Timosjenko–Ehrenfest strålteori

Linjens orientering vinkelrätt mot mittplanet av en tjock pocketbok under böjning.

Timoshenko -Ehrenfest strålteorin utvecklades av Stephen Timoshenko och Paul Ehrenfest tidigt på 1900-talet. Modellen tar hänsyn till skjuvdeformation och rotationsböjningseffekter , vilket gör den lämplig för att beskriva beteendet hos tjocka strålar, sandwich-kompositstrålar eller strålar som utsätts för högfrekvent excitation när våglängden närmar sig strålens tjocklek. Den resulterande ekvationen är av 4:e ordningen, men till skillnad från Euler-Bernoullis strålteori finns det också en partiell derivata av andra ordningen. Fysiskt sänker man genom att ta hänsyn till de tillagda deformationsmekanismerna effektivt balkens styvhet, medan resultatet är en större avböjning under en statisk belastning och lägre förutsagda egenfrekvenser för en given uppsättning randvillkor. Den senare effekten är mer märkbar för högre frekvenser då våglängden blir kortare (i princip jämförbar med strålens höjd eller kortare), och därmed minskar avståndet mellan motstående skjuvkrafter.

Roterande tröghetseffekt introducerades av Bresse och Rayleigh.

Om strålmaterialets skjuvmodul närmar sig oändligheten – och därmed blir strålen stel i skjuvningen – och om rotationströghetseffekter försummas, konvergerar Timosjenkos strålteori mot vanlig strålteori .

Kvasistatisk Timosjenko-stråle

Deformation av en Timosjenko-stråle (blå) jämfört med den hos en Euler-Bernoulli-stråle (röd).

Deformation av en Timosjenko-stråle. Normalen roterar med ett belopp $\theta _{x}=\varphi (x)$ som inte är lika med $dw/dx$ .

I statisk Timosjenko strålteori utan axiella effekter antas strålens förskjutningar vara givna av

$u_{x}(x,y,z)=-z~\varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z) =0~;~~u_{z}(x,y)=w(x)$

där $(x,y,z)$ är koordinaterna för en punkt i strålen, $u_{x},u_{y}, u_{z}$ är komponenterna i förskjutningsvektorn i de tre koordinatriktningarna, $\varphi$ är rotationsvinkeln för normalen till strålens mittyta, och $w$ är förskjutningen av mellanytan i $z$ -riktningen.

De styrande ekvationerna är följande kopplade system av vanliga differentialekvationer :

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right)=q(x)\\&{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}=\varphi -{\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right).\end{aligned}}$

Timosjenkos strålteorin för det statiska fallet är ekvivalent med Euler-Bernoulli-teorin när den sista termen ovan försummas, en approximation som är giltig när

${\frac {3EI}{\kappa L^{2}AG}}\ll 1$

var

• $L$ är längden på strålen.
• $A$ är tvärsnittsarean.
• $E$ är elasticitetsmodulen .
• $G$ är skjuvmodulen .
• $I$ är det andra ögonblicket av area .
• $\kappa$ , kallad Timosjenko skjuvkoefficient, beror på geometrin. Normalt är $\kappa =5/6$ för en rektangulär sektion.
• $q(x)$ är en fördelad last (kraft per längd).

Att kombinera de två ekvationerna ger, för en homogen stråle med konstant tvärsnitt,

$EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d } x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^ {2}}}$

Böjmomentet $M_{xx}$ och skjuvkraften $Q_{x}$ i balken är relaterade till förskjutningen $w$ och rotationen $\ varphi$ . Dessa relationer, för en linjär elastisk Timosjenko-stråle, är:

$M_{xx}=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\quad {\text{and}}\quad Q_{x}=\kappa ~AG~\left( -\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\,.$

