Volterra integralekvation

Inom matematiken är Volterra -integralekvationerna en speciell typ av integralekvationer . De är indelade i två grupper som kallas den första och den andra typen.

En linjär Volterra-ekvation av det första slaget är

$f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s) \,ds$

där f är en given funktion och x är en okänd funktion som ska lösas för. En linjär Volterra-ekvation av det andra slaget är

$x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds.$

I operatorteorin , och i Fredholmsteorin , kallas motsvarande operatorer för Volterra-operatorer . En användbar metod för att lösa sådana ekvationer, Adomian-nedbrytningsmetoden , beror på George Adomian .

En linjär Volterra-integralekvation är en faltningsekvation om

$x(t)=f(t)+\int _{t_{0}}^{t}K(ts)x(s)\,ds.$

Funktionen $K$ i integralen kallas kärnan . Sådana ekvationer kan analyseras och lösas med hjälp av Laplace-transformtekniker .

För en svagt singular kärna av formen $K(t,s)=(t^{2}-s^{2})^{- \alpha }$ med $0<\alpha <1$ , Volterra-integralekvationen av det första slaget kan bekvämt omvandlas till en klassisk Abel-integralekvation.

Volterras integralekvationer introducerades av Vito Volterra och studerades sedan av Traian Lalescu i hans avhandling från 1908, Sur les équations de Volterra , skriven under ledning av Émile Picard . 1911 skrev Lalescu den första boken någonsin om integralekvationer.

Volterra integralekvationer finner tillämpning i demografi som Lotkas integralekvation , studiet av viskoelastiska material, i aktuariella vetenskapen genom förnyelseekvationen och i vätskemekanik för att beskriva flödesbeteendet nära gränser av ändlig storlek.

Omvandling av Volterra-ekvationen av det första slaget till det andra slaget

En linjär Volterra-ekvation av det första slaget kan alltid reduceras till en linjär Volterra-ekvation av det andra slaget, förutsatt att $K(t,t)\neq 0$ . Att ta derivatan av den första sortens Volterra-ekvation ger oss:

$${df \over {dt}}=\int _{a}^{t }{\partial K \över {\partial t}}x(s)ds+K(t,t)x(t)$$

Genom att dividera med $K(t,t)$ ger:

$$x(t)={1 \over { K(t,t)}}{df \over {dt}}-\int _{a}^{t}{1 \over {K(t,t)}}{\partial K \over {\partial t }}x(s)ds$$

Definiera ${\textstyle {\widetilde {f}}(t)={1 \over {K(t,t)}}{df \over { dt}}}$ och ${\textstil {\widetilde {K}}(t,s)=-{1 \över {K(t ,t)}}{\partial K \over {\partial t}}}$ fullbordar transformationen av den första sortens ekvation till en linjär Volterra-ekvation av den andra sorten.

Numerisk lösning med trapetsregel

En standardmetod för att beräkna den numeriska lösningen av en linjär Volterra-ekvation av det andra slaget är trapetsregeln , som för jämnt fördelade delintervall $\Delta x$ ges av:

$$\int _{a}^{ b}f(x)dx\approx {\Delta x \över {2}}\left[f(x_{0})+2\summa _{i=1}^{n-1}f(x_{i })+f(x_{n})\höger]$$

Om man antar lika avstånd för delintervallen, kan integralkomponenten i Volterra-ekvationen approximeras med:

$$\int _{a}^{t}K(t,s)x(s) )ds\approx {\Delta s \över {2}}\left[K(t,s_{0})x(s_{0})+2K(t,s_{1})x(s_{1}) +\cdots +2K(t,s_{n-1})x(s_{n-1})+K(t,s_{n})x(s_{n})\höger]$$

Definiera $x_{i}=x(s_{i})$ , $f_{i}=f(t_{i})$ , och ${\displaystyle K_{ij}=K(t_{i},s_{j})} ,$ har vi systemet med linjära ekvationer:

$${\begin{aligned}x_{ 0}&=f_{0}\\x_{1}&=f_{1}+{\Delta s \över {2}}\left(K_{10}x_{0}+K_{11}x_{1 }\right)\\x_{2}&=f_{2}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{20}x_{0}+2K_{21}x_{1}+K_{ 22}x_{2}\right)\\&\vdots \\x_{n}&=f_{n}+{\Delta s \över {2}}\left(K_{n0}x_{0}+2K_ {n1}x_{1}+\cdots +2K_{n,n-1}x_{n-1}+K_{nn}x_{n}\right)\end{aligned}}$$

Detta motsvarar matrisekvationen :

$$x=f+Mx\implies x=(IM)^{-1}f$$

För väluppfostrade kärnor tenderar den trapetsformade regeln att fungera bra.

Tillämpning: Ruinteori

Ett område där Volterras integralekvationer förekommer är i ruin-teorin , studien av risken för insolvens inom försäkringsteknisk vetenskap. Målet är att kvantifiera sannolikheten för ruin ${\displaystyle \psi (u)=\mathbb {P} [\tau (u)<\infty ]} ,$ där $u$ är det initiala överskottet och $\tau (u)$ är tiden för ruin. I den klassiska ruinteorinmodellen är nettokassapositionen $X_{t}$ en funktion av det initiala överskottet, premieinkomst intjänad till kursen $c$ och utgående fordringar $\ xi$ :

$$X_{t}=u+ct-\summa _{i=1}^{N_{t}}\xi _{ i},\quad t\geq 0$$

där $N_{t}$ är en Poisson-process för antalet anspråk med intensiteten $\lambda$ . Under dessa omständigheter kan ruinsannolikheten representeras av en Volterra-integralekvation av formen:

$$\psi (u)={\lambda \over {c} }\int _{u}^{\infty }S(x)dx+{\lambda \over {c}}\int _{0}^{u}\psi (ux)S(x)dx$$

där $S(\cdot )$ är anspråksfördelningens överlevnadsfunktion .

Se även

• Fredholms integralekvation
• Integralekvation
• Integro-differentialekvation

Vidare läsning

• Traian Lalescu, Introduktion à la théorie des équations intégrales. Avec une preface de É. Picard , Paris : A. Hermann et Fils, 1912. VII + 152 s.
• "Volterra equation" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Volterra Integral Equation of the First Kind" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Volterra Integral Equation of the Second Kind" . MathWorld .
• Integralakvationer: Exakta lösningar på EqWorld: The World of Mathematical Equations
•   Tryck, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Avsnitt 19.2. Volterra-ekvationer" . Numeriska recept: The Art of Scientific Computing (3:e upplagan). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8 .

externa länkar

• IntEQ: ett Python-paket för att numeriskt lösa Volterra-integralekvationer