Triangulering (topologi)

En triangulerad torus

Ytterligare en triangulering av torus

En triangulerad delfinform

I matematik beskriver triangulering ersättandet av topologiska utrymmen med bitvis linjära utrymmen , dvs valet av en homeomorfism i ett lämpligt förenklat komplex . Utrymmen som är homeomorfa till ett förenklat komplex kallas triangulerbara. Triangulering har olika användningsområden inom olika grenar av matematiken, till exempel i algebraisk topologi, i komplex analys eller i modellering.

Motivering

Å ena sidan är det ibland användbart att glömma överflödig information om topologiska utrymmen: Ersättningen av de ursprungliga utrymmena med enkla komplex kan hjälpa till att känna igen avgörande egenskaper och att få en bättre förståelse av det betraktade objektet.

Å andra sidan är enkla komplex objekt av kombinatorisk karaktär och därför kan man tilldela dem kvantiteter som stiger från deras kombinatoriska mönster, till exempel Euler- karaktäristiken . Triangulering tillåter nu att tilldela sådana kvantiteter till topologiska utrymmen.

Undersökningar om trianguleringarnas existens och unika etablerade en ny gren inom topologin, nämligen styckvis-linjär-topologin (kort PL-topologi). Dess huvudsakliga syfte är topologiska egenskaper hos enkla komplex och dess generalisering, cellkomplex.

Enkla komplex

Abstrakta enkla komplex

Ett abstrakt förenklat komplex ovanför en mängd $V$ är ett system ${\mathcal {T}}\subset {\mathcal {P}}(V)$ av icke-tomma delmängder Så att:

• $\{v_{0}\}\subset {\mathcal {T}}$ för varje ${\mathcal {T}}\subset {\mathcal { P}}(V)$
• om $E\in {\mathcal {T}}$ och $\emptyset \neq F\subset E$$\Rightarrow$$F \in {\mathcal {T}}$ .

Elementen i ${\mathcal {T}}$ kallas simpliceringar, elementen i $V$ kallas hörn. En simplex med $n+1$ har dimension $n$ per definition. Dimensionen av ett abstrakt förenklat komplex definieras som ${\text{dim}}({\mathcal {T}})= {\text{sup}}\;\{{\text{dim}}(F):F\in {\mathcal {T}}\}\in \mathbb {N} \cup \infty$ .

Abstrakta enkla komplex kan också ses som geometriska objekt. Detta kräver termen geometrisk simplex.

Geometriska förenklingar i dimension 1, 2 och 3

Geometriska förenklingar

Låt $p_{0},...p_{n}$ vara $n+1$ affint oberoende punkter i $\mathbb {R} ^{n}$ , dvs. vektorerna $(p_{1}-p_{0}),(p_{2}-p_{0}), \dots (p_{n}-p_{0})$ är linjärt oberoende . Mängden ${\textstyle \Delta ={\Bigl \{}x\in \mathbb {R } ^{n}\;{\Big |}\;x=\summa _{i=0}^{n}t_{i}p_{i}\;med\;0\leq t_{i}\leq 1\;och\;\summa _{i=0}^{n}t_{i}=1{\Bigr \}}}$ sägs vara det simplex som spänns av $p_{0},...p_{n}$ . Den har dimension $n$ per definition. Punkterna $p_{0},...p_{n}$ kallas hörn av $\Delta$ , de förenklingar som sträcks av $n$ av $n +1$ hörn kallas ytor och gränsen $\partial \Delta$ definieras som föreningen av dess ytor.

Den $n$ -dimensionella standard-simplexen är den simplex som sträcks av enhetsvektorerna $e_{0},...e_{n}$

Geometriska enkla komplex

Ett geometriskt förenklat komplex ${\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ är en förening av geometriska förenklingar så att

• Om $S$ är en simplex i ${\mathcal {S}}$ , så är alla dess ytor i ${\mathcal {S}}$ .
• Om $S,T$ är två distinkta förenklingar i ${\displaystyle {\mathcal {S}}} ,$ är deras inre disjunkta.

