Smörgåsteori

Sammansatt sandwichstrukturpanel som används för testning på NASA

Sandwichteorin beskriver beteendet hos en balk , platta eller skal som består av tre lager - två ansiktsark och en kärna. Den mest använda sandwichteorin är linjär och är en förlängning av första ordningens strålteorin . Linjär sandwichteori är av betydelse för design och analys av sandwichpaneler , som är användbara inom byggnadskonstruktion, fordonskonstruktion, flygplanskonstruktion och kylteknik.

Några fördelar med sandwichkonstruktion är:

• Sandwich-tvärsnitt är sammansatta . De består vanligtvis av en kärna med låg till måttlig styvhet som är ansluten till två styva yttre ansiktsskivor. Kompositen har ett avsevärt högre skjuvstyvhet till viktförhållande än en ekvivalent balk gjord av endast kärnmaterialet eller ytskiktsmaterialet. Kompositen har också ett högt förhållande mellan draghållfasthet och vikt.
• Den höga styvheten hos ytskiktet leder till ett högt förhållande mellan böjstyvhet och vikt för kompositen.

Beteendet hos en balk med sandwichtvärsnitt under en belastning skiljer sig från en balk med ett konstant elastiskt tvärsnitt. Om krökningsradien under böjning är stor jämfört med sandwichbalkens tjocklek och töjningarna i komponentmaterialen är små, kan deformationen av en sandwichkompositbalk delas upp i två delar

• deformationer på grund av böjmoment eller böjdeformation, och
• deformationer på grund av tvärkrafter, även kallad skjuvdeformation.

för sandwichbalk, plåt och skal antar vanligtvis att referensspänningstillståndet är ett av nollspänning. Under härdningen kvarstår emellertid temperaturskillnader mellan ytskikten på grund av den termiska separationen av kärnmaterialet. Dessa temperaturskillnader, i kombination med olika linjära expansioner av ytskikten, kan leda till en böjning av sandwichbalken i riktning mot det varmare ytskiktet. Om böjningen begränsas under tillverkningsprocessen restspänningar utvecklas i komponenterna i en sandwichkomposit. Överlagring av ett referensspänningstillstånd på lösningarna från sandwichteorin är möjlig när problemet är linjärt . Men när stora elastiska deformationer och rotationer förväntas, måste det initiala spänningstillståndet inkorporeras direkt i sandwichteorin.

Engineering sandwich beam teori

Böjning av en sandwichbalk utan extra deformation på grund av kärnskjuvning.

I ingenjörsteorin för sandwichbalkar antas den axiella töjningen variera linjärt över balkens tvärsnitt som i Euler-Bernoulli teorin , dvs.

$\varepsilon _{xx}(x,z)=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w} {\mathrm {d} x^{2}}}$

Därför ges den axiella spänningen i sandwichbalken av

$\sigma _{xx}(x,z)=-z~E(z)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}$

där $E(z)$ är Youngs modul som är en funktion av placeringen längs strålens tjocklek. Böjmomentet i balken ges då av

${\ displaystyle M_{x}(x)=\int \int z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y=-\left(\int \int z^{2} E(z)~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}} }=:-D~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Kvantiteten $D$ kallas sandwichbalkens böjstyvhet . Skjuvkraften $Q_{x}$ definieras som

$Q_{x}={\frac {\mathrm {d} M_{x}}{\mathrm {d} x}}~.$

Med hjälp av dessa relationer kan vi visa att spänningarna i en sandwichbalk med en kärna med tjockleken $2h$ och modul $E^{c}$ och två facesheets vardera med tjockleken $f$ och modul $E^{f}$ , ges av

${\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm { f} }&={\cfrac {zE^{\mathrm {f} }M_{x}}{D}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&={\ cfrac {zE^{\mathrm {c} }M_{x}}{D}}\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&={\cfrac {Q_{x}E^{\ mathrm {f} }}{2D}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} } &={\cfrac {Q_{x}}{2D}}\left[E^{\mathrm {c}}\left(h^{2}-z^{2}\right)+E^{\mathrm {f} }f(f+2h)\right]\end{aligned}}$

