Super vektor utrymme

I matematik är ett supervektorutrymme ett $\mathbb {Z} _{2}$ - graderat vektorrum , det vill säga ett vektorrum över ett fält $\mathbb {K}$ med en given nedbrytning av delrum av grad $0$ och grad $1$ . Studiet av supervektorrum och deras generaliseringar kallas ibland superlinjär algebra . Dessa objekt finner sin huvudsakliga tillämpning i teoretisk fysik där de används för att beskriva de olika algebraiska aspekterna av supersymmetri .

Definitioner

Ett supervektorutrymme är ett $\mathbb {Z} _{2}$ -graderat vektorutrymme med sönderdelning

$V=V_{0}\oplus V_{1},\quad 0,1\in \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .$

Vektorer som är element i antingen $V_{0}$ eller $V_{1}$ sägs vara homogena . Pariteten $|x|$ noll, betecknat med | , är $0$ eller $1$ beroende på om det är i $V_{0}$ eller $V_{1}$ ,

$|x|={\begin{cases}0&x\in V_{0}\\1&x\in V_{1}\end{cases}}$

Vektorer med paritet $0$ kallas jämna och de med paritet $1$ kallas udda . I teoretisk fysik kallas de jämna beståndsdelarna ibland Bose-element eller bosonic , och de udda elementen Fermi-element eller fermioniska. Definitioner för supervektorrum ges ofta endast i termer av homogena element och utvidgas sedan till icke-homogena element genom linjäritet.

Om $V$ är ändlig dimensionell och dimensionerna för $V_{0}$ och $V_{1}$ är $displaystyle p}$ \ respektive $q$ , då sägs ${\displaystyle V} ha$ dimensionen $p|q$ . Standardrummet för superkoordinat, betecknat $\mathbb {K} ^{p|q}$ , är det ordinarie koordinatutrymmet $\mathbb {K} ^{p+q}$ där det jämna delutrymmet sträcks av den första $p$ koordinatbasvektorer och det udda utrymmet sträcks över av den sista $q$ .

Ett homogent delrum av ett supervektorrum är ett linjärt delrum som täcks av homogena element. Homogena delrum är supervektorrum i sin egen rätt (med den uppenbara graderingen).

För varje supervektorrymd $V$ , kan man definiera paritetens omvända rymd $\Pi V$ som supervektorrymden med de jämna och udda delrymden utbytta. Det är,

${\begin{aligned}(\Pi V)_{0}&=V_{1},\\(\Pi V)_{1}&=V_{0}.\end{aligned}}$

Linjära transformationer

En homomorfism , en morfism i kategorin supervektorutrymmen, från ett supervektorutrymme till ett annat är en linjär transformation som bevarar betyget . En linjär transformation $f:V\rightarrow W$ mellan supervektorrymden är gradbevarande om

${\displaystyle f(V_{i})\subset W_{i},\quad i=0,1.$

Det vill säga, den mappar de jämna elementen i $V$ till jämna element i $W$ och udda element i $V$ till udda element i $W$ . En isomorfism av supervektorrum är en bijektiv homomorfism. Uppsättningen av alla homomorfismer $V\rightarrow W$ betecknas $\mathrm {Hom} (V,W)$ .

Varje linjär transformation, inte nödvändigtvis gradbevarande, från ett supervektorutrymme till ett annat kan skrivas unikt som summan av en gradbevarande transformation och en gradbevarande transformation – det vill säga en transformation f : $displaystyle f:V\rightarrow W}$ så att

$f(V_{i})\subset W_{1-i},\quad i=0,1.$

Att förklara de gradbevarande transformationerna som jämna och de gradbevarande transformationerna som udda ger utrymmet för alla linjära transformationer från $V}$${ \displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)}$ till $W$ , betecknad och kallas intern $\mathrm {Hom}$ , strukturen för ett supervektorrum. Särskilt,

$\left(\mathbf {Hom} (V,W)\right)_{0}=\mathrm {Hom} (V,W).$

En grad-reverserande transformation från $V$ till $W$ kan betraktas som en homomorfism från $V$ till pariteten omvänd utrymme $\Pi W$ , så att

$\mathbf {Hom} (V,W)=\mathrm {Hom} (V,W)\oplus \mathrm {Hom} (V,\Pi W)=\mathrm {Hom} (V,W)\ oplus \mathrm {Hom} (\Pi V,W).$

Operationer på supervektorutrymmen

De vanliga algebraiska konstruktionerna för vanliga vektorrum har sin motsvarighet i supervektorrumsinställningen.

Dubbelt utrymme

Det dubbla utrymmet $V^{*}$ i ett supervektorutrymme $V$ kan betraktas som ett supervektorrymd genom att ta de jämna funktionalerna till de som försvinner på $V_ {1}$ och de udda funktionerna ska vara de som försvinner på $V_{0}$ . På motsvarande sätt kan man definiera $V^{*}$ som utrymmet för linjära kartor från $V$ till $\mathbb {K} ^{1|0}$ (basfältet $\mathbb {K}$ tänkt som ett rent jämnt supervektorutrymme) med graderingen som ges i föregående avsnitt.

