Metaplektisk grupp

Inom matematiken är den metaplektiska gruppen Mp _{2 n} en dubbel täckning av den symboliska gruppen Sp _{2 n} . Det kan definieras över antingen reella eller p -adiska tal . Konstruktionen täcker mer generellt fallet med ett godtyckligt lokalt eller ändligt fält , och till och med ringen av adele .

Den metaplektiska gruppen har en särskilt betydelsefull oändlig dimensionell linjär representation , Weil -representationen . Den användes av André Weil för att ge en representationsteoretisk tolkning av thetafunktioner och är viktig i teorin om modulära former av halvintegralvikt och thetakorrespondensen .

Definition

Grundgruppen i den symplektiska Lie-gruppen Sp _2n ( R ) är oändlig cyklisk , så den har ett unikt sammankopplat dubbelhölje, som betecknas Mp 2 _{n (} R ) och kallas den metaplektiska gruppen .

Den metaplektiska gruppen Mp ₂ ( R ) är inte en matrisgrupp : den har inga trogna änddimensionella representationer . Därför är frågan om dess explicita förverkligande icke-trivial. Den har trofasta irreducerbara oändliga dimensionella representationer, såsom Weil-representationen som beskrivs nedan.

Det kan bevisas att om F är något annat lokalt fält än C , då medger den symboliska gruppen Sp _{2 n} ( F ) en unik perfekt central förlängning med kärnan Z /2 Z , den cykliska gruppen av ordning 2, som kallas metaplektisk grupp över F . Det fungerar som en algebraisk ersättning av den topologiska föreställningen om ett dubbelt omslag som används när F = R . Tillvägagångssättet genom begreppet central förlängning är användbart även i fallet med verklig metaplektisk grupp, eftersom det tillåter en beskrivning av gruppens verksamhet via en viss samcykel.

Explicit konstruktion för n = 1

I fallet n = 1 sammanfaller den symboliska gruppen med den speciella linjära gruppen SL ₂ ( R ) . Denna grupp verkar biholomorft på det komplexa övre halvplanet genom fraktionerad-linjära transformationer,

g\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}

där

g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatörsnamn {SL} _{2}(\mathbf {R} )

är en verklig 2-av-2-matris med enhetsdeterminanten och z är i det övre halvplanet, och denna åtgärd kan användas för att explicit konstruera det metaplektiska täcket av SL ₂ ( R ).

Elementen i den metaplektiska gruppen Mp ₂ ( R ) är paren ( g , ε ), där $g\in \operatörsnamn {SL} _{2}(\mathbf {R} )$ och ε är en holomorf funktion på det övre halvplanet så att $\epsilon (z)^{2}=cz+d= j(g,z)$ . Multiplikationslagen definieras av:

(g_{1},\epsilon _{1})\cdot (g_{2},\ epsilon _{2})=(g_{1}g_{2},\epsilon ),

där

\epsilon (z)=\epsilon _{1}(g_{2}\cdot z)\epsilon _{2}(z).

Att denna produkt är väldefinierad följer av samcykelrelationen $j(g_{1}g_{ 2},z)=j(g_{1},g_{2}\cdot z)j(g_{2},z)$ . Kartan

(g,\epsilon )\mapsto g

är en injektion från Mp ₂ ( R ) till SL2 ₍ R ) som inte tillåter en kontinuerlig sektion. Därför har vi konstruerat ett icke-trivialt 2-faldigt omslag av den senare gruppen.

Konstruktion av Weil-representationen

Vi ger först ett ganska abstrakt skäl till varför Weil-representationen existerar. Heisenberggruppen har en irreducerbar enhetlig representation på ett Hilbert-utrymme ${\displaystyle {\mathcal {H}}} ,$ det vill säga,

\rho :\mathbb {H} (V)\longrightarrow U({\mathcal {H}})

med mitten som en given konstant som inte är noll. Stone –von Neumann-satsen säger att denna representation i grunden är unik: om $\rho '$ är en annan sådan representation, finns det en automorfism

\psi \in U({\mathcal {H}})

så att

\rho '=\operatörsnamn {Ad} _{\ psi }(\rho )

.

och den konjugerande automorfismen är projektivt unik, dvs upp till en multiplikationsmodul 1 konstant. Så all automorfism av Heisenberg-gruppen, som inducerar identiteten på mitten, verkar på denna representation ${\displaystyle {\mathcal {H}}} —$ för att vara exakt, handlingen är endast väldefinierad fram till multiplikation med en icke- noll konstant.