Härledning av tekniska sandwichbalkspänningar

Eftersom ${\cfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}=-{\cfrac {M_{x}(x) }{D}}$ vi kan skriva den axiella spänningen som $\sigma _{xx}(x,z)={\cfrac {z~E(z)~M_{x} (x)}{D}}$ Jämviktsekvationen för en tvådimensionell fast substans ges av ${\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{xz}} {\partial z}}=0$ där $\tau _{xz}$ är skjuvspänningen . Därför, $\tau _{ xz}(x,z)=\int {\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}~\mathrm {d} z+C(x)=\int {\cfrac {z~ E(z)}{D}}~{\frac {\mathrm {d} M_{x}}{\mathrm {d} x}}~\mathrm {d} z+C(x)$ där $C(x)$ är en integrationskonstant. Därför, $\tau _{xz}(x,z)={\cfrac {Q_{x}}{ D}}\int z~E(z)~\mathrm {d} z+C(x)$ Låt oss anta att det inte finns några skjuvdragningar på sandwichbalkens övre yta. Skjuvspänningen i det övre ytskiktet ges av $\tau _{xz}^{\mathrm {ansikte} }(x,z)={\cfrac {Q_{x}E^{f}}{D}}\int _{z }^{h+f}z~\mathrm {d} z+C(x)={\cfrac {Q_{x}E^{f}}{2D}}\vänster[(h+f)^{2 }-z^{2}\right]+C(x)$ Vid $z=h+f$ , $\tau _{xz}(x,h+f)=0$ innebär att $C(x)=0$ . Då ges skjuvspänningen i toppen av kärnan, ${\displaystyle z=h} , av$ $\tau _{xz}(x,h)={\cfrac {Q_{x}E^{f} f(f+2h)}{2D}}$ På liknande sätt kan skjuvspänningen i kärnan beräknas som ${\ displaystyle \tau _{xz}^{\mathrm {core} }(x,z)={\cfrac {Q_{x}E^{c}}{D}}\int _{z}^{h}z ~\mathrm {d} z+C(x)={\cfrac {Q_{x}E^{c}}{2D}}\left(h^{2}-z^{2}\right)+C (x)}$ Integreringskonstanten $C(x)$ bestäms från kontinuiteten av skjuvspänningen vid gränsytan mellan kärnan och ytskiktet. Därför, $C(x)={\cfrac {Q_{x}E^{f}f(f+2h)}{2D}}$ och $\tau _{xz}^{\ mathrm {core} }(x,z)={\cfrac {Q_{x}}{2D}}\left[E^{c}\left(h^{2}-z^{2}\right)+ E^{f}f(f+2h)\höger]$

För en sandwichbalk med identiska ansiktsark och enhetsbredd är värdet på $\displaystyle D}$

${\begin{aligned}D&=E^{f}\int _{w}\int _{-hf}^{-h}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y+E^{c}\int _{w}\int _{-h}^{h}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y+E^ {f}\int _{w}\int _{h}^{h+f}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\\&={\frac {2 }{3}}E^{f}f^{3}+{\frac {2}{3}}E^{c}h^{3}+2E^{f}fh(f+h)~. \end{aligned}}$

Om $E^{f}\gg E^{c}$ så kan ${\displaystyle D} approximeras som$

$D\approx {\frac {2}{ 3}}E^{f}f^{3}+2E^{f}fh(f+h)=2fE^{f}\left({\frac {1}{3}}f^{2}+ h(f+h)\höger)$

och spänningarna i sandwichbalken kan approximeras som

${\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {zM_{x}}{{\frac {2}{3}}f^{3}+2fh(f+h)}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm { c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{{\frac {4}{3}}f^{3 }+4fh(f+h)}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} } &\approx {\cfrac {Q_{x}(f+2h)}{{\frac {2}{3}}f^{2}+h(f+h)}}\end{aligned}}$

