Tangloider

Tangloids är ett matematiskt spel för två spelare skapat av Piet Hein för att modellera spinorernas kalkyler .

Tangloidapparater

En beskrivning av spelet dök upp i boken "Martin Gardners nya matematiska avledningar från Scientific American" av Martin Gardner från 1996 i ett avsnitt om flätningens matematik .

Två platta träblock vardera genomborrade med tre små hål är sammanfogade med tre parallella strängar. Varje spelare håller ett av träblocken. Den första spelaren håller kvar ett träblock, medan den andra spelaren roterar det andra träblocket i två hela varv. Rotationsplanet är vinkelrätt mot strängarna när de inte är trassliga. Strängarna överlappar nu varandra. Sedan försöker den första spelaren reda ut strängarna utan att rotera någon av träbitarna. Endast translationer (flytta bitarna utan att rotera) är tillåtna. Efteråt byter spelarna om roller; Den som snabbast kan lösa strängarna vinner. Prova det med bara ett varv. Snörena överlappar såklart igen men de kan inte trasslas ur utan att rotera en av de två träklossarna.

Det balinesiska kopptricket , som förekommer i den balinesiska ljusdansen , är en annan illustration av samma matematiska idé. Antivridningsmekanismen är avsedd att undvika sådana orienteringsförvecklingar . En matematisk tolkning av dessa idéer finns i artikeln om kvaternioner och rumslig rotation .

Matematisk artikulation

Detta spel tjänar till att förtydliga uppfattningen att rotationer i rymden har egenskaper som inte kan förklaras intuitivt genom att endast beakta rotationen av ett enstaka styvt föremål i rymden. Rotationen av vektorer omfattar inte alla egenskaperna hos den abstrakta modellen av rotationer som ges av rotationsgruppen . Egenskapen som illustreras i detta spel kallas formellt i matematik som " dubbeltäckning av SO(3) av SU(2) ". Detta abstrakta koncept kan grovt skissas enligt följande.

Rotationer i tre dimensioner kan uttryckas som 3x3 matriser , ett block av tal, vardera ett för x,y,z. Om man betraktar godtyckligt små rotationer, leder man till slutsatsen att rotationer bildar ett mellanslag , i och med att om varje rotation är tänkt som en punkt , så finns det alltid andra närliggande punkter, andra närliggande rotationer som skiljer sig endast med en liten mängd. I små stadsdelar liknar denna samling av närliggande punkter det euklidiska rummet . I själva verket liknar det tredimensionellt euklidiskt rum, eftersom det finns tre olika möjliga riktningar för oändliga rotationer: x, y och z. Detta beskriver på rätt sätt strukturen för rotationsgruppen i små stadsdelar. För sekvenser av stora rotationer går dock denna modell sönder; att till exempel svänga höger och sedan lägga sig är inte detsamma som att lägga sig först och sedan svänga höger. Även om rotationsgruppen har strukturen för 3D-rymd i liten skala, är det inte dess struktur i stor skala. System som beter sig som det euklidiska rymden i liten skala, men som möjligen har en mer komplicerad global struktur kallas för grenrör . Kända exempel på grenrör inkluderar sfärerna : globalt sett är de runda, men lokalt känns och ser de platta ut, alltså " plat jord ".

Noggrann undersökning av rotationsgruppen avslöjar att den har strukturen av en 3-sfär $S^{3}$ med motsatta punkter identifierade . Det betyder att för varje rotation finns det faktiskt två olika, distinkta, polära motsatta punkter på 3-sfären som beskriver den rotationen. Detta är vad tangloiderna illustrerar. Illustrationen är faktiskt ganska smart. Föreställ dig att utföra 360 graders rotation en grad i taget, som en uppsättning små steg. Dessa steg tar dig på en väg, på en resa på detta abstrakta mångfald, detta abstrakta utrymme av rotationer. När denna 360 graders resa är klar har man inte kommit tillbaka hem, utan snarare till den motsatta polpunkten. Och man har fastnat där -- man kan faktiskt inte komma tillbaka till där man började förrän man gör en annan, en andra resa på 360 grader.

Strukturen av detta abstrakta utrymme, av en 3-sfär med polära motsatser identifierade, är ganska konstig. Tekniskt sett är det ett projektivt utrymme . Man kan försöka föreställa sig att ta en ballong, släppa ut all luft och sedan limma ihop polära motsatta punkter. Om man gör ett försök i verkliga livet, upptäcker man snart att det inte kan göras globalt. Lokalt, för vilken liten lapp som helst, kan man utföra vänd-och-limma stegen; man kan bara inte göra detta globalt. (Tänk på att ballongen är $S^{2}$ , 2-sfären; det är inte 3-sfären av rotationer.) För att förenkla ytterligare kan man börja med $S^ {1}$ , cirkeln och försök att limma ihop polära motsatser; man får fortfarande en misslyckad röra. Det bästa man kan göra är att dra raka linjer genom origo, och sedan deklarera, genom fiat, att de polära motsatserna är samma punkt. Detta är den grundläggande konstruktionen av alla projektiva utrymmen.

