Johnson–Holmquist skademodell

Inom solid mekanik används Johnson-Holmquists skademodell för att modellera det mekaniska beteendet hos skadade spröda material, såsom keramik , stenar och betong , över en rad töjningshastigheter . Sådana material har vanligtvis hög tryckhållfasthet men låg draghållfasthet och tenderar att uppvisa progressiv skada under belastning på grund av tillväxten av mikrofrakturer .

Det finns två varianter av Johnson-Holmquist-modellen som används för att modellera slagprestandan hos keramik under ballistiskt levererade laster. Dessa modeller utvecklades av Gordon R. Johnson och Timothy J. Holmquist på 1990-talet med syftet att underlätta prediktiva numeriska simuleringar av ballistisk pansarpenetrering. Den första versionen av modellen kallas 1992 års Johnson-Holmquist 1 (JH-1) modell. Denna originalversion utvecklades för att ta hänsyn till stora deformationer men tog inte hänsyn till progressiv skada med ökande deformation; även om spännings-töjningskurvorna med flera segment i modellen kan tolkas som att de implicit införlivar skada. Den andra versionen, utvecklad 1994, inkorporerade en skadeutvecklingsregel och kallas Johnson-Holmquist 2 (JH-2)-modellen eller, mer exakt, Johnson-Holmquists skadematerialmodell.

Johnson-Holmquist 2 (JH-2) materialmodell

Johnson-Holmquists materialmodell (JH-2), med skador, är användbar vid modellering av spröda material, såsom keramik, som utsätts för stora tryck, skjuvtöjningar och höga töjningshastigheter. Modellen försöker inkludera de fenomen som uppstår när spröda material utsätts för belastning och skador, och är en av de mest använda modellerna när det gäller ballistisk påverkan på keramik. Modellen simulerar ökningen i hållfasthet som visas av keramik som utsätts för hydrostatiskt tryck samt minskningen i styrka som visas av skadad keramik. Detta görs genom att basera modellen på två uppsättningar kurvor som plottar flytspänningen mot trycket. Den första uppsättningen kurvor står för det intakta materialet, medan den andra står för det misslyckade materialet. Varje kurvuppsättning beror på plasttöjningen och plasttöjningshastigheten. En skadevariabel D står för frakturnivån.

Intakt elastiskt beteende

JH-2-materialet förutsätter att materialet initialt är elastiskt och isotropiskt och kan beskrivas genom en formrelation (summation antyds över upprepade index)

\sigma _{ij}=-p(\epsilon _{kk})~\delta _{ij}+2~ \mu ~\epsilon _{ij}

där $\sigma _{ij}$ är ett spänningsmått , $p(\epsilon _{kk})$ är en tillståndsekvation för trycket, $\delta _{ij}$ är Kronecker-deltat , $\epsilon _{ij}$ är ett töjningsmått som är energikonjugerat till $\sigma _{ij}$ , och $\mu$ är en skjuvmodul . Kvantiteten $\epsilon _{kk}$ ersätts ofta av den hydrostatiska kompressionen $\xi$ så att tillståndsekvationen uttrycks som

p(\xi )=p(\xi (\epsilon _{kk}))=p\left({\cfrac {\rho }{\rho _{0}}} -1\right)~;~~\xi :={\cfrac {\rho }{\rho _{0}}}-1

där $\rho$ är den aktuella masstätheten och $\rho _{0}$ är den initiala massdensiteten.

Spänningen vid Hugoniots elastiska gräns antas vara given av formens relation

\sigma _{h}={\mathcal {H}}(\rho , \mu )=p_{\rm {HEL}}(\rho )+{\cfrac {2}{3}}~\sigma _{\rm {HEL}}(\rho ,\mu )

där $p_{\rm {HEL}}$ är trycket vid Hugoniotens elastiska gräns och $\sigma _{\rm {HEL}}$ är spänningen vid Hugonioten elastisk gräns.