Om dessutom $f\ll 2h$ , då

$\displaystyle D\approx 2E^{f}fh(f+h)}$

och de ungefärliga spänningarna i balken är

${\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\ ungefär {\cfrac {zM_{x}}{2fh(f+h)}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz} ^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{4fh(f+h)}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right] ~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}(f+2h)}{4h(f+h)}}\approx {\cfrac {Q_{x}}{2h}}\end{aligned}}$

Om vi ​​antar att ytskikten är tillräckligt tunna för att spänningarna kan antas vara konstanta genom tjockleken, har vi approximationen

${\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx \pm {\cfrac {M_{x}}{2fh}} ~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx 0~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{2h}}\end{aligned}}$

Följaktligen kan problemet delas upp i två delar, den ena involverar endast kärnskjuvning och den andra involverar endast böjspänningar i ytskikten.

Linjär smörgåsteori

Böjning av en sandwichbalk med tunna ansiktsark

Böjning av en sandwichbalk efter inkorporering av skjuvning av kärnan i deformationen.

De huvudsakliga antagandena för linjära sandwichteorier om balkar med tunna facesheets är:

• kärnans tvärgående normala styvhet är oändlig, dvs kärnans tjocklek i z-riktningen ändras inte under böjning
• kärnans normala styvhet i planet är liten jämfört med facesheets, dvs kärnan förlängs eller komprimeras inte i x-riktningen
• facesheetsna beter sig enligt Euler-Bernoulli antaganden, dvs. det finns ingen xz-skjuvning i facesheets och z-riktningens tjocklek på facesheets ändras inte

Men xz-skjuvspänningarna i kärnan försummas inte.

Konstitutiva antaganden

De konstitutiva relationerna för tvådimensionella ortotropiska linjära elastiska material är

$\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx} \\\sigma _{zz}\\\sigma _{zx}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{13}&0\\C_{13}&C_{33}&0\ \0&0&C_{55}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{zx}\end{bmatrix}}}$

Sandwichteorins antaganden leder till de förenklade relationerna

$\sigma _{xx}^{\mathrm {ansikte} }=C_{11}^{\mathrm {ansikte} }~\varepsilon _ {xx}^{\mathrm {ansikte} }~;~~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=C_{55}^{\mathrm {core} }~\varepsilon _{zx}^ {\mathrm {core} }~;~~\sigma _{zz}^{\mathrm {face} }=\sigma _{xz}^{\mathrm {face} }=0~;~~\sigma _{ zz}^{\mathrm {kärna} }=\sigma _{xx}^{\mathrm {kärna} }=0$

och

$\varepsilon _{zz}^{\mathrm {ansikte} }=\varepsilon _{xz}^{\mathrm {ansikte} }=0 ~;~~\varepsilon _{zz}^{\mathrm {core} }=\varepsilon _{xx}^{\mathrm {core} }=0$

Jämviktsekvationerna i två dimensioner är

${\cfrac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial \sigma _{zx}} {\partial z}}=0~;~~{\cfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z} }=0$

Antagandena för en sandwichstråle och jämviktsekvationen antyder det

$\sigma _{xx}^{\mathrm {ansikte} }\equiv \sigma _{xx}^{\mathrm {ansikte} }( z)~;~~\sigma _{zx}^{\mathrm {kärna} }=\mathrm {konstant}$

Därför, för homogena facesheets och kärna, har stammarna också formen

$\varepsilon _{xx}^{\mathrm {ansikte} }\equiv \varepsilon _{xx}^{\mathrm {ansikte} }( z)~;~~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {kärna} }=\mathrm {konstant}$

Kinematik

Böjning av en sandwichbalk. Den totala nedböjningen är summan av en böjdel w _b och en skjuvdel w _s

Skjuvtöjningar under böjning av en sandwichbalk.

