Neutral axel

Balk med neutral axel (x).

Den neutrala axeln är en axel i tvärsnittet av en balk (en del som motstår böjning) eller axel längs vilken det inte finns några längsgående spänningar eller töjningar. Byggnadsarbetare bör ha en grundläggande förståelse för konceptet och följa branschregler och riktlinjer för att undvika att på ett farligt sätt äventyra den strukturella säkerheten i en byggnad.

Teori

Om sektionen är symmetrisk, isotropisk och inte är krökt innan en böjning inträffar, är den neutrala axeln vid den geometriska tyngdpunkten för en balk eller axel. Alla fibrer på ena sidan av den neutrala axeln är i ett tillstånd av spänning , medan de på den motsatta sidan är i kompression .

Eftersom balken genomgår en jämn böjning förblir ett plan på balken plant. Det är:

$\gamma _{xy}=\gamma _{zx}=\tau _{xy}=\tau _{xz}=0$

Där $\gamma$ är skjuvtöjningen och $\tau$ är skjuvspänningen

Det finns en kompressiv (negativ) töjning längst upp på balken och en dragspänning (positiv) längst ner på balken. Därför måste det enligt Intermediate Value Theorem finnas någon punkt mellan toppen och botten som inte har någon töjning, eftersom töjningen i en stråle är en kontinuerlig funktion .

Låt L vara den ursprungliga längden på balken ( span ) ε(y) är töjningen som funktion av koordinaten på strålens yta. σ(y) är spänningen som funktion av koordinat på strålens yta. ρ är strålens krökningsradie vid dess neutrala axel. θ är böjningsvinkeln

Eftersom böjningen är enhetlig och ren finns det därför på ett avstånd y från den neutrala axeln med den inneboende egenskapen att inte ha någon töjning:

$\epsilon _{x}(y)={\ frac {L(y)-L}{L}}={\frac {\theta \,(\rho \,-y)-\theta \rho \,}{\theta \rho \,}}={\ frac {-y\theta }{\rho \theta }}={\frac {-y}{\rho }}$

Därför varierar den longitudinella normala töjningen $\epsilon _{x}$ linjärt med avståndet y från den neutrala ytan. Genom att beteckna $\epsilon _{m}$ som den maximala töjningen i strålen (på ett avstånd c från den neutrala axeln), blir det tydligt att:

$\epsilon _{m}={\frac {c}{\rho }}$

Därför kan vi lösa för ρ och finna att:

$\rho ={\frac {c}{\epsilon _{m}}}$

Genom att ersätta detta tillbaka till det ursprungliga uttrycket finner vi att:

$\epsilon _{x}(y)={\frac {-\epsilon _{m}y}{c}}$

På grund av Hookes lag är spänningen i balken proportionell mot töjningen av E, elasticitetsmodulen :

$\sigma _{x}=E\epsilon _{x}\,$

Därför:

$E\epsilon _{x}(y)={\frac {-E\epsilon _{m}y}{c}}$

$\sigma _{x}(y)={\frac {-\sigma _{m}y}{c}}$

Från statik består ett moment (dvs ren böjning ) av lika stora och motsatta krafter. Därför måste den totala mängden kraft över tvärsnittet vara 0.

$\int \sigma _{x}dA=0$

Därför:

$\int {\frac {-\sigma _{m}y}{c}}dA=0$

Eftersom y anger avståndet från den neutrala axeln till valfri punkt på ytan, är det den enda variabeln som ändras med avseende på dA. Därför:

$\int ydA=0$

Därför måste det första momentet av tvärsnittet kring dess neutrala axel vara noll. Därför ligger den neutrala axeln på tyngdpunkten för tvärsnittet.

Observera att den neutrala axeln inte ändras i längd vid böjning. Det kan verka kontraintuitivt till en början, men det beror på att det inte finns några böjspänningar i den neutrala axeln. Det finns dock skjuvspänningar (τ) i den neutrala axeln, noll i mitten av spännet men ökar mot stöden, vilket kan ses i denna funktion (Jourawskis formel);

\tau ={\frac {TQ}{wI}}

där T = skjuvkraft Q = första areamomentet för sektionen ovanför/under neutralaxeln w = balkens bredd I = andra areamomentet för balken

Denna definition är lämplig för de så kallade långa balkarna, dvs dess längd är mycket större än de andra två dimensionerna.

Bågar

Valv har också en neutral axel om de är gjorda av sten; sten är ett oelastiskt medium och har liten styrka i spänning. När belastningen på bågen ändras flyttas därför den neutrala axeln - om den neutrala axeln lämnar stensättningen kommer bågen att misslyckas.

Denna teori (även känd som draglinjemetoden ) föreslogs av Thomas Young och utvecklades av Isambard Kingdom Brunel .

Praktiska tillämpningar

Byggnadsarbetare bör åtminstone ha en grundläggande förståelse för begreppet neutral axel, för att undvika att skära öppningar för att dra ledningar, rör eller kanaler på platser som farligt kan äventyra styrkan hos strukturella delar i en byggnad. Byggnormer anger vanligtvis regler och riktlinjer som kan följas för rutinarbete, men speciella situationer och konstruktioner kan behöva hjälp av en byggnadsingenjör för att garantera säkerheten.

Se även