Intakt materialstyrka

Den enaxliga brotthållfastheten för det intakta materialet antas ges av en formekvation

\sigma _{\rm {intakt}}^{*}= A~(p^{*}+T^{*})^{n}~\left[1+C~\ln \left({\cfrac {d\epsilon _{p}}{dt}}\right )\höger]

där $A,C,n$ är materialkonstanter, $t$ är tiden, $\epsilon _{p}$ är den oelastiska töjningen. Den oelastiska töjningshastigheten normaliseras vanligtvis med en referenstöjningshastighet för att ta bort tidsberoendet. Referenstöjningshastigheten är i allmänhet 1/s.

Storheterna $\sigma ^{*}$ och $p^{*}$ är normaliserade spänningar och $T^{*}$ är ett normaliserat hydrostatiskt dragtryck, definierat som

\sigma ^{*}={\cfrac {\sigma }{\sigma _{\rm {HEL}}}}~;~p^{*}={\cfrac {p}{p_{\rm {HEL}}}}~;~~T^{*}={\cfrac {T}{p_{\rm {HEL}}}}

Stress vid fullständig fraktur

Den enaxliga spänningen vid fullständig brott antas vara given av

\sigma _{\rm {fraktur}}^{*}=B ~(p^{*})^{m}~\left[1+C~\ln \left({\cfrac {d\epsilon _{p}}{dt}}\right)\right]

där $B,C,m$ är materialkonstanter.

Aktuell materialstyrka

Materialets enaxliga hållfasthet vid ett givet skadetillstånd beräknas sedan vid en linjär interpolation mellan den initiala styrkan och spänningen för fullständigt brott, och ges av

\sigma ^{*}=\sigma _{ \rm {initial}}^{*}-D~\left(\sigma _{\rm {initial}}^{*}-\sigma _{\rm {fracture}}^{*}\right)

Kvantiteten $D$ är en skalär variabel som indikerar skadeackumulering.

Skadeutvecklingsregel

Utvecklingen av skadevariabeln $D$ ges av

{\cfrac {dD}{dt}}={\cfrac {1}{\epsilon _{f}}}~{\cfrac {d\epsilon _{p}}{dt}}

där belastningen till fel $\epsilon _{f}$ antas vara

\epsilon _{f}=D_{1}~(p^{*}+T^{*})^{D_{2}}

där $D_{1},D_{2}$ är materialkonstanter.

Materialparametrar för viss keramik

material	$\rho _{0}$	$\mu$	A	B	C	m	n	$D_{1}$	$D_{2}$	$\sigma _{h}$
	(kg-m ⁻³ )	(GPa)								(GPa)
Borkarbid $B_{4}C$	2510	197	0,927	0,7	0,005	0,85	0,67	0,001	0,5	19
Kiselkarbid $SiC$	3163	183	0,96	0,35	0	1	0,65	0,48	0,48	14.6
Aluminiumnitrid $AlN$	3226	127	0,85	0,31	0,013	0,21	0,29	0,02	1,85	9
Aluminiumoxid $Al_{2}O_{3}$	3700	90	0,93	0,31	0	0,6	0,6	0,005	1	2.8
Silicafloat glas	2530	30	0,93	0,088	0,003	0,35	0,77	0,053	0,85	6

Johnson–Holmquists statsekvation

Funktionen $p(\xi )$ som används i Johnson–Holmquists materialmodell kallas ofta för Johnson–Holmquists tillståndsekvation och har formen

p(\xi )={\begin{cases}k_{1}~\xi + k_{2}~\xi ^{2}+k_{3}~\xi ^{3}+\Delta p&\qquad {\text{Kompression}}\\k_{1}~\xi &\qquad {\ text{Tension}}\end{cases}}

där $\Delta p$ är ett inkrement i trycket och $k_{1},k_{2},k_{3}$ är materialkonstanter. Ökningen i tryck härrör från omvandlingen av energiförlust på grund av skada till intern energi. Friktionseffekter försummas.

Implementering i LS-DYNA

Johnson-Holmquists materialmodell är implementerad i LS-DYNA som *MAT_JOHNSON_HOLMQUIST_CERAMICS.

Implementering i IMPETUS Afea Solver

Johnson-Holmquists materialmodell är implementerad i IMPETUS Afea Solver som * MAT_JH_CERAMIC.

Se även