Låt sandwichbalken utsättas för ett böjmoment $M$ och en skjuvkraft $Q$ . Låt den totala avböjningen av balken på grund av dessa belastningar vara $w$ . Den intilliggande figuren visar att för små förskjutningar kan den totala avböjningen av balkens mittyta uttryckas som summan av två avböjningar, en ren böjningsavböjning $w_{b}$ och en ren skjuvnedböjning $w_{s}$ , dvs.

$w(x)=w_{b}(x)+w_{s}(x)$

Från deformationens geometri ser vi att den tekniska skjuvtöjningen ( $\gamma$ ) i kärnan är relaterad till den effektiva skjuvtöjningen i kompositen med relationen

$\gamma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{2h} }~\gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }$

Observera att skjuvtöjningen i kärnan är större än den effektiva skjuvtöjningen i kompositen och att små deformationer ( ${\displaystyle \tan \gamma =\gamma })$ antas vid härledning av ovanstående relation. Den effektiva skjuvtöjningen i balken är relaterad till skjuvförskjutningen av relationen

$\gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }={\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d } x}}$

Facesheetsna antas deformeras i enlighet med antagandena i Euler-Bernoullis strålteorin. Den totala avböjningen av ytskikten antas vara överlagringen av böjningarna på grund av böjning och den på grund av kärnskjuvning. Förskjutningarna $x$ -riktningen för ansiktsarken på grund av böjning ges av

$u_{b}^{\mathrm {ansikte} }(x,z)=-z~{\cfrac {\mathrm { d} w_{b}}{\mathrm {d} x}}$

Förskjutningen av det övre ytskiktet på grund av skjuvning i kärnan är

$u_{s}^{\mathrm {topface} }(x,z)= -\left(zh-{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}$

och det för det nedre ansiktsarket är

$u_{s}^{\mathrm {botface} }(x,z)= -\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}$

De normala spänningarna i de två ansiktsarken ges av

$\varepsilon _{xx}={\cfrac {\partial u_{b}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial u_ {s}}{\partial x}}$

Därför,

$\varepsilon _{xx}^{\mathrm { topface} }=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(zh-{\tfrac {f} {2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~\varepsilon _{xx}^ {\mathrm {botface} }=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z+h+{ \tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}$

Stress-förskjutningsrelationer

Skjuvspänningen i kärnan ges av

$\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=C_{55}^{\mathrm {core} }~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }={\cfrac {C_{55}^{\mathrm {core} }}{2}}~\gamma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{4h} }~C_{55}^{\mathrm {core} }~\gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }$

eller,

$\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f }{4h}}~C_{55}^{\mathrm {kärna} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}$

De normala spänningarna i facesheets ges av

$\sigma _{xx}^{\mathrm {ansikte} }=C_{11}^{\mathrm {ansikte} }~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {ansikte} }$

Därav,

${\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {topface} }&=-z~C_{11} ^{\mathrm {ansikte} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(zh-{\tfrac { f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {ansikte} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{ 2}}}&=&-z~C_{11}^{\mathrm {ansikte} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}} }+\left({\tfrac {2h+f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s }}{\mathrm {d} x^{2}}}\\\sigma _{xx}^{\mathrm {botface} }&=-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{ \cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right) ~C_{11}^{\mathrm {ansikte} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=&-z ~C_{11}^{\mathrm {ansikte} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left({\tfrac { 2h+f}{2}}\höger)~C_{11}^{\mathrm {ansikte} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x ^{2}}}\end{aligned}}$