Uppsättningen ${\mathcal {S}}$ kan realiseras som ett topologiskt utrymme $|{\mathcal {S}}|$ genom att välja de slutna uppsättningarna som ${\displaystyle {\Bigl \{}A\subset {\mathcal {S}}\;{\Big |}\;A\cap \Delta } är stängd för alla Δ ⊂ S$ } $Delta \subset {\mathcal {S}}{\Bigr \}}}$ . Det bör nämnas att i allmänhet kommer det enkla komplexet inte att tillhandahålla den naturliga topologin för $\mathbb {R} ^{n}$ . I det fall att varje punkt i komplexet bara ligger i mycket många förenklingar, sammanfaller båda topologierna

Varje geometriskt komplex kan associeras med ett abstrakt komplex genom att välja som en jordmängd $V$ uppsättningen av hörn som visas i varje simplex av ${\mathcal {S}}$ och som system av delmängder delmängder av $V$ som motsvarar vertexuppsättningar av simpliceringar i ${\mathcal {S}}$ .

En naturlig fråga är om vice versa, varje abstrakt förenklat komplex motsvarar ett geometriskt komplex. I allmänhet är den geometriska konstruktionen som nämnts här inte tillräckligt flexibel: Betrakta till exempel ett abstrakt förenklat komplex av oändlig dimension. Men följande mer abstrakta konstruktion ger ett topologiskt utrymme för alla slags abstrakta förenklade komplex:

Låt ${\mathcal {T}}$ vara ett abstrakt förenklat komplex ovanför en mängd $V$ . Välj en förening av simpliceringar ${\displaystyle (\Delta _{F})_{F\in {\mathcal {T}}}} ,$ men var och en i $\mathbb {R } ^{N}$ av dimensionen tillräckligt stor, så att den geometriska simplexen $\Delta _{F}$ har dimensionen $n$ om den abstrakta geometriska simplexen $F$ har dimensionen $n$ . Om $E\subset F$ , $\Delta _{E}\subset \mathbb {R} ^{N}$ kan identifieras med ansiktet $\Delta _{F}\subset \mathbb {R} ^{M}$ och det resulterande topologiska utrymmet är limningen Δ $\displaystyle \Delta _{E}\cup _{i }\Delta _{F}}$ Genom att utföra limningen för varje inkludering, hamnar man i det önskade topologiska utrymmet.

Ett 2-dimensionellt geometriskt förenklat komplex med vertex V, länk(V) och stjärna(V) är markerade i rött och rosa.

Liksom i den tidigare konstruktionen, av topologin inducerad av limning, är de slutna uppsättningarna i detta utrymme delmängderna som stängs i underrumstopologin för varje simplex $\Delta _{F}$ .

Det enkla komplexet ${\displaystyle {\mathcal {T_{n}}}} ,$ som består av alla förenklingar ${\mathcal {T}}$ med dimension $\leq n$ kallas det $n$ -te skelettet av ${\mathcal {T}}$ .

En naturlig omgivning av en vertex $V$ i ett förenklat komplex ${\mathcal {S}}$ anses vara stjärnan ${\displaystyle star(K)={\Big \{}L\i {\mathcal {S}}\;|\;K\subset L{\Big \}}} av en simplex, dess$ gräns är länken

$lk(K)={\Big \{}M\in {\mathcal {S}}\;|\;M\cap K=\emptyset {\Big \}}$ .

Enkla kartor

Kartorna som betraktas i denna kategori är enkla kartor: Låt ${\mathcal {K}}$ , ${\mathcal {L}}$ vara abstrakta enkla komplex ovanför mängderna $V_{K }$ , $V_{L}$ . En enkel karta är en funktion $f:V_{K}\rightarrow V_{L}$ som mappar varje simplex i ${\mathcal {K}}$ på ett simplex i ${\mathcal {L}}$ . Genom affin-linjär förlängning på förenklingarna $f$ en karta mellan de geometriska realiseringarna av komplexen.

Exempel

• Låt $W=\{a,b,c,d,e,f\}$ och låt ${ \mathcal {T}}={\Big \{}\{a\},\{b\},\{c\},\{d\},\{e\},\{f\},\ {a,b\},\{a,c\},\{a,d\},\{a,e\},\{a,f\}{\Big \}}$ . Det associerade geometriska komplexet är en stjärna med mitten $\{a\}$ .

