Locus (matematik)

För annan användning, se Locus (disambiguation) .

Varje kurva i detta exempel är ett lokus definierat som konchoiden för punkten P och linjen l . I det här exemplet P 8 cm från l .

Inom geometri är ett lokus (plural: loci ) (latinska ord för "plats", "plats") en uppsättning av alla punkter (vanligtvis en linje , ett linjesegment , en kurva eller en yta ), vars läge uppfyller eller är bestäms av ett eller flera angivna villkor.

Uppsättningen av de punkter som uppfyller vissa egenskaper kallas ofta platsen för en punkt som uppfyller denna egenskap. Användningen av singular i denna formulering är ett vittne om att matematiker fram till slutet av 1800-talet inte övervägde oändliga mängder. Istället för att se linjer och kurvor som uppsättningar av punkter, såg de dem som platser där en punkt kan finnas eller kan röra sig.

Historia och filosofi

Fram till början av 1900-talet betraktades inte en geometrisk form (till exempel en kurva) som en oändlig uppsättning punkter; snarare betraktades det som en enhet på vilken en punkt kan vara belägen eller på vilken den rör sig. definierades en cirkel i det euklidiska planet som platsen för en punkt som är på ett givet avstånd från en fast punkt, cirkelns mittpunkt. I modern matematik omformuleras liknande begrepp oftare genom att beskriva former som mängder; man säger till exempel att cirkeln är den uppsättning punkter som är på ett givet avstånd från mitten.

I motsats till den mängdteoretiska synen undviker den gamla formuleringen att betrakta oändliga samlingar, eftersom att undvika det faktiska oändliga var en viktig filosofisk ståndpunkt för tidigare matematiker.

När väl mängdteorin blev den universella basen som hela matematiken är uppbyggd på, blev termen locus ganska gammaldags. Ändå används ordet fortfarande flitigt, främst för en kortfattad formulering, till exempel:

• Kritiskt lokus , uppsättningen av de kritiska punkterna för en differentierbar funktion .
• Nolllokus eller försvinnande locus , uppsättningen punkter där en funktion försvinner, genom att den tar värdet noll.
• Singular locus , uppsättningen av singularpunkterna för en algebraisk variant .
• Connectedness locus , delmängden av parameteruppsättningen av en familj av rationella funktioner som Julia-uppsättningen av funktionen är kopplad till.

På senare tid har tekniker som teorin om scheman , och användningen av kategoriteori istället för mängdteori för att ge en grund till matematik, återgått till begrepp som mer liknar den ursprungliga definitionen av ett lokus som ett objekt i sig snarare än som en mängd. poäng.

Exempel i plan geometri

Exempel från plangeometri inkluderar:

• Uppsättningen av punkter på samma avstånd från två punkter är en vinkelrät halveringslinje till linjesegmentet som förbinder de två punkterna.
• Uppsättningen av punkter på samma avstånd från två linjer som korsar är vinkelhalveringslinjen .
• Alla koniska sektioner är loci:
  • Cirkel : den uppsättning punkter för vilka avståndet från en enda punkt är konstant (radien ) .
  • Parabel : uppsättningen punkter på samma avstånd från en fast punkt ( fokus ) och en linje (riktlinjen ) .
  • Hyperbel : uppsättningen punkter för var och en av vilka det absoluta värdet av skillnaden mellan avstånden till två givna brännpunkter är en konstant.
  • Ellips : uppsättningen punkter för var och en av vilka summan av avstånden till två givna brännpunkter är en konstant

Andra exempel på loci förekommer inom olika områden av matematiken. Till exempel, i komplex dynamik är Mandelbrot -uppsättningen en delmängd av det komplexa planet som kan karakteriseras som kopplingspunkten för en familj av polynomkartor.

Bevis på ett lokus

För att bevisa att en geometrisk form är det korrekta stället för en given uppsättning villkor, delar man generellt in beviset i två steg: beviset att alla punkter som uppfyller villkoren finns på den givna formen, och beviset att alla punkter på given form uppfyller villkoren.

Exempel

(avstånd PA ) = 3.(avstånd PB )

Första exemplet

Hitta platsen för en punkt P som har ett givet förhållande mellan avstånden k = d ₁ / d ₂ till två givna punkter.

I detta exempel är k = 3, A (−1, 0) och B (0, 2) valda som fixpunkter.

P ( x , y ) är en punkt på platsen

$\Leftrightarrow |PA|=3|PB|$

$\Leftrightarrow |PA|^{2}=9|PB|^{2}$

$\Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}$

$\Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0$

$\Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{8}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {9}{4}}\right)^{2} ={\frac {45}{64}}.$

Denna ekvation representerar en cirkel med centrum (1/8, 9/4) och radie ${\tfrac {3}{8}}{\sqrt {5}}$ . Det är Apollonius cirkel som definieras av dessa värden på k , A och B .

Andra exemplet

Plats för punkt C

En triangel ABC har en fast sida [ AB ] med längden c . Bestäm platsen för den tredje vertexen C så att medianerna från A och C är ortogonala .

Välj ett ortonormalt koordinatsystem så att A (− c /2, 0), B ( c /2, 0). C ( x , y ) är den variabla tredje vertexen. Mitten av [ BC ] är M ((2 x + c )/4, y /2). Medianen från C har en lutning y / x . Medianen AM har lutning 2 y /(2 x + 3 c ).

Platsen är en cirkel

C ( x , y ) är en punkt på lokuset

$\Leftrightarrow$ medianerna från A och C är ortogonala

$\Leftrightarrow {\frac { y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}}=-1$

$\Leftrightarrow 2y^{2}+2x^ {2}+3cx=0$

$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0$

$\Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16.$

Platsen för vertex C är en cirkel med centrum (−3 c /4, 0) och radie 3 c /4.

Tredje exemplet

Skärningspunkten för de associerade linjerna k och l beskriver cirkeln

Ett lokus kan också definieras av två associerade kurvor beroende på en gemensam parameter . Om parametern varierar, beskriver skärningspunkterna för de tillhörande kurvorna platsen.

I figuren är punkterna K och L fixpunkter på en given linje m . Linjen k är en variabel linje genom K . Linjen l till L är vinkelrät mot k . Vinkeln $\alpha$ mellan k och m är parametern. k och l är associerade linjer beroende på den gemensamma parametern. Den variabla skärningspunkten S för k och l beskriver en cirkel. Denna cirkel är platsen för skärningspunkten för de två associerade linjerna.

Fjärde exemplet

Ett ställe av punkter behöver inte vara endimensionellt (som en cirkel, linje, etc.). Till exempel är platsen för olikheten 2 x + 3 y – 6 < 0 den del av planet som är under ekvationslinjen 2 x + 3 y – 6 = 0 .

Se även

• Algebraisk variation
• Kurva
• Linje (geometri)
• Set-builder notation
• Form (geometri)