Degenererad konisk

Degenererade koner

I geometri är en degenererad konisk en konisk (en andragrads plan kurva , definierad av en polynomekvation av grad två) som misslyckas med att vara en irreducibel kurva . Detta betyder att den definierande ekvationen kan faktoriseras över de komplexa talen (eller mer allmänt över ett algebraiskt slutet fält ) som produkten av två linjära polynom.

Genom att använda den alternativa definitionen av kägeln som skärningspunkten i tredimensionellt utrymme mellan ett plan och en dubbelkon , är en kägel degenererad om planet går genom konernas spets.

I det verkliga planet kan en degenererad kägel vara två linjer som kan vara parallella eller inte, en enda linje (antingen två sammanfallande linjer eller föreningen av en linje och linjen i oändligheten ), en enda punkt (i själva verket två komplexa konjugerade linjer ), eller nollmängden (två gånger linjen i oändligheten eller två parallella komplexa konjugerade linjer).

Alla dessa degenererade koner kan förekomma i pennor av koner. Det vill säga, om två reella icke-degenererade koner definieras av andragradspolynomekvationer f = 0 och g = 0 , bildar konikerna i ekvationerna af + bg = 0 en penna, som innehåller en eller tre degenererade koner. För vilken degenererad kägel som helst i det verkliga planet kan man välja f och g så att den givna degenererade kägeln tillhör den penna som de bestämmer.

Exempel

Pennor av cirklar: i pennan av röda cirklar är den enda degenererade koniska den horisontella axeln; pennan med blå cirklar har tre degenererade koner, den vertikala axeln och två cirklar med radien noll.

Koniska sektionen med ekvation $x^{2}-y^{2}=0$ är degenererad eftersom dess ekvation kan skrivas som ${\ displaystyle (xy)(x+y)=0}$ , och motsvarar två skärande linjer som bildar ett "X". Denna degenererade kägla uppstår som gränsfallet $a=1,b=0$ i blyertspennan för hyperboler i ekvationerna $a( x^{2}-y^{2})-b=0.$ Begränsningsfallet $a=0,b=1$ är ett exempel på en degenererad kon som består av två gånger linjen i oändligheten.

På liknande sätt är koniska sektionen med ekvation ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0} ,$ som bara har en reell punkt, degenererad, eftersom $x^{2}+y^{2}$ kan faktoriseras som $(x+iy)(x-iy)$ över de komplexa talen . Könen består alltså av två komplexa konjugerade linjer som skär varandra i den unika reella punkten, $(0,0)$ , i könen.

Pennan med ellipser i ekvationerna $ax^{2}+b(y^{2}-1)=0$ degenererar, för ${ \displaystyle a=0,b=1}$ , till två parallella linjer och, för $a=1,b=0$ , till en dubbel linje.

Pennan med cirklar med ekvationer $a(x^{2}+y^{2}-1)-bx=0$ degenererar för ${\ displaystyle a=0}$ i två rader, linjen i oändligheten och linjen i ekvationen $x=0$ .

Klassificering

Över det komplexa projektiva planet finns det bara två typer av degenererade koner - två olika linjer, som nödvändigtvis skär varandra i en punkt, eller en dubbel linje. Vilken degenererad konisk konisk form som helst kan transformeras genom en projektiv transformation till vilken som helst annan degenererad kon av samma typ.

Över det verkliga affina planet är situationen mer komplicerad. En degenererad riktig kon kan vara:

• Två skärande linjer, till exempel $x^{2}-y^{2}=0\Vänsterhögerpil (x+y)(xy) =0$
• Två parallella linjer, till exempel $x^{2}-1=0\Leftrightarrow (x+1)(x-1)=0$
• En dubbel linje (multiplicity 2), som $x^{2}=0$
• Två korsande komplexa konjugerade linjer (endast en reell punkt), såsom $x^{2}+y^{2}=0 \Leftrightarrow (x+iy)(x-iy)=0$
• Två parallella komplexa konjugerade linjer (ingen reell punkt), såsom $x^{2}+1=0\Leftrightarrow (x+i)( xi)=0$
• En enda linje och linjen i oändligheten
• Två gånger linjen i oändligheten (ingen riktig punkt i det affina planet )

För två degenererade koniska koner av samma klass finns det affina transformationer som kartlägger den första koniska till den andra.

Diskriminerande

Den degenererade hyperbeln $3x^{2}-2xy-y^{2}-6x+10y-9=0,$ som faktorer som $(x-y+1)(3x+y-9)=0,$ är föreningen av de röda och blåa loci.

Den degenererade parabeln $9x^{2}+12xy+4y^{2}-54x-36y+72$$=0,$ vilket faktorer som $(3x+2y-6)(3x+2y-12)=0,$ är förening av de röda och blåa loci.