• Låt $V=\{A,B,C,D\}$ och låt ${\mathcal {S}}={\ mathcal {P}}(V)$ . Dess geometriska förverkligande $|{\mathcal {S}}|$ är en tetraeder .
• Låt $V$ enligt ovan och låt ${\mathcal {S}}'=\;{\mathcal {P}}( {\mathcal {V}})\setminus \{A,B,C,D\}$ . Det geometriska förenklade komplexet är gränsen för en tetraeder $|{\mathcal {S'}}|=\partial |{\mathcal {S}}|$ .

Definition

En triangulering av ett topologiskt utrymme $X$ är en homeomorfism $t:|{\mathcal {T}}|\rightarrow X$ där ${\mathcal {T}}$ är ett enkelt komplex. Topologiska utrymmen tillåter inte nödvändigtvis en triangulering och om de gör det är det inte nödvändigtvis unikt.

Exempel

• Enkla komplex kan trianguleras genom identitet.
• Låt ${\mathcal {S}},{\mathcal {S'}}$ vara som i exemplen ovan. Den slutna enhetskulan $\mathbb {D} ^{3}$ är homeomorf till en tetraeder så den tillåter en triangulering, nämligen homeomorfismen $t:|{\mathcal {S}}|\rightarrow \mathbb {D} ^{3}$ . Begränsar $t$ till $|{\mathcal {S}}'|$ ger en homeomorfism $t':|{\mathcal {S}}'|\rightarrow \mathbb {S} ^{2}$ .

Den 2-dimensionella sfären och en triangulering

• Torusen $\mathbb {T} ^{2}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$ medger en triangulering. För att se detta, betrakta torusen som en kvadrat där de parallella ytorna limmas ihop. Denna kvadrat kan trianguleras enligt nedan:

En tvådimensionell torus, representerad som limningen av en kvadrat via kartan g, som identifierar dess motsatta platser

• Det projektiva planet $\mathbb {P} ^{2}$ tillåter en triangulering (se CW-komplex)

• Man kan visa att differentierbara grenrör tillåter triangulering.

Invarianter

Triangulering av utrymmen tillåter att tilldela kombinatoriska invarianter som stiger från deras dedikerade enkla komplex till utrymmen. Dessa är egenskaper som är lika för komplex som är isomorfa via en enkel karta och därmed har samma kombinatoriska mönster.

Dessa data kan vara användbara för att klassificera topologiska utrymmen upp till homeomorfism, men bara med tanke på att egenskaperna också är topologiska invarianter, vilket innebär att de inte beror på den valda trianguleringen. För de uppgifter som anges här är detta fallet. För detaljer och länken till singular homologi , se topologisk invarians

Homologi

Via triangulering kan man tilldela ett kedjekomplex till topologiska utrymmen som uppstår från dess enkla komplex och beräkna dess enkla homologi . Kompakta utrymmen tillåter alltid finita trianguleringar och därför genereras deras homologigrupper ändligt och endast ändligt många av dem försvinner inte. Andra data som Betti-tal eller Euler-karaktäristik kan härledas från homologi.

Betti- tal och Euler-karakteristika

Låt $|{\mathcal {S}}|$ vara ett ändligt förenklat komplex. Den $n$ -:e Betti- numret $b_{n}({\mathcal {S}})$ definieras som rangordningen för $n$ - th enkel homologi- grupp av utrymmena. Dessa siffror kodar geometriska egenskaper för utrymmena: Betti- Number $b_{0}({\mathcal {S}})$ representerar till exempel antalet anslutna komponenter. För triangulerade, slutna orienterbara ytor ${\displaystyle F} gäller$$b_{1}(F)=2g$ där $g}$ displaystyle anger ytans släkte : Därför representerar dess första Betti-nummer det dubbla antalet handtag på ytan.

Med kommentarerna ovan, för kompakta utrymmen är alla Betti-tal ändliga och nästan alla är noll. Därför kan man bilda deras alternerande summa

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}b_{k}({\mathcal {L}} )$

som kallas komplexets Euler Charakteristik , en catchy topologisk invariant.

Topologisk invarians

För att använda dessa invarianter för klassificering av topologiska utrymmen fram till homeomorfism behöver man invarians av egenskaperna för homeomorfism.