Härledning av kvasistatiska Timosjenko-stråleekvationer

Från de kinematiska antagandena för en Timosjenko-stråle ges strålens förskjutningar av $u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y }(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z)=w(x,t)$ Sedan, från töjnings-förskjutningsrelationerna för små stammar, är stammarna som inte är noll baserade på Timosjenko-antagandena. $\varepsilon _{xx}={\frac {\partial u_{x }}{\partial x}}=-z~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}~;~~\varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}\left ({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}} \left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)$ Eftersom den faktiska skjuvtöjningen i balken inte är konstant över tvärsnittet introducerar vi en korrektionsfaktor $\kappa$ så att $\varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}~\kappa ~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)$ Variationen i strålens inre energi är $\delta U=\int _{L}\int _{A}(\sigma _{xx}\delta \varepsilon _{xx}+2\sigma _{xz}\delta \varepsilon _{xz})~\mathrm {d} A~\mathrm {d} L=\int _{L}\int _{A}\left [-z~\sigma _{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi )}{\partial x}}+\sigma _{xz}~\kappa \left(-\delta \varphi +{\ frac {\partial (\delta w)}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} A~\mathrm {d} L$ Definiera $M_{xx}:=\int _{A}z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} A~;~~Q_{x} :=\kappa ~\int _{A}\sigma _{xz}~\mathrm {d} A$ Sedan $\delta U=\int _{L}\ vänster[-M_{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi )}{\partial x}}+Q_{x}\left(-\delta \varphi +{\frac {\partial (\delta w )}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} L$ Integrering av delar, och att notera att på grund av randvillkoren variationerna är noll vid ändarna av strålen, leder till $\delta U=\int _{L}\left[\left({ \frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}\right)~\delta \varphi -{\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}~\delta w\right]~\mathrm {d} L$ Variationen i det yttre arbetet som utförs på balken med en tvärlast $q(x,t)$ per längdenhet är $\delta W=\int _{L}q~\delta w~\mathrm {d} L$ Sedan, för en kvasistatisk stråle, ger principen om virtuellt arbete $\delta U=\delta W\implies \int _{L}\left[\left({\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}\right)~\delta \varphi -\left({\frac { \partial Q_{x}}{\partial x}}+q\right)~\delta w\right]~\mathrm {d} L=0$ De styrande ekvationerna för strålen är, från variationskalkylens grundsats, ${\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}=0~;~~{\frac {\partial Q_{x}} {\partial x}}+q=0$ För en linjär elastisk balk ${\begin{aligned }M_{xx}&=\int _{A}z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} A=\int _{A}z~E~\varepsilon _{xx}~\mathrm {d } A=-\int _{A}z^{2}~E~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}~\mathrm {d} A=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\Q_{x}&=\int _{A}\sigma _{xz}~\mathrm {d} A=\int _{A}2G~\varepsilon _{xz }~\mathrm {d} A=\int _{A}\kappa ~G~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)~\mathrm {d} A=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\end{aligned}}$ Därför kan de styrande ekvationerna för strålen uttryckas som ${\begin{display style {\begin aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG~\left({\frac {\ partiell w}{\partial x}}-\varphi \right)&=0\\{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w} {\partial x}}-\varphi \right)\right]+q&=0\end{aligned}}}$ Att kombinera de två ekvationerna tillsammans ger ${\begin{fracaligned}&{\ {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)=q\\&{\frac {\ partiell w}{\partial x}}=\varphi -{\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \ varphi }{\partial x}}\right)\end{aligned}}$

Gränsförhållanden

De två ekvationerna som beskriver deformationen av en Timosjenko-stråle måste utökas med randvillkor om de ska lösas. Fyra randvillkor krävs för att problemet ska vara väl ställt . Typiska randvillkor är:

• Enkelt stödda balkar : Förskjutningen $w$ är noll vid placeringen av de två stöden. Böjmomentet $\displaystyle M_{xx}}$ { som appliceras på balken måste också specificeras. Rotationen $\varphi$ och den tvärgående skjuvkraften $Q_{x}$ är inte specificerade.
• Fastklämda balkar : Förskjutningen $w$ och rotationen $\varphi$ specificeras till noll i den fastklämda änden. Om en ände är fri måste skjuvkraft $Q_{x}$ och böjmoment $M_{xx}$ specificeras i den änden.