Den så kallade "dubbeltäckningen" syftar på tanken att denna sammanlimning av polära motsatser kan göras ogjort. Detta kan förklaras relativt enkelt, även om det kräver införandet av viss matematisk notation. Det första steget är att blurta ut " Lie algebra ". Detta är ett vektorrum försett med egenskapen att två vektorer kan multipliceras. Detta uppstår eftersom en liten rotation kring x -axeln följt av en liten rotation kring y -axeln inte är detsamma som att vända ordningen på dessa två; de är olika, och skillnaden är en liten rotation längs z -axeln. Formellt kan denna olikhet skrivas som $xy-yx=z$ , med tanke på att x , y och z inte är tal utan infinitesimala rotationer. De pendlar inte .

Man kan då fråga sig, "vad mer beter sig så här?" Tja, uppenbarligen gör 3D-rotationsmatriserna det; trots allt är hela poängen att de korrekt, matematiskt beskriver rotationer i 3D-rymden. Som det händer, men det finns också 2x2, 4x4, 5x5, ... matriser som också har denna egenskap. Man kan rimligtvis fråga "OK, så vad är formen på deras grenrör?". För fallet 2x2 kallas Lie-algebra su(2) och grenröret SU(2) , och ganska märkligt nog är grenröret för SU(2) 3-sfären (men utan projektiv identifiering av polära motsatser) .

Detta gör att man nu kan spela lite av ett trick. Ta en vektor ${\vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ i vanligt 3D-utrymme (vårt fysiskt utrymme) och tillämpa en rotationsmatris $R$ på den. Man får en roterad vektor $R{\vec {v}}$ . Detta är resultatet av att tillämpa en vanlig, "sunt förnuft"-rotation på ${\vec {v}}$ . Men man har också Pauli-matriserna $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ ; dessa är 2x2 komplexa matriser som har Lie algebra-egenskapen att $\sigma _{1}\sigma _{2}-\sigma _{2}\sigma _{ 1}=\sigma _{3}$ och så modellerar dessa $xy-yx=z$ beteendet för oändliga rotationer. Betrakta då produkten ${\vec {\sigma }}\cdot {\vec {v}}=v_{1}\ sigma _{1}+v_{2}\sigma _{2}+v_{3}\sigma _{3}$ . "Dubbeltäckningen" är egenskapen att det inte finns en utan två 2x2 matriser $S$ så att

S^{-1}({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {v}})S=R{\vec { v}}

Här betecknar $S^{-1}$ inversen av $S$ ; det vill säga $S^{-1}S=SS^{-1}=1.$ Matrisen $S$ är ett element i SU( 2), och så för varje matris $R$ i SO(3) finns det två motsvarande $S$ : både $+S$ och $-S$ kommer att göra tricket. Dessa två är de polära motsatserna, och projektionen kokar bara ner till den triviala observationen att $(-1)\ gånger (-1)=+1.$ Tangeloidspelet är tänkt att illustrera att en 360 graders rotation tar en på en väg från $+S$ till $-S$ . Detta är ganska exakt: man kan betrakta en sekvens av små rotationer $R$ och motsvarande rörelse av $S$ ; resultatet ändrar tecken. När det gäller rotationsvinklar $\theta ,$ kommer $R$ -matrisen att ha en $\cos \theta$ i sig, men den matchande $S$ kommer att ha en $\cos \theta /2$ i den. Ytterligare förtydligande kräver att man faktiskt skriver ut dessa formler.

Skissen kan kompletteras med några allmänna anmärkningar. För det första Lie-algebror generiska, och för var och en finns det en eller flera motsvarande Lie-grupper . Inom fysiken beskrivs 3D-rotationer av normala 3D-objekt uppenbarligen av rotationsgruppen , som är en Lie-grupp med 3x3 matriser $R$ . Spinorerna , spin-1/2 -partiklarna, roterar emellertid enligt matriserna $\displaystyle S}$ { i SU(2). 4x4-matriserna beskriver rotationen av spin-3/2-partiklar, och 5x5-matriserna beskriver rotationerna av spin-2-partiklar, och så vidare. Representationen av Lie-grupper och Lie-algebror beskrivs av representationsteori . Spin-1/2-representationen tillhör den grundläggande representationen , och spin-1 är den adjoint-representationen . Begreppet dubbeltäckning som används här är ett generiskt fenomen som beskrivs av täckande kartor . Täckande kartor är i sin tur ett specialfall av fiberbuntar . Klassificeringen av täckande kartor görs via homotopi teori ; i detta fall är det formella uttrycket för dubbeltäckning att säga att grundgruppen är $\pi _{1}(SO(3))=\mathbb { Z} _{2}$ där den täckande gruppen $\mathbb {Z} _{2}=\{+1,-1\}$ bara kodar de två ekvivalenta rotationer $+S$ och $-S$ ovan. I denna mening tillhandahåller rotationsgruppen dörröppningen, nyckeln till riket av stora områden av högre matematik.

Se även

externa länkar

Tangloids , YouTube