Ett berömt förhållningssätt till frågan var i början av 1900-talet försöket att visa att två trianguleringar av samma topologiska utrymme medger en gemensam indelning . Detta antagande är känt som Hauptvermutung ( tyska: Huvudantagande). Låt $|{\mathcal {L}}|\subset \mathbb {R} ^{N}$ vara ett enkelt komplex. Ett komplex $|{\mathcal {L'}}|\subset \mathbb {R} ^{N}$ sägs vara en underavdelning av ${\mathcal {L}}$ iff:

• varje simplex av ${\mathcal {L'}}$ ingår i ett simplex av ${\mathcal {L}}$ och
• varje simplex av ${\mathcal {L}}$ är en finit union av simpliceringar i ${\mathcal {L'}}$ .

Dessa förhållanden säkerställer att underavdelningar inte förändrar det enkla komplexet som en mängd eller som ett topologiskt utrymme. En karta $f:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}$ mellan enkla komplex sägs vara bitvis linjär om det finns en förfining ${\ mathcal {K'}}$ av ${\mathcal {K}}$ så att $f$ är bitvis linjär på varje simplex av ${\mathcal {K}}$ . Två komplex som motsvarar en annan via bitvis linjär bijektion sägs vara kombinatoriska isomorfa. I synnerhet två komplex som har en gemensam förfining är kombinatoriskt ekvivalenta. Homologigrupper är oföränderliga till kombinatorisk ekvivalens och därför skulle Hauptvermutung ge den topologiska invariansen för enkla homologigrupper. 1918 introducerade Alexander begreppet singular homologi. Hädanefter ersattes de flesta av de invarianter som härrör från triangulering med invarianter som härrör från singular homologi. För dessa nya invarianter kan det visas att de var invarianta vad gäller homeomorfism och till och med avseende homotopiekvivalens. Vidare visades det att singulära och enkla homologigrupper sammanfaller. Denna lösning har visat invariansen mellan data och homeomorfism. Hauptvermutung tappade i betydelse men det var initialt för en ny gren inom topologi: Den bitvis linjära (kort PL-topologi) topologin undersöker topologiska egenskaper hos topologiska utrymmen.

Hauptvermutung

Hauptvermutung ( tyska för huvudförmodan ) anger att två trianguleringar alltid tillåter en gemensam underavdelning. Ursprungligen var dess syfte att bevisa invarians av kombinatoriska invarianter angående homeomorfismer. Antagandet att sådana underavdelningar finns i allmänhet är intuitivt, eftersom underavdelningar är lätta att konstruera för enkla utrymmen, till exempel för lågdimensionella grenrör. Faktum är att antagandet bevisades för grenrör med dimension $\leq 3$ och för differentierbara grenrör, men det motbevisades generellt: Ett viktigt verktyg för att visa att triangulering inte tillåter en gemensam underindelning. i. e deras underliggande komplex inte är kombinatoriskt isomorfa är den kombinatoriska invarianten av Reidemeister Torsion.

Reidemeister-Torsion

För att motbevisa Hauptvermutung är det bra att använda kombinatoriska invarianter som inte är topologiska invarianter. Ett känt exempel är Reidemeister-Torsion. Den kan tilldelas en tupel $(K,L)$ av CW-komplex: Om $L=\emptyset$ kommer denna egenskap att vara en topologisk invariant men om $L\neq \emptyset$ i allmänhet inte. Ett förhållningssätt till Hauptvermutung var att hitta homeomorfa utrymmen med olika värden av Reidemeister-Torsion. Denna invariant användes initialt för att klassificera linsutrymmen och de första motexemplen till Hauptvermutung byggdes baserade på linsutrymmen:

Klassificering av linsutrymmen

I sin ursprungliga formulering är linsrymden 3-grenrör, konstruerade som kvotutrymmen för 3-sfären: Låt $p,q$ vara naturliga tal, så att $p,q$ är coprime . Linsutrymmet $L(p,q)$ definieras som omloppsutrymmet för den fria gruppåtgärden

$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \times S^{3}\to S^{3}$

$(k,(z_{1},z_{ 2}))\mapsto (z_{1}\cdot e^{2\pi ik/p},z_{2}\cdot e^{2\pi ikq/p})$ .