Icke-degenererade reella koner kan klassificeras som ellipser, paraboler eller hyperboler genom diskriminanten av den icke-homogena formen ${\displaystyle Ax ^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F} ,$ som är matrisens determinant

$M={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\\\end{bmatrix}},$

matrisen för den kvadratiska formen i $(x,y)$ . Denna determinant är positiv, noll eller negativ eftersom könen är en ellips, en parabel eller en hyperbel.

Analogt kan en kon klassificeras som icke-degenererad eller degenererad enligt diskriminanten för den homogena kvadratiska formen i $(x,y,z)$ . Här homogeniseras den affina formen till

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2};$

diskriminanten i denna form är matrisens determinant

$Q={\begin{bmatrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\\\end{bmatrix}}.$

Könen är degenererad om och endast om determinanten för denna matris är lika med noll. I det här fallet har vi följande möjligheter:

• Två skärande linjer (en hyperbel degenererade till sina två asymptoter) om och endast om $\det M<0$ (se första diagrammet).
• Två parallella räta linjer (en degenererad parabel) om och endast om $\det M=0$ . Dessa linjer är distinkta och verkliga om ${\displaystyle D^{2}+E^{2}>(A+C)F} ($ se andra diagrammet), sammanfaller om ${\displaystyle D^{2}+E^{2}=(A+C)F} ,$ och obefintlig i det verkliga planet om $D^{2}+E^{2}<(A+C)F$ .
• En enda punkt (en degenererad ellips) om och endast om $\det M>0$ .
• En enskild linje (och linjen i oändligheten) om och endast om $A=B=C=0,$ och $D$ och $E$ är inte båda noll. Detta fall förekommer alltid som en degenererad kon i en penna av cirklar . Men i andra sammanhang betraktas den inte som en degenererad kon, eftersom dess ekvation inte är av grad 2.

Fallet med sammanfallande linjer inträffar om och endast om rangordningen för 3×3-matrisen $Q$ är 1; i alla andra degenererade fall är dess rang 2.

Förhållande till skärningspunkten mellan ett plan och en kon

Koner, även kända som koniska sektioner för att betona deras tredimensionella geometri, uppstår som skärningen av ett plan med en kon . Degeneration uppstår när planet innehåller spets eller när könen degenererar till en cylinder och planet är parallellt med cylinderns axel. Se koniska avsnitt #Degenererade fall för detaljer.

Ansökningar

Degenererade koner, som med degenererade algebraiska varianter i allmänhet, uppstår som gränser för icke-degenererade koner, och är viktiga för kompaktering av modulutrymmen av kurvor .

Till exempel är pennan av kurvor (1-dimensionellt linjärt system av koniska linjer ) definierad av $x^{2}+ay^{2}=1$ icke-degenererad för $a\neq 0$ men är degenererad för $a=0;$ konkret är det en ellips för $a>0,$ två parallella linjer för $a=0,$ och en hyperbel med $\displaystyle a<0}$ – genomgående, en axel har längd 2 och den andra har längd $1/{\sqrt {|a|}},$ vilket är oändligt för $a=0.$

Sådana familjer uppstår naturligt – givet fyra punkter i allmän linjär position (inga tre på en linje) finns det en penna av koniska linjer genom dem ( fem punkter bestämmer en konisk , fyra punkter lämnar en parameter fri), varav tre är degenererade, var och en bestående av ett par linjer, motsvarande $\textstyle {{\binom {4}{2,2}}=3}$ sätten att välja 2 par punkter från 4 punkter (räknas via den multinomiala koefficienten ).

Externt videotyp
I linjärt system, ( Coffman ) .

Till exempel, givet de fyra punkterna $(\pm 1,\pm 1),$ kan pennan av koniska linjer genom dem parametriseras som $(1+a)x^{2}+(1-a)y^{2}=2,$ vilket ger följande penna; i alla fall ligger centrum vid ursprunget:

• $a>1:$ hyperboler som öppnar sig till vänster och höger;
• $a=1:$ de parallella vertikala linjerna $x=-1,\ x=1;$
• $0<a<1:$ ellipser med en vertikal huvudaxel;
• $a=0:$ en cirkel (med radie ${\displaystyle {\sqrt {2}}} )$ ;
• $-1<a<0:$ ellipser med en horisontell huvudaxel;
• $a=-1:$ de parallella horisontella linjerna $y=-1,\ y=1;$
• $a<-1:$ hyperboler som öppnar sig upp och ner,
• $a=\infty :$ de diagonala linjerna $y=x,\ y=-x;$

(dividera med $a$ och ta gränsen som $a\to \infty$ ger $x^{2}-y^{2}=0$ )

• Detta går sedan runt till $a>1,$ eftersom pennor är en projektiv linje.

Observera att denna parametrisering har en symmetri, där invertering av tecknet för a vänder på x och y . I terminologin ( Levy 1964 ) är detta ett linjärt system av koniska typ I och är animerat i den länkade videon.

En slående tillämpning av en sådan familj är i ( Faucette 1996 ) som ger en geometrisk lösning till en kvartsekvation genom att betrakta pennan av koniska linjer genom de fyra rötterna av kvartsformen, och identifiera de tre degenererade käglarna med de tre rötterna av resolventkubiken . .