Spänn energi från en Timosjenko-stråle

Töjningsenergin för en Timosjenko-stråle uttrycks som summan av töjningsenergin på grund av böjning och skjuvning. Båda dessa komponenter är kvadratiska i sina variabler. Töjningsenergifunktionen för en Timosjenko-stråle kan skrivas som,

$W=\int _{[0,L]}{\frac { EI}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}+{\frac {kGA}{2}}\left(\varphi -{\frac {dw }{dx}}\right)^{2}$

Exempel: Cantilever balk

En fribärande Timosjenko-balk under punktbelastning i den fria änden

För en fribärande balk är en gräns fastspänd medan den andra är fri. Låt oss använda ett högerhänt koordinatsystem där $x$ -riktningen är positiv mot höger och $z$ -riktningen är positiv uppåt. Enligt normal konvention antar vi att positiva krafter verkar i positiva riktningar för $x$ och $z$ -axlarna och positiva moment verkar i medurs riktning. Vi antar också att teckenkonventionen för spänningsresultanterna ( M $\displaystyle M_{xx}}$ och $Q_{x}$ ) är sådan att positiva böjmoment komprimerar materialet i botten av balken (lägre $z$ -koordinater) och positiva skjuvkrafter roterar strålen moturs.

Låt oss anta att den fastklämda änden är vid $x=L$ och den fria änden är vid $x=0$ . Om en punktbelastning $P$ appliceras på den fria änden i den positiva $z$ -riktningen, ger ett frikroppsdiagram av strålen oss

$-Px-M_{xx}=0\implicerar M_{xx}=-Px$

och

$P+Q_{x}=0\implicerar Q_{x}=-P\,.$

Därför har vi från uttrycken för böjmomentet och skjuvkraften

$Px=EI\,{\frac {d\varphi }{dx}}\qquad {\text{and}}\qquad -P=\kappa AG\left(-\varphi +{\frac {dw} {dx}}\right)\,.$

Integration av den första ekvationen, och tillämpning av gränsvillkoret $\varphi =0$ vid $x=L$ , leder till

$\varphi (x)=-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.$

Den andra ekvationen kan sedan skrivas som

${\frac {dw}{dx}}=-{\frac {P}{\kappa AG}}-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{ 2})\,.$

Integration och tillämpning av gränsvillkoret $w=0$ vid $x=L$ ger

$w(x)={\frac {P(Lx)}{\kappa AG}}-{\frac {Px}{2EI}}\,\left(L^{2}-{\frac {x ^{2}}{3}}\right)+{\frac {PL^{3}}{3EI}}\,.$

Den axiella spänningen ges av

$\sigma _{xx}(x,z)=E\,\varepsilon _{xx}=-E\,z\,{\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac { Pxz}{I}}={\frac {M_{xx}z}{I}}\,.$

Dynamisk Timosjenko-stråle

I Timosjenko strålteori utan axiella effekter antas strålens förskjutningar vara givna av

$u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_ {y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)$

där $(x,y,z)$ är koordinaterna för en punkt i strålen, $u_{x},u_{y}, u_{z}$ är komponenterna i förskjutningsvektorn i de tre koordinatriktningarna, $\varphi$ är rotationsvinkeln för normalen till strålens mittyta, och $w$ är förskjutningen av mellanytan i $z$ -riktningen.

Med utgångspunkt från ovanstående antagande kan Timosjenkos strålteorin, som tillåter vibrationer, beskrivas med de kopplade linjära partiella differentialekvationerna :

$\rho A{\frac {\partial ^{2}w} {\partial t^{2}}}-q(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\ partiell x}}-\varphi \right)\right]$

$\ rho I{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \ varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)$

där de beroende variablerna är $w(x,t)$ , strålens translationella förskjutning och $\varphi (x,t)$ , vinkeln förflyttning. Observera att till skillnad från Euler-Bernoulli- teorin är vinkelavböjningen en annan variabel och inte approximeras av lutningen på avböjningen. Också,