För olika tupler $(p,q)$ kommer linsmellanrum att vara homotopi-ekvivalenta men inte homeomorfa. Därför kan de inte särskiljas med hjälp av klassiska invarianter som grundgrupp utan med hjälp av Reidemeister-Torsion.

Två linsmellanrum $L(p,q_{1}),L(p,q_{2})$ är homeomorfa, om och endast om $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}$ . Detta är fallet om två linsutrymmen är enkel-homotopi-ekvivalenta . Faktumet kan användas för att konstruera motexempel för Hauptvermutung enligt följande. Anta att det finns mellanslag $L'_{1},L'_{2}$ härledda från icke-homeomorfa linsmellanrum $L(p,q_{1}),L(p,q_{2})$ med olika Reidemeister-torsion. Antag vidare att modifieringen till $L'_{1},L'_{2}$ inte påverkar Reidemeister-torsion men så att efter modifiering $L'_{ 1}$ och $L'_{2}$ är homeomorfa. De resulterande utrymmena kommer att motbevisa Hauptvermutung.

Förekomsten av triangulering

Förutom frågan om konkreta trianguleringar för beräkningsfrågor, finns det påståenden om utrymmen som är lättare att bevisa med tanke på att de är enkla komplex. Speciellt grenrör är av intresse. Topologiska grenrör med dimension $\leq 3$ är alltid triangulerbara men det finns icke-triangulerbara grenrör för dimension ${\displaystyle n} ,$ för $n$ godtyckliga men större än tre. Dessutom tillåter differentierbara grenrör alltid triangulering.

PL- Strukturer

Fördelare är en viktig klass av utrymmen. Det är naturligt att kräva att de inte bara är triangulerbara utan dessutom att de medger en bitvis linjär atlas, en PL-struktur:

Låt $|X|$ vara ett förenklat komplex så att varje punkt tillåter en öppen grannskap $U$ så att det finns en triangulering av $U$ och en bitvis linjär homeomorfism ${ \displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ . Sedan $|X|$ sägs vara ett styckevis linjärt (PL) grenrör med dimensionen $n$ och trianguleringen tillsammans med PL-atlasen sägs vara en PL-struktur på $|X|$ .

Ett viktigt lemma är följande:

Låt $X$ vara ett topologiskt rum. Det är likvärdigt

1. $X$ är ett $n$ -dimensionellt grenrör och tillåter en PL-struktur.
2. Det finns en triangulering av $X$ så att länken för varje vertex är en $n-1$ sfär.
3. För varje triangulering av $X$ är länken för varje vertex en $n-1$ sfär.

Ekvivalensen för det andra och det tredje påståendet beror på att länken till en vertex är oberoende av den valda trianguleringen upp till kombinatorisk isomorfism. Man kan visa att differentierbara grenrör tillåter en PL-struktur såväl som grenrör med dimension $\leq 3$ . Motexempel för trianguleringsförmodan är naturligtvis motexempel för gissningen om existensen av PL-struktur.

Dessutom finns det exempel på triangulerade utrymmen som inte tillåter en PL-struktur. Betrakta en $n-2$ - dimensionell PL- Homologi-sfär $X$ . Den dubbla upphängningen $S^{2}X$ är en topologisk $n$ -sfär. Att välja en triangulering $t:|{\mathcal {S}}|\rightarrow S^{2}X$ erhålls via upphängningsoperationen på triangulering, det resulterande förenklade komplexet är inte ett PL-grenrör, eftersom det finns en vertex $v$ så att $link(v)$ inte är en $n-1$ sfär.

En fråga som uppstår med definitionen är om PL-strukturer alltid är unika: Givet två PL-strukturer för samma utrymme ${\displaystyle Y} ,$ finns det en homeomorfism $F:Y\rightarrow Y$ som är bitvis linjär med avseende på båda PL-strukturerna? Antagandet liknar Hauptvermutung och det finns faktiskt utrymmen som har olika PL-strukturer som inte är likvärdiga. Triangulering av PL-ekvivalenta utrymmen kan omvandlas till varandra via Pachner-rörelser:

Pachner rör sig

Ett Pachner-drag ersätter två tetraedrar med tre tetraedrar

Pachner-drag är ett sätt att manipulera triangulering: Låt ${\mathcal {S}}$ vara ett enkelt komplex. För två förenklingar $K,L$ är Join