Resulterande krafter och moment

Den resulterande normalkraften i ett ansiktsark definieras som

$N_{xx}^{\mathrm {face} }:=\int _{-f /2}^{f/2}\sigma _{xx}^{\mathrm {ansikte} }~\mathrm {d} z_{f}$

och de resulterande momenten definieras som

$M_{xx}^{\mathrm {face} }:=\int _{ -f/2}^{f/2}z_{f}~\sigma _{xx}^{\mathrm {ansikte} }~\mathrm {d} z_{f}$

var

$z_{f}^{\mathrm {topface} }:=zh-{\tfrac {f}{2}}~;~~ z_{f}^{\mathrm {botface} }:=z+h+{\tfrac {f}{2}}$

Att använda uttrycken för den normala stressen i de två facesheets ger

${\begin{aligned}N_{xx}^{\mathrm {topface} }&=-f\left(h+{\tfrac {f}{2}}\ höger)~C_{11}^{\mathrm {ansikte} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}=-N_ {xx}^{\mathrm {botface} }\\M_{xx}^{\mathrm {topface} }&=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} } }{12}}\left({\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\cfrac {\mathrm {d} ^ {2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {ansikte} }}{ 12}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=M_{xx}^{\mathrm {botface} }\end{aligned} }$

I kärnan är det resulterande ögonblicket

$M_{xx}^{\mathrm {core} }:=\int _{-h}^{ h}z~\sigma _{xx}^{\mathrm {kärna} }~\mathrm {d} z=0$

Det totala böjmomentet i balken är

$M=N_{xx}^{\mathrm {topface} }~(2h +f)+2~M_{xx}^{\mathrm {topface} }$

eller,

$M=-{\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {ansikte} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\ mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {f^{3}}{6}}~C_{11}^{\mathrm {ansikte} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^ {2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}$

Skjuvkraften $Q_{x}$ i kärnan definieras som

$Q_{x}^{\mathrm {kärna } }=\kappa \int _{-h}^{h}\sigma _{xz}~dz={\tfrac {\kappa (2h+f)}{2}}~C_{55}^{\mathrm {kärna} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}$

där $\kappa$ är en skjuvkorrigeringskoefficient. Skjuvkraften i ytskikten kan beräknas från böjmomenten med hjälp av relationen

$Q_{x}^{\mathrm {ansikte} }={\cfrac {\mathrm {d} M_{xx}^{\mathrm {ansikte} }}{\mathrm {d} x}}$

eller,

$Q_{x}^{\mathrm {face} }=-{\cfrac {f^{3}~ C_{11}^{\mathrm {ansikte} }}{12}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}$

För tunna facesheets ignoreras vanligtvis skjuvkraften i facesheets.

Böj- och skjuvstyvhet

Sandwichbalkens böjstyvhet ges av

$D^{\mathrm {beam} }=-M/{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm { d} x^{2}}}$

Från uttrycket för det totala böjmomentet i balken har vi

$M=-{\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {ansikte} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\ mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {f^{3}}{6}}~C_{11}^{\mathrm {ansikte} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^ {2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}$

För små skjuvdeformationer kan ovanstående uttryck skrivas som

$M\approx -{\cfrac {f[3(2h+f)^ {2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{\mathrm {ansikte} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}$

ges böjstyvheten för sandwichbalken (med ${\displaystyle f\ll 2h} ) av$

$D^{\ mathrm {beam} }\approx {\cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }\approx {\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {ansikte} }$

och det av facesheets är

$D^{\mathrm {ansikte} }={\cfrac {f^{3}}{12}}~C_{11}^{\ mathrm {ansikte} }$

Balkens skjuvstyvhet ges av

$S^{\mathrm {beam} }=Q_{x}/{\tfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm { d} x}}$

Därför är balkens skjuvstyvhet, som är lika med kärnans skjuvstyvhet,

$S^{\mathrm {beam} }=S^{\mathrm {core} }={ \cfrac {\kappa (2h+f)}{2}}~C_{55}^{\mathrm {core} }$

Samband mellan böjning och skjuvning

Ett samband kan erhållas mellan böjnings- och skjuvavböjningarna genom att använda kontinuiteten i dragkrafterna mellan kärnan och ytskikten. Om vi ​​likställer dragningarna direkt får vi

