Pojkens yta

En animation av Boys yta

Inom geometri är Boys yta en nedsänkning av det verkliga projektiva planet i 3-dimensionell rymd som hittades av Werner Boy 1901. Han upptäckte det på uppdrag av David Hilbert för att bevisa att det projektiva planet inte kunde nedsänkas i 3-rymden .

Boys yta parametriserades först explicit av Bernard Morin 1978. En annan parametrisering upptäcktes av Rob Kusner och Robert Bryant . Pojkens yta är en av de två möjliga nedsänkningarna av det verkliga projektiva planet som bara har en enda trippelpunkt.

Till skillnad från den romerska ytan och korsmössan har den inga andra singulariteter än självkorsningar (det vill säga den har inga klämpunkter) .

Symmetri av pojkens yta

STL 3D-modell av Boys yta

Pojkens yta har 3-faldig symmetri . Detta betyder att den har en axel med diskret rotationssymmetri: varje 120° vridning kring denna axel kommer att lämna ytan att se exakt likadan ut. Pojkens yta kan skäras i tre inbördes kongruenta bitar .

Modell på Oberwolfach

Modell av en pojkeyta i Oberwolfach

Mathematical Research Institute of Oberwolfach har en stor modell av en pojkeyta utanför ingången, konstruerad och donerad av Mercedes-Benz i januari 1991. Denna modell har 3-faldig rotationssymmetri och minimerar ytans Willmore-energi . Den består av stålremsor som representerar bilden av ett polärt koordinatnät under en parametrering som ges av Robert Bryant och Rob Kusner. Meridianerna (strålarna) blir vanliga Möbiusremsor , dvs vridna 180 grader. Alla utom en av de remsor som motsvarar latitudcirklar (radiella cirklar runt origo) är otvinnade, medan den som motsvarar enhetscirkelns gräns är en Möbiusremsa som är vriden tre gånger 180 grader - liksom institutets emblem ( Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach 2011 ) .

Ansökningar

Boys yta kan användas i sfäreversion , som en halvvägsmodell . En halvvägsmodell är en nedsänkning av sfären med egenskapen att en rotation växlar inuti och utanför, och så kan användas för att vända (vända ut och in) en sfär. Pojkens (fallet p = 3) och Morins (fallet p = 2) ytor börjar en sekvens av halvvägsmodeller med högre symmetri som först föreslogs av George Francis, indexerade med de jämna heltal 2p (för p udda kan dessa nedsänkningar vara faktoriserat genom ett projektivt plan). Kusners parametrisering ger allt detta.

Parametrisering av Boys yta

En vy av Kusner-Bryant-parametriseringen av pojkens yta

Pojkens yta kan parametriseras på flera sätt. En parametrisering, upptäckt av Rob Kusner och Robert Bryant , är följande: givet ett komplext tal w vars storlek är mindre än eller lika med ett ( ${\displaystyle \|w\|\leq 1} )$ , låt

${\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\operatörsnamn {Im} \ vänster[{w\left(1-w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{ 2}&=-{3 \over 2}\operatörsnamn {Re} \left[{w\left(1+w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w ^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{3}&=\operatörsnamn {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5 }}w^{3}-1}\right]-{1 \över 2}\\\end{aligned}}$

och ställ sedan in

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={ \frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2} \\g_{3}\end{pmatrix}}$

vi får då de kartesiska koordinaterna x , y , och z för en punkt på pojkens yta.

Om man utför en inversion av denna parametrisering centrerad på trippelpunkten, får man en fullständig minimal yta med tre ändar (det var så denna parametrisering upptäcktes naturligt). Detta antyder att Bryant-Kusner-parametriseringen av Boys ytor är "optimal" i den meningen att det är den "minst böjda" nedsänkningen av ett projektivt plan i tre-rymden .

Parametrisering av Bryant–Kusners egendom

Om w ersätts med den negativa reciproka av dess komplexa konjugat , ${\textstyle -{1 \over w^{\star }},} så$ är funktionerna g ₁ , g ₂ och g ₃ av w lämnas oförändrad.

Genom att ersätta w i termer av dess reella och imaginära delar w = s + it , och expandera den resulterande parametriseringen, kan man erhålla en parametrisering av Boys yta i termer av rationella funktioner av s och t . Detta visar att Boys yta inte bara är en algebraisk yta , utan även en rationell yta . Anmärkningen i föregående stycke visar att den generiska fibern för denna parametrisering består av två punkter (det vill säga att nästan varje punkt på Boys yta kan erhållas med två parametrar).

Att relatera pojkens yta till det verkliga projektiva planet

Låt $P(w)=(x(w),y(w),z(w))$ vara Bryant –Kusner-parametrisering av Boys yta. Sedan

$P(w)=P\left(-{1 \over w^{\star }}\right).$

Detta förklarar villkoret $\left\|w\right\|\leq 1$ på parametern: om $\left\|w\right\|<1 ,$ sedan ${\textstyle \left\|-{1 \over w^{\star }}\right\|>1.}$ Men saker och ting är lite mer komplicerade för $\left\|w\right\|=1.$ I detta fall har man ${\textstyle -{1 \over w^{\star }}=-w.}$ Detta betyder att, om $\left\|w\right\|=1,$ punkten för Pojkens yta erhålls från två parametervärden: $P(w)=P(-w).$ Med andra ord har pojkens yta parametriserats av en skiva så att par av diametralt motsatta punkter på skivans omkrets är ekvivalenta. Detta visar att pojkens yta är bilden av det verkliga projektiva planet , RP ² av en jämn karta . Det vill säga, parametriseringen av pojkens yta är en nedsänkning av det verkliga projektiva planet i det euklidiska rummet .

Källor

• Kirby, Rob (november 2007), "Vad är pojkens yta?" (PDF) , Notices of the AMS , 54 (10): 1306–1307 Detta beskriver en bitvis linjär modell av Boys yta.
  • Casselman, Bill (november 2007), "Collapsing Boy's Umbrellas" (PDF) , Notices of the AMS , 54 (10): 1356 Artikel på omslagsillustrationen som medföljer Rob Kirby-artikeln.
• Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011), Pojkens yta vid Oberwolfach (PDF) .
• Sanderson, B. Boy's will be Boy's , (odaterat, 2006 eller tidigare).
• Weisstein, Eric W. "Pojkens yta" . MathWorld .

externa länkar

• Boy's yta på MathCurve; innehåller olika visualiseringar, olika ekvationer, användbara länkar och referenser
• En plan utvikning av pojkens yta – applet från Plus Magazine .
• Pojkes ytresurser , inklusive originalartikeln , och en inbäddning av en topolog i Oberwolfach Boys ytbeläggning .
• En LEGO Boys yta
• En pappersmodell av Boys yta – mönster och instruktioner
• Java-baserad modell som kan roteras fritt
• En modell av Boys yta i Constructive Solid Geometry tillsammans med monteringsanvisningar
• Boys ytavisualiseringsvideo från Mathematical Institute of the Serbian Academy of the Arts and Sciences