$K*L={\Big \{}tk+(1-t)l\;|\;k\in K,l\in L\; t\in [0,1]{\Big \}}$ är de punkter som ligger på raksträckor mellan punkter i $K$ och i $L$ . Välj $S\in {\mathcal {S}}$ så att $lk(S)=\partial K$ för alla $K$ som inte ligger i ${\mathcal {S}}$ . En ny komplex ${\mathcal {S'}}$ kan erhållas genom att ersätta $S*\partial K$ med $\partial S*K$ . Denna ersättning kallas ett Pachner-drag. Pachners teorem säger att när två triangulerade grenrör är PL-ekvivalenta, finns det en serie Pachner-rörelser som omvandlar båda till en annan.

CW-komplex

Det verkliga projektiva planet som ett enkelt komplex och som CW-komplex. Som CW-komplex kan det erhållas genom att först limma $\mathbb {D} ^{0}$ och $\mathbb {D} ^{1}$ för att få 1-sfären och sedan fästa skivan $\mathbb {D} ^{2}$ vid kartan $g:\mathbb {S} ^{1} \rightarrow \mathbb {S} ^{1},e^{ix}\mapsto e^{2ix}$ .

En liknande men mer flexibel konstruktion än enkla komplex är den av CW-komplex. Dess konstruktion är som följer:

En $n$ - cell är den stängda $n$ - dimensionell enhetsboll $B_{n}=[0,1]^{n}$ , en öppen $n$ -cell är dess inre $B_{n}=[0,1]^{n}\setminus \mathbb {S} ^{n-1}$ . Låt $X$ vara ett topologiskt rum, låt $f:\mathbb {S} ^{n-1}\rightarrow X$ vara en kontinuerlig karta. Limningen $X\cup _{f}B_{n}$ sägs erhållas genom att limma på en $n$ -cell.

Ett cellkomplex är en förening $X=\cup _{n\geq 0}X_{n}$ av topologiska utrymmen så att

• $X_{0}$ är en diskret mängd

• varje $X_{n}$ erhålls från $X_{n-1}$ genom att limma på en familj av ${\ displaystyle n}$ -celler.

Varje förenklat komplex är ett CW-komplex, det omvända är inte sant. Konstruktionen av CW-komplex kan användas för att definiera cellulär homologi och man kan visa att cellulär homologi och enkel homologi sammanfaller. För beräkningsfrågor är det ibland lättare att anta att utrymmen är CW-komplex och bestämma deras homologi via cellulär nedbrytning, ett exempel är det projektiva planet $\mathbb {P} ^{2}$ : Dess konstruktion som en CW-komplex behöver tre celler, medan dess förenklade komplex består av 54 förenklingar.

Andra applikationer

Klassificering av grenrör

Genom att triangulera 1-dimensionella grenrör kan man visa att de alltid är homeomorfa till disjunkta kopior av den reella linjen och enhetssfären $\mathbb {S} ^{1}$ . Dessutom kan ytor, dvs 2-grenrör, klassificeras helt: Låt $S$ vara en kompakt yta.

• Om $S$ är orienterbar är den homeomorf till en 2-sfär med $n$ tori av dimension $2$ ansluten, för vissa $n\geq 0$ .
• Om $S$ inte är orienterbar är den homeomorf till en Klein Bottle med $n$ tori av dimension $2$ bifogad, för vissa $n\geq 0$ .

För att bevisa detta teorem konstruerar man en fundamental polygon av ytan: Detta kan göras genom att använda den enkla strukturen som erhålls genom trianguleringen.

Kartor på enkla komplex

Att ge utrymmen strukturen av en enkel struktur kan hjälpa till att förstå kartor definierade på utrymmena. Kartorna kan ofta antas vara enkla kartor via den förenklade approximationssatsen:

Enkel approximation

Låt ${\mathcal {K}}$ , ${\mathcal {L}}$ vara abstrakta enkla komplex ovanför mängder $V_{K}$ , $V_{ L}$ . En enkel karta är en funktion $f:V_{K}\rightarrow V_{L}$ som mappar varje simplex i ${\mathcal {K}}$ på ett simplex i ${\mathcal {L}}$ . Genom affin-linjär förlängning på förenklingarna $f$ en karta mellan de geometriska realiseringarna av komplexen. Varje punkt i ett geometriskt komplex ligger i det inre av exakt en simplex, dess stöd. Betrakta nu en kontinuerlig karta $f:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}$ . En enkel karta $g:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}$ sägs vara en enkel approximation av $f$ om och endast om varje $x\in {\mathcal {K}}$ mappas av $g$ på stödet för $f(x)$ i ${\mathcal { L}}$ . Om en sådan approximation finns, kan man konstruera en homotopi $H$ som transformerar $f$ till $g$ genom att definiera den på varje simplex; där finns det alltid, eftersom förenklingar är sammandragbara.

Den enkla approximationssatsen garanterar för varje kontinuerlig funktion $f:V_{K}\rightarrow V_{L}$ förekomsten av en enkel approximation åtminstone efter förfining av ${\mathcal {K}}$ , till exempel genom att ersätta ${\mathcal {K}}$ med dess itererade barycentriska underavdelning. Satsen spelar en viktig roll för vissa påståenden i algebraisk topologi för att minska beteendet hos kontinuerliga kartor på de för enkla kartor, till exempel i Lefschetz fixpunktsats.

Lefschetz fixpunktssats

Lefschetz -numret är ett användbart verktyg för att ta reda på om en kontinuerlig funktion tillåter fasta punkter. Dessa data beräknas enligt följande: Antag att $X$ och $Y$ är topologiska rum som tillåter finita trianguleringar. En kontinuerlig karta $f:X\rightarrow Y$ inducerar homomorfismer $f_{i}:H_{i} (X,K)\rightarrow H_{i}(Y,K)$ mellan dess enkla homologigrupper med koefficienter i ett fält $K$ . Dessa är linjära kartor mellan $K$ - vektorrum, så deras spår $tr_{i}$ kan bestämmas och deras alternerande summa

$L_{K}(f)=\summa _{i}(-1)^{i}tr_{i} (f)\i K$

kallas Lefschetz-talet för $f$ . Om $f=id$ är detta tal Eulerkarakteristiken för $K$ . Fixpunktssatsen säger att närhelst $L_{K}(f)\neq 0$ , har $f$ en fixpunkt. I beviset visas detta först endast för enkla kartor och sedan generaliserat för alla kontinuerliga funktioner via approximationssatsen. Brouwers fixpunktssats behandlar fallet där $f:\mathbb {D} ^{n}\rightarrow \mathbb {D} ^{n}$ är en endomorfism av enhetsbollen. För ${\displaystyle k\geq 1} försvinner$ alla dess homologigrupper $H_{k}(\mathbb {D} ^{n})$ och $f_{ 0}$ är alltid identiteten, så ${\displaystyle L_{K}(f)=tr_{0}(f)=1\neq 0} ,$ så $f$ har en fixpunkt.

Riemann-Hurwitz formel

Riemann-Hurwitz-formeln gör det möjligt att bestämma könet på en kompakt, sammankopplad Riemann-yta $X$ utan att använda explicit triangulering. Beviset behöver existensen av triangulering för ytor i abstrakt mening: Låt $F:X\rightarrow Y$ vara en icke-konstant holomorf funktion på en yta med känt kön. Relationen mellan könet $g$ på ytorna $X$ och $Y$ är

$2g(X)-2=deg(F )(2g(Y)-2)\summa _{x\in X}(ord(F)-1)$

där $deg(F)$ anger graden av kartan. Summan är väldefinierad eftersom den endast räknar funktionens förgreningspunkter.

Bakgrunden till denna formel är att holomorfa funktioner på Riemanns ytor är förgrenade beläggningar. Formeln kan hittas genom att undersöka bilden av den enkla strukturen nära förgreningspunkter.

Litteratur

• Allen Hatcher: Algebraic Topology , Cambridge University Press, Cambridge/New York/Melbourne 2006, ISBN 0-521-79160-X
• James R. Munkres: . Band 1984. Addison Wesley, Menlo Park, Kalifornien 1984, ISBN 0-201-04586-9
• Marshall M. Cohen: En kurs i Simple-Homotopy Theory . I: Graduate Texts in Mathematics . 1973, ISSN 0072-5285, doi :10.1007/978-1-4684-9372-6.