathbb {C} }^{2}$$

Vi kan förstå Deligne-kohomologigrupperna genom att titta på Cech-upplösningen som ger ett dubbelkomplex. Det finns också en associerad kort exakt sekvens

$$0\to {\frac {{\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M}^{2}(M)_{cl}}{{\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M }^{2}(M)_{cl,0}}}\to \mathbb {H} ^{3}(M,\mathbb {Z} (3)_{D}^{\infty })\to H^{3}(M,\mathbb {Z} )\till 0$$

där ${\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M}^{2}(M)_{cl}$ är de slutna bakterierna av komplex värderade 2-former på $M$ och ${\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M}^{2}(M)_ {cl,0}$ är underrummet för sådana former där periodintegraler är integraler. Detta kan användas för att visa $H^{3}(M,\mathbb {Z} )$ är isomorfismklasserna för $\mathbb {C} ^{*}$ bundle-gerbes på ett jämnt grenrör $M$ , eller motsvarande, isomorfismklasserna för $B\mathbb {C} ^{*}$ -buntar på $M$ .

Historia

Historiskt sett är den mest populära konstruktionen av en gerbe en kategoriteoretisk modell som finns med i Girauds teori om gerber, som ungefär är skivor av groupoider över M .

1994 introducerade Murray buntgerber, som är geometriska realiseringar av 1-gerbes. För många ändamål är dessa mer lämpade för beräkningar än Girauds insikt, eftersom deras konstruktion ligger helt inom ramen för klassisk geometri. I själva verket, som deras namn antyder, är de fiberbuntar . Denna uppfattning utvidgades till högre gerber följande år.

Samband med vriden K -teori

I Twisted K-theory och K-theory of Bundle Gerbes definierade författarna moduler av buntgerbes och använde detta för att definiera en K-teori för buntgerber. De visade sedan att denna K-teori är isomorf till Rosenbergs vridna K-teori och ger en analysfri konstruktion.

Dessutom definierade de ett begrepp om vriden Chern-karaktär som är en karakteristisk klass för ett element av vriden K-teori. Den vridna Chern-karaktären är en differentialform som representerar en klass i den vridna kohomologin med avseende på den nilpotenta operatorn

$$d+H$$

där $d$ är den vanliga yttre derivatan och vridningen $H$ är en sluten 3-form. Denna konstruktion utvidgades till ekvivariant K-teori och till holomorf K-teori av Mathai och Stevenson.

Samband med fältteori

Bundle gerber har också dykt upp i samband med konforma fältteorier . Gawedzki och Reis har tolkat Wess-Zumino-termen i Wess-Zumino-Witten-modellen (WZW) för strängutbredning på ett gruppgrenrör som anslutningen av en buntgerbe. Urs Schreiber , Christoph Schweigert och Konrad Waldorf har använt denna konstruktion för att utöka WZW-modeller till oorienterade ytor och, mer allmänt, den globala Kalb–Ramond-kopplingen till oorienterade strängar.

Mer information finns på n-Category Café :

• Bundle Gerbes: Allmän idé och definition
• Bundle Gerbes: Anslutningar och yttransport

Se även

• Gerbe
• Orbifold

Anteckningar

• Bundle gerbes , av Michael Murray.
• Introduktion till bundle gerbes , av Michael Murray.
• Nonabelian Bundle Gerbes, their Differential Geometry and Gauge Theory , av Paolo Aschieri, Luigi Cantini och Branislav Jurco.
• Bunta gerbes på arxiv.org

I strängteorin

• WZW branes och strängar