• $\rho$ är densiteten för strålmaterialet (men inte den linjära densiteten ) .
• $A$ är tvärsnittsarean.
• $E$ är elasticitetsmodulen .
• $G$ är skjuvmodulen .
• $I$ är det andra ögonblicket av area .
• $\kappa$ , kallad Timosjenko skjuvkoefficient, beror på geometrin. Normalt är $\kappa =5/6$ för en rektangulär sektion.
• $q(x,t)$ är en fördelad last (kraft per längd).
• $m:=\rho A$
• $J:=\rho I$

Dessa parametrar är inte nödvändigtvis konstanter.

För en linjär elastisk, isotrop, homogen stråle med konstant tvärsnitt kan dessa två ekvationer kombineras för att ge

$EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^ {4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {EIm}{\kappa AG}}\right) {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{ \partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}$

Härledning av kombinerad Timosjenkos strålekvation

Ekvationerna som styr böjningen av en homogen Timosjenko-stråle med konstant tvärsnitt är ${\begin{aligned}(1)&&\quad m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&=\kappa AG~ \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi}{\partial x}}\right)+q(x,t )~;~~m:=\rho A\\(2)&&\quad J~{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=EI~{\ frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+\kappa AG~\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)~ ;~~J:=\rho I\end{aligned}}$ Från ekvation (1), med antagande av lämplig jämnhet, har vi ${\begin{aligned}(3)&&\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&={\cfrac { q}{\kappa AG}}-{\cfrac {m}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+{\frac {\ partiell ^{2}w}{\partial x^{2}}}\\(4)&&\quad {\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}&= {\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}-{\frac {m}{\kappa AG}}~{\ cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}} \\(5)&&\quad {\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x\partial t^{2}}}&={\frac {1}{\kappa AG}}{\ frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {m}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t ^{4}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}\end{aligned}}$ Differentieringsekvation (2) ger ${\begin{aligned}( &&\quad J~{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x\partial t^{2}}}&=EI~{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\ partiell x^{3}}}+\kappa AG~\left({\frac {\partial w^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi }{\ partiell x}}\right)\end{aligned}}$ Genom att ersätta ekvation (3), (4), (5) med ekvation (6) och omordna, får vi ${\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x ^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right )~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\ partiell ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{ 2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}$

Timosjenko-ekvationen förutsäger en kritisk frekvens ${\displaystyle \omega _{C}=2\pi f_{c}={\sqrt {\frac {\kappa GA}{\rho I}}}.} För normala lägen kan Timosjenko-ekvationen lösas$ . Eftersom det är en fjärde ordningens ekvation finns det fyra oberoende lösningar, två oscillerande och två evanescenta för frekvenser under $f_{c}$ . För frekvenser större än $f_{c}$ är alla lösningar oscillerande och som en konsekvens uppstår ett andra spektrum.

Axiella effekter

Om strålens förskjutningar ges av

$u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~\varphi ( x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)$

där $u_{0}$ är en ytterligare förskjutning i $x$ -riktningen, då tar de styrande ekvationerna för en Timosjenko-stråle formen

${\begin{aligned}m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^ {2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\ höger]+q(x,t)\\J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=N(x,t)~{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left ({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\end{aligned}}$

där $J=\rho I$ och $N(x,t)$ är en externt applicerad axiell kraft. Varje yttre axiell kraft balanseras av spänningsresultanten

$N_{xx}(x,t)=\int _{-h}^{h}\sigma _{xx}~dz$

där $\sigma _{xx}$ är den axiella spänningen och tjockleken på strålen har antagits vara $2h$ .