$n_{x}~\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=n_{z}~\sigma _ {zx}^{\mathrm {kärna} }$

Vid båda facesheet-kärngränssnitten $n_{x}=1$ men överst på kärnan $n_{z}=1$ och längst ner på kärnan $n_{z}=-1$ . Därför leder dragkontinuitet vid ${\displaystyle z=\pm h} till$

$2fh~C_{11}^{\mathrm {ansikte} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}} -(2h+f)~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=4h^{2}~ C_{11}^{\mathrm {ansikte} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}$

Ovanstående relation används sällan på grund av närvaron av andraderivator av skjuvavböjningen. Istället antas det

$n_{z}~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }={\cfrac {\mathrm { d} N_{xx}^{\mathrm {ansikte} }}{\mathrm {d} x}}$

vilket innebär det

${\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\ mathrm {d} x}}=-2fh~\left({\cfrac {C_{11}^{\mathrm {face} }}{C_{55}^{\mathrm {core} }}}\right)~ {\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{b}}{\mathrm {d} x^{3}}}$

Styrande ekvationer

Med användning av ovanstående definitioner är de styrande balansekvationerna för böjmomentet och skjuvkraften

${\begin{aligned}M&=D^{\mathrm {beam} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{ \mathrm {d} x^{2}}}-\left(D^{\mathrm {beam} }+2D^{\mathrm {face} }\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{ 2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\\Q&=S^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d } x}}-2D^{\mathrm {ansikte} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}\end{aligned}}$

Vi kan alternativt uttrycka ovanstående som två ekvationer som kan lösas för $w$ och $w_{s}$ som

${\begin{aligned}&\left({\ frac {2D^{\mathrm {ansikte} }}{S^{\mathrm {kärna} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^ {4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {ansikte} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^ {2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\left({\cfrac {1}{S^{\mathrm {core} }}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} x}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}\\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam } }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{s}}{\mathrm {d} x^{3}}}- \left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {ansikte} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\ mathrm {d} x}}-{\cfrac {1}{S^{\mathrm {core} }}}~{\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}=-\ vänster(1+{\cfrac {D^{\mathrm {balk} }}{2D^{\mathrm {ansikte} }}}\höger){\frac {Q}{S^{\mathrm {kärna} }} }\,\end{aligned}}$

Med hjälp av uppskattningarna

$Q\approx {\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}~;~~q\approx {\cfrac {\mathrm {d} Q} {\mathrm {d} x}}$

där $q$ är intensiteten för den applicerade belastningen på balken, vi har

${\begin{aligned}&\left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm { kärna} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\ mathrm {ansikte} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}= {\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}\\&\left({\frac {D^{ \mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{s}}{\mathrm {d} x^{3 }}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} w_{s }}{\mathrm {d} x}}=-\left({\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q }{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}$

Flera tekniker kan användas för att lösa detta system med två kopplade ordinarie differentialekvationer givet den applicerade belastningen och det applicerade böjmomentet och förskjutningsgränsvillkoren.

Temperaturberoende alternativ form av styrande ekvationer

Om man antar att varje partiellt tvärsnitt uppfyller Bernoullis hypotes , kan balansen av krafter och moment på det deformerade sandwichbalkelementet användas för att härleda böjningsekvationen för sandwichbalken.

Figur 1 - Utjämning av en avböjd sandwichbalk under temperaturbelastning och belastning i jämförelse med det icke avböjda tvärsnittet

Spänningsresultaten och motsvarande deformationer av balken och tvärsnittet kan ses i figur 1. Följande samband kan härledas med hjälp av teorin om linjär elasticitet :