Heisenberggruppens automorfismer (som fixerar dess centrum) bildar den symplektiska gruppen , så vid första anblicken verkar detta ge en verkan av den symplektiska gruppen på ${\mathcal {H}}$ . Men handlingen definieras endast fram till multiplikation med en konstant som inte är noll, med andra ord kan man bara mappa gruppens automorfism till klassen [ ψ ] ∈ PU ⁡ ( H ) $\ operatörsnamn {PU} ({\mathcal {H}})}$ . Så vi får bara en homomorfism från den symboliska gruppen till den projektiva enhetsgruppen av ${\mathcal {H}}$ ; med andra ord en projektiv representation . Den allmänna teorin om projektiva representationer gäller då, för att ge en handling av någon central förlängning av den symplektiska gruppen på ${\mathcal {H}}$ . En beräkning visar att denna centrala förlängning kan tas som ett dubbelt omslag, och detta dubbelhölje är den metaplektiska gruppen.

Nu ger vi en mer konkret konstruktion i det enklaste fallet Mp ₂ ( R ). Hilbertrummet H är då rymden för alla L ² -funktioner på realerna. Heisenberggruppen genereras genom översättningar och genom multiplikation med funktionerna e ^ixy av x , för y real. Sedan genereras den metaplektiska gruppens verkan på H av Fouriertransformen och multiplikation med funktionerna exp( ix ² y ) av x , för y real.

Generaliseringar

Weil visade hur man utvidgar teorin ovan genom att ersätta ℝ med någon lokalt kompakt abelsk grupp G , som enligt Pontryagin-dualitet är isomorf till sin dual (teckengruppen). Hilbertrummet H är då rymden för alla L ² -funktioner på G . (analogen av) Heisenberg-gruppen genereras genom översättningar av element i G och multiplikation med element i den dubbla gruppen (betraktas som funktioner från G till enhetscirkeln). Det finns en analog till den symplektiska gruppen som verkar på Heisenberggruppen, och denna handling lyfts till en projektiv representation på H . Motsvarande centrala förlängning av den symplektiska gruppen kallas den metaplektiska gruppen.

Några viktiga exempel på denna konstruktion ges av:

G är ett vektorrum över realerna av dimension n . Detta ger en metaplektisk grupp som är en dubbel täckning av den symboliska gruppen Sp _{2 n} ( R ).
Mer generellt kan G vara ett vektorrum över vilket lokalt fält F som helst med dimension n . Detta ger en metaplektisk grupp som är en dubbel täckning av den symboliska gruppen Sp _{2 n} ( F ).
G är ett vektorrum över adeles i ett talfält (eller globalt fält ). Detta fall används i det representationsteoretiska förhållningssättet till automorfa former .
G är en ändlig grupp. Motsvarande metaplektiska grupp är då också ändlig, och det centrala höljet är trivialt. Detta fall används i teorin om theta-funktioner för gitter, där G vanligtvis är diskriminantgruppen för ett jämnt gitter .
En modern syn på existensen av den linjära (inte projektiva) Weil-representationen över ett ändligt fält, nämligen att den medger en kanonisk Hilbert-rymdförverkligande, föreslogs av David Kazhdan . Genom att använda begreppet kanoniska sammanflätningsoperatorer som föreslagits av Joseph Bernstein , konstruerades en sådan insikt av Gurevich-Hadani.

Se även

Heisenberggruppen
Oscillatorrepresentation
Metaplektisk struktur
Reduktivt dubbelpar
Spin group , ytterligare ett dubbelt omslag
Symplektisk grupp
Theta funktion

Anteckningar

Hur, Roger; Tan, Eng-Chye (1992), Nonabelsk harmonisk analys. Ansökningar från SL(2, R ) , Universitext, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97768-3
Lejon, Gerard; Vergne, Michele (1980), The Weil representation, Maslov index and theta series , Progress in Mathematics, vol. 6, Boston: Birkhäuser
Weil, André (1964), "Sur sures groupes d'opérateurs unitaires", Acta Math. , 111 : 143–211, doi : 10.1007/BF02391012
Gurevich, Shamgar; Hadani, Ronny (2006), "The geometric Weil representation", Selecta Mathematica , New Series, arXiv : math/0610818 , Bibcode : 2006math.....10818G
Gurevich, Shamgar; Hadani, Ronny (2005), Kanonisk kvantisering av symplektiska vektorrum över ändliga fält , arXiv : 0705.4556