Den kombinerade strålekvationen med axialkraftseffekter ingår är

$EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\ partiell x^{4}}}+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\ partiell t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\ partiell t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac { J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\ partiell ^{2}q}{\partial x^{2}}}$

Dämpning

Om vi ​​förutom axiella krafter antar en dämpningskraft som är proportionell mot hastigheten med formen

$\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}$

de kopplade styrande ekvationerna för en Timosjenko-stråle tar formen

$m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x} }\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)$

$J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^ {2}}}=N{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\ partiell x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)$

och den kombinerade ekvationen blir

${\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{ \partial x^{4}}}&+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w} {\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2 }\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {J\eta (x)}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{3}w}{\partial t^{3}}}\\&-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}\right) +\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}$

En varning för denna Ansatz-dämpningskraft (som liknar viskositet) är att medan viskositet leder till en frekvensberoende och amplitudoberoende dämpningshastighet för strålsvängningar, är de empiriskt uppmätta dämpningshastigheterna frekvensokänsliga, men beror på amplituden av strålavböjningen .

Skjuvningskoefficient

Att bestämma skjuvkoefficienten är inte okomplicerat (inte heller är de bestämda värdena allmänt accepterade, dvs. det finns mer än ett svar); i allmänhet måste den uppfylla:

$\int _{A}\tau dA=\kappa AG(\varphi -{\frac {\partial w}{\partial x} })$ .

Skjuvningskoefficienten beror på Poissons förhållande . Försöken att ge exakta uttryck gjordes av många forskare, inklusive Stephen Timoshenko , Raymond D. Mindlin , GR Cowper, NG Stephen, JR Hutchinson etc. (se även härledningen av Timosjenkos strålteorin som en förfinad strålteori baserad på variationen -asymptotisk metod i boken av Khanh C. Le som leder till olika skjuvningskoefficienter i statiska och dynamiska fall). I ingenjörspraktik är uttrycken av Stephen Timosjenko tillräckliga i de flesta fall. 1975 publicerade Kaneko en utmärkt genomgång av studier av skjuvkoefficienten. På senare tid visar nya experimentella data att skjuvningskoefficienten är underskattad.

Korrigerande skjuvningskoefficienter för homogen isotrop stråle enligt Cowper - val.

Tvärsnitt	Koefficient
	${\displaystyle {\frac {10(1+\nu )}{12+11\nu }}} 6$
	$\displaystyle {\frac {6(1+\nu)}{7+6\nu }}}$
	${\frac {12(1+\nu )a^{2}(3a^{2}+b^{2})}{(40+37\nu )a^ {4}+(16+10\nu )a^{2}b^{2}+\nu b^{4}}}$
	${\frac {1+\nu }{1.305+1.273\nu }}$
	${\ frac {6(1+\nu )(1+m^{2})^{2}}{(7+6\nu)(1+m^{2})^{2}+(20+12\ nu )m^{2}}}$ , där $m={\frac {b}{a}}$
	${\frac {2 (1+\nu )}{4+3\nu }}$
	${\frac {20(1+\nu )}{48+39\nu }}$
	${\displaystyle {\frac {10(1+\nu )(1+3m)^{2}}{(12+72m+150m^{2}+90m^{3} )+\nu (11+66m+135m^{2}+90m^{3})+10n^{2}((3+\nu)m+3m^{2})}}} ,$ där $m={\frac {bt_{1}}{ht_{2}}}$ och $n={\frac {b}{h}}$
	${\frac {10(1+\nu )(1+3m)^{2}}{(12+72m+150m^{2}+ 90m^{3})+\nu (11+66m+135m^{2}+90m^{3})+30n^{2}(m+m^{2})+5\nu n^{2} (8m+9m^{2})}}$ , där $m={\frac {2bt_{1}}{ht_{2}}}$ och $n={\frac {b}{h}}$
	${\displaystyle {\frac {10(1+\nu )( 1+4m)^{2}}{(12+96m+276m^{2}+192m^{3})+\nu (11+88m+248m^{2}+216m^{3})+30n^ {2}(m+m^{2})+10\nu n^{2}(4m+5m^{2}+m^{3})}}} ,$ där ${ \displaystyle m={\frac {bt_{1}}{ht_{2}}}}$ och $n={\frac {b}{h}}$

där $\nu$ är Poissons förhållande.

Se även

• Plåtteori
• Smörgåsteori