${\begin{aligned}M^ {\mathrm {core} }&=D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma _{2}}{\mathrm {d} x}}+\vartheta \ höger)=D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} x}}-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2} w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\vartheta \right)\\M^{\mathrm {ansikte} }&=-D^{\mathrm {ansikte} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\\Q^{\mathrm {core} }&=S^{\mathrm {core} }\gamma \\Q^ {\mathrm {ansikte} }&=-D^{\mathrm {ansikte} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}\end{ Justerat}}\,$

var

$w\,$	tvärgående förskjutning av balken
$\gamma \,$	Genomsnittlig skjuvbelastning i smörgåsen	$\gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}\,$
$\gamma _{1}\,$	Rotation av facesheets	$\gamma _{1}={\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}\,$
$\gamma _{2}\,$	Skjuvtöjning i kärnan
$M^{\mathrm {core} }\,$	Böjmoment i kärnan
$D^{\mathrm {beam} }\,$	Böjstyvhet hos sandwichbalken
$M^{\mathrm {ansikte} }\,$	Böjmoment i ansiktsbladen
$D^{\mathrm {ansikte} }\,$	Böjstyvhet av ansiktsark
$Q^{\mathrm {core} }\,$	Skjuvkraft i kärnan
$Q^{\mathrm {ansikte} }\,$	Skjuvkraft i facesheets
$S^{\mathrm {core} }\,$	Skjuvstyvhet hos kärnan
$\vartheta \,$	Ytterligare böjning till följd av temperaturfall	$\vartheta ={\frac {\alpha (T_{o}-T_{u})}{e}}\,$
$\alpha \,$	Temperaturkoefficienten för expansion av konveringarna

Superposition av ekvationerna för facesheets och kärnan leder till följande ekvationer för den totala skjuvkraften $Q$ och det totala böjmomentet $M$ :

${\begin{alignedat}{3}&S^{\mathrm {core} }\gamma -D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}=Q&\quad \quad &(1)\\&D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac { \mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} x}}+\vartheta \right)-\left(D^{\mathrm {beam} }+D^{\mathrm {ansikte} }\right){ \cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=M&\quad \quad &(2)\,\end{alignedat}}$

Vi kan alternativt uttrycka ovanstående som två ekvationer som kan lösas för $w$ och ${\displaystyle \gamma } ,$ dvs.

${\begin{aligned}&\left({\frac {D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right ){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {ansikte} }}{ D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{ D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}-\vartheta \\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam } }}{S^{\mathrm {kärna} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\gamma }{\mathrm {d} x^{2}}}-\vänster (1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{D^{\mathrm {face} }}}\höger)\gamma =-\left({\cfrac {D^{\mathrm {beam } }}{D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}$

Lösning närmar sig

Skjuv- och böjdeformation av en sandwich-kompositbalk.

Böjningsbeteendet och spänningarna i en kontinuerlig sandwichbalk kan beräknas genom att lösa de två styrande differentialekvationerna.

Analytiskt förhållningssätt

För enkla geometrier såsom balkar med dubbla spann under likformigt fördelade laster kan de styrande ekvationerna lösas genom att använda lämpliga randvillkor och använda superpositionsprincipen. Sådana resultat anges i standarden DIN EN 14509:2006 (tabell E10.1). Energimetoder kan också användas för att beräkna lösningar direkt.

Numeriskt tillvägagångssätt

Differentialekvationen för sandwich-kontinuerliga strålar kan lösas genom att använda numeriska metoder som finita skillnader och finita element . För ändliga skillnader rekommenderar Berner ett tillvägagångssätt i två steg. Efter att ha löst differentialekvationen för normalkrafterna i täckplåtarna för en enspännsbalk under en given belastning, kan energimetoden användas för att utöka tillvägagångssättet för beräkning av flerspansbalkar. Sandwich genomgående balk med flexibla täckplåtar kan också läggas ovanpå varandra vid användning av denna teknik. Balkens tvärsnitt måste dock vara konstant över spännvidden.