Direkt summa

Direkta summor av supervektorrum konstrueras som i det ograderade fallet med betyget som ges av

$(V\oplus W)_{0}=V_{0}\oplus W_{0},$

$(V\oplus W)_{1}=V_{1}\oplus W_{1}.$

Tensor produkt

Man kan också konstruera tensorprodukter av supervektorrum. Här kommer den additiva strukturen av ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} in i bilden.$ Det underliggande utrymmet är som i det ograderade fallet med betyget som ges av

$(V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{j+k=i}V_{j}\otimes W_ {k},$

där indexen är i $\mathbb {Z} _{2}$ . Specifikt har man

$(V\otimes W)_{0}=(V_{0}\otimes W_{0})\oplus (V_ {1}\otimes W_{1}),$

$(V\otimes W)_{1}=(V_{0}\otimes W_{1})\oplus (V_{1}\otimes W_{0}).$

Supermoduler

Precis som man kan generalisera vektorrum över ett fält till moduler över en kommutativ ring , kan man generalisera supervektorutrymmen över ett fält till supermoduler över en superkommutativ algebra (eller ring).

En vanlig konstruktion när man arbetar med supervektorrum är att förstora skalärfältet till en superkommutativ Grassmann-algebra . Givet ett fält $\mathbb {K}$ låt

$R=\mathbb {K} [\theta _{1},\cdots ,\theta _{N}]$

beteckna Grassmann-algebra som genereras av $N$ antipendling udda element $\theta _{i}$ . Vilken supervektor $V$ som helst över $\mathbb {K}$ kan bäddas in i en modul över $R$ genom att beakta den (graderade) tensorprodukten

$\mathbb {K} [\theta _{1},\cdots ,\theta _{N}]\otimes V.$

Kategorin supervektorutrymmen

Kategorin av supervektorrymder , betecknad med $\mathbb {K} -\mathrm {SVect}$ , är kategorin vars objekt är supervektorrymder (över ett fast fält $\mathbb {K}$ ) och vars morfismer är till och med linjära transformationer (dvs. de gradbevarande).

Det kategoriska tillvägagångssättet för superlinjär algebra är att först formulera definitioner och teorem angående vanliga (ograderade) algebraiska objekt på kategoriteorinspråk och sedan överföra dessa direkt till kategorin supervektorrum. Detta leder till en behandling av "superobjekt" som superalgebras , Lie superalgebras , supergrupper , etc. som är helt analog med deras motsvarigheter utan betyg.

Kategorin $\mathbb {K} -\mathrm {SVect}$ är en monoidal kategori med supertensorprodukten som monoidal produkt och det rent jämna supervektorrummet $\mathbb {K} ^{1|0}$ som enhetsobjekt. Den involutiva flätningsoperatören

$\tau _{V,W}:V\otimes W\rightarrow W\otimes V,$

getts av

$\tau _{V,W}(x\otimes y)=(-1)^{|x||y|}y\otimes x$

på homogena element, gör $\mathbb {K} -\mathrm {SVect}$ till en symmetrisk monoidal kategori . Denna kommutativitetsisomorfism kodar för "teckenregeln" som är väsentlig för superlinjär algebra. Det säger effektivt att ett minustecken plockas upp när två udda element byts ut. Man behöver inte oroa sig för skyltar i den kategoriska miljön så länge som ovanstående operatör används där det är lämpligt.

$\mathbb {K} -\mathrm {SVect}$ är också en sluten monoidal kategori med det interna Hom-objektet , $\mathbf {Hom} (V,W)$ , givet av supervektorrymden för alla linjära kartor från $V$ till $W$ . Den vanliga $\mathrm {Hom}$ uppsättningen $\mathrm {Hom} (V,W)$ är det jämna delutrymmet däri:

$\mathrm {Hom} (V,W)=\mathbf {Hom} (V,W)_{0}.$

Det faktum att $\mathbb {K} -\mathrm {SVect}$ är stängd betyder att funktorn $-\otimes V$ lämnas intill funktorn $\mathrm {Hom} (V,-)$ , givet en naturlig bijektion

$\mathrm {Hom} (U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom} (U,\mathbf {Hom} (V,W)).$

Superalgebra

Huvudartikel: superalgebra

En superalgebra över $\mathbb {K}$ kan beskrivas som ett supervektorrum ${\mathcal {A}}$ med en multiplikationskarta

$\mu :{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}},$

det är en supervektorrymdhomomorfism. Detta motsvarar att kräva

$|ab|=|a|+|b|,\quad a,b\in {\mathcal {A}}$

Associativitet och existensen av en identitet kan uttryckas med de vanliga kommutativa diagrammen, så att en enhetlig associativ superalgebra över $\mathbb {K}$ är en monoid i kategorin $\ mathbb {K} -\mathrm {SVect}$ .

Anteckningar

•   Deligne, P .; Morgan, JW (1999). "Anteckningar om supersymmetri (efter Joseph Bernstein)" . Quantum Fields and Strings: En kurs för matematiker . Vol. 1. American Mathematical Society . s. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5 – via IAS .

•   Varadarajan, VS (2004). Supersymmetri för matematiker: en introduktion . Courant föreläsningsanteckningar i matematik. Vol. 11. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3574-6 .