Pappus hexagonsats är specialfallet med Pascals sats , när en konform urartar till två linjer.

Degeneration

I det komplexa projektiva planet är alla koner ekvivalenta och kan degenerera till antingen två olika linjer eller en dubbellinje.

I det verkliga affina planet:

• Hyperboler kan degenerera till två skärande linjer (asymptoterna), som i $x^{2}-y^{2}=a^{2},$ eller till två parallella linjer : $x^{2}-a^{2}y^{2}=1,$ eller till dubbellinjen $x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2},$ som a går till 0.
• Paraboler kan degenerera till två parallella linjer: $x^{2}-ay-1=0$ eller dubbellinjen $x^{2} -ay=0,$ som en går till 0; men eftersom paraboler har en dubbelpunkt i oändligheten, kan de inte degenerera till två skärande linjer.
• Ellipser kan degenerera till två parallella linjer: $x^{2}+a^{2}y^{2}-1=0$ eller dubbellinjen $x^{2}+a^{2}y^{2}-a^{2}=0,$ som a går till 0; men eftersom de har konjugerade komplexa punkter i oändligheten som blir en dubbelpunkt vid degeneration, kan de inte degenerera till två skärande linjer.

Degenererade koner kan degenerera ytterligare till mer speciella degenererade koner, vilket indikeras av dimensionerna på utrymmena och punkter i oändligheten.

• Två skärande linjer kan degenerera till två parallella linjer genom att rotera tills parallella, som i $x^{2}-ay^{2}-1=0,$ eller till en dubbel linje genom att rotera in i varandra kring en punkt, som i $x^{2}-ay^{2}=0,$ i varje fall som a går till 0.
• Två parallella linjer kan urarta till en dubbel linje genom att flytta in i varandra, som i $x^{2}-a^{2}=0$ när a går till 0, men kan inte degenerera till icke-parallella linjer.
• En dubbellinje kan inte degenerera till de andra typerna.
• En annan typ av degeneration inträffar för en ellips när summan av avstånden till brännpunkterna måste vara lika med det interfokala avståndet; sålunda har den semi-mollaxel lika med noll och har excentricitet lika med ett. Resultatet är ett linjesegment (degenererat eftersom ellipsen inte är differentierbar vid ändpunkterna) med dess fokus vid ändpunkterna. Som en bana är detta en radiell elliptisk bana .

Punkter att definiera

En allmän kägel definieras av fem punkter : givet fem punkter i allmän position finns det en unik kägel som passerar genom dem. Om tre av dessa punkter ligger på en linje, är könen reducerbar och kan vara unik eller inte. Om inga fyra punkter är kolinjära, så definierar fem punkter en unik konisk (degenererad om tre punkter är kolinjär, men de andra två punkterna bestämmer den unika andra linjen). Om fyra punkter är kolinjära, så finns det dock inte en unik konisk som passerar genom dem - en linje passerar genom de fyra punkterna och den återstående linjen passerar genom den andra punkten, men vinkeln är odefinierad, vilket lämnar en parameter fri. Om alla fem punkter är kolinjära, är den återstående linjen fri, vilket lämnar 2 parametrar fria.

Givet fyra punkter i allmänt linjärt läge (inga tre kolinjära; i synnerhet inga två sammanfallande), finns det exakt tre par av linjer (degenererade koner) som passerar genom dem, som i allmänhet kommer att skära varandra, om inte punkterna bildar en trapets ( en par är parallella) eller ett parallellogram (två par är parallella).

Givet tre punkter, om de är icke-kollinjära, finns det tre par parallella linjer som passerar genom dem – välj två för att definiera en linje, och den tredje för att den parallella linjen ska passera genom det parallella postulatet .

Med tanke på två distinkta punkter finns det en unik dubbel linje genom dem.

Anteckningar

• Coffman, Adam, Linear Systems of Conics
•    Faucette, William Mark (januari 1996), "A Geometric Interpretation of the Solution of the General Quartic Polynomial", The American Mathematical Monthly , 103 (1): 51–57, CiteSeerX 10.1.1.111.5574 , JSTOR 2975214
•   Lasley, Jr., JW (maj 1957), "On Degenerate Conics", The American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America , 64 (5): 362–364, JSTOR 2309606
• Levy, Harry (1964), Projective and related geometries , New York: The Macmillan Co., s. x+405
•   Milne, JJ (januari 1926), "Note on Degenerate Conics", The Mathematical Gazette , The Mathematical Association, 13 (180): 7–9, JSTOR 3602237
•   Pettofrezzo, Anthony (1978) [1966], Matrices and Transformations , Dover, ISBN 978-0-486-63634-4
•   Spanien, Barry (2007) [1957], Analytical Conics , Dover, ISBN 0-486-45773-7
• "7.2 Den allmänna kvadratiska ekvationen" , CRC standard matematiska tabeller och formler (30:e upplagan)