Ett mer specialiserat tillvägagångssätt som rekommenderas av Schwarze innebär att lösa den homogena delen av den styrande ekvationen exakt och för den specifika delen ungefär. Kom ihåg att den styrande ekvationen för en sandwichbalk är

$\left({\frac {2D^{\mathrm {ansikte} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^ {4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {ansikte} }}{D^{\mathrm {beam} }}} \right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}} -{\cfrac {q}{S^{\mathrm {kärna} }}}$

Om vi ​​definierar

$\alpha :={\cfrac {2D^{\mathrm {ansikte} }}{D^{\mathrm {beam} }}}~;~~\ beta :={\cfrac {2D^{\mathrm {ansikte} }}{S^{\mathrm {kärna} }}}~;~~W(x):={\cfrac {\mathrm {d} ^{ 2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}$

vi får

${\cfrac {\mathrm {d} ^{2}W}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left({\cfrac {1+\alpha }{\beta }}\right)~W={\frac {M}{\beta D^{\mathrm {beam } }}}-{\cfrac {q}{D^{\mathrm {ansikte} }}}$

Schwarze använder den allmänna lösningen för den homogena delen av ovanstående ekvation och en polynomapproximation för den specifika lösningen för sektioner av en sandwichbalk. Gränssnitt mellan sektioner knyts samman genom att matcha randvillkor. Detta tillvägagångssätt har använts i den öppna källkoden swe2 .

Praktisk betydelse

Resultat som förutspåtts av linjär sandwichteori korrelerar väl med de experimentellt bestämda resultaten. Teorin används som underlag för den strukturredovisning som behövs för uppförande av stora industri- och kommersiella byggnader som är klädda med sandwichpaneler . Dess användning krävs uttryckligen för godkännanden och i relevanta tekniska standarder.

Mohammed Rahif Hakmi och andra har undersökt numeriskt, experimentellt beteende hos material och brand- och sprängbeteende hos kompositmaterial . Han publicerade flera forskningsartiklar:

• Lokal knäckning av sandwichpaneler .
• Ansiktsböjningsspänning i sandwichpaneler .
• Uppförande efter buckling av skumfyllda tunnväggiga stålbalkar.
• "Brandbeständighet hos kompositgolv med en modellbrandtestanläggning"
• Brandsäkra sandwichpaneler för offshorekonstruktioner sandwichpaneler .
• Numerisk temperaturanalys av hygroskopiska paneler exponerade för brand.
• Kostnadseffektiv användning av fiberförstärkta kompositer offshore.

Hakmi utvecklade en designmetod som hade rekommenderats av CIB Working Commission W056 Sandwich Panels, ECCS/CIB Joint Committee och har använts i de europeiska rekommendationerna för design av sandwichpaneler (CIB, 2000).

Se även

• Böjning
• Strålteori
• Komposit material
• Hill avkastningskriterium
• Sandwichstrukturerad komposit
• Smörgås tallrik system
• Komposit bikaka
• Timosjenko strålteori
• Plåtteori
• Smörgåspanel

Bibliografi

• Mohammed Rahif Hakmi
• Klaus Berner, Oliver Raabe: Bemessung von Sandwichbauteilen . IFBS-Schrift 5.08, IFBS eV , Düsseldorf 2006.
•   Ralf Möller, Hans Pöter, Knut Schwarze: Planen und Bauen mit Trapezprofilen und Sandwichelementen . Band 1, Ernst & Sohn, Berlin 2004, ISBN 3-433-01595-3 .

externa länkar

• Mohammed Rahif Hakmi Forskning för smörgåspaneler
• Institutet för smörgåsteknik
• https://web.archive.org/web/20081120190919/http://www.diabgroup.com/europe/literature/e_pdf_files/man_pdf/sandwich_hb.pdf DIAB Sandwich Handbook
• http://www.swe1.com Program zur Ermittlung der Schnittgrössen och Spannungen von Sandwich-Wandplatten mit biegeweichen Deckschichten (Öppen källkod)
• http://www.swe2.com Beräkning av sandwichbalkar med korrugerade ytor (Öppen källkod)