Moduli (fysik)
I kvantfältteorin används begreppet moduli (eller mer korrekt modulifält ) ibland för att hänvisa till skalära fält vars potentiella energifunktion har kontinuerliga familjer av globala minima. Sådana potentiella funktioner förekommer ofta i supersymmetriska system. Termen "modul" är lånad från matematiken, där den används synonymt med "parameter". Ordet moduli ( Moduln på tyska) förekom första gången 1857 i Bernhard Riemanns hyllade tidning "Theorie der Abel'schen Functionen".
Modulrum i kvantfältteorier
I kvantfältsteorier är det möjliga vakuumet vanligtvis märkt av vakuumförväntningsvärdena för skalära fält, eftersom Lorentz-invarians tvingar vakuumförväntningsvärdena för alla högre spinnfält att försvinna. Dessa vakuumförväntningsvärden kan ta vilket värde som helst för vilket den potentiella funktionen är ett minimum. Följaktligen, när den potentiella funktionen har kontinuerliga familjer av globala minima, är vakuumutrymmet för kvantfältteorin ett grenrör (eller orbifold), vanligtvis kallat vakuumgrenröret . Detta grenrör kallas ofta modulutrymmet för vacua , eller bara modulutrymmet, för kort.
Termen moduli används också inom strängteorin för att hänvisa till olika kontinuerliga parametrar som betecknar möjliga strängbakgrunder : förväntningsvärdet för dilatonfältet , parametrarna (t.ex. radien och komplex struktur) som styr formen på kompakteringsgrenröret, et cetera . Dessa parametrar representeras, i kvantfältteorin som approximerar strängteorin vid låga energier, av vakuumförväntningsvärdena för masslösa skalära fält, som kommer i kontakt med användningen som beskrivs ovan. I strängteorin används termen "moduli space" ofta specifikt för att hänvisa till utrymmet för alla möjliga strängbakgrunder.
Modulrum av supersymmetriska gauge-teorier
I allmänna kvantfältteorier, även om den klassiska potentiella energin minimeras över en stor uppsättning möjliga förväntade värden, är det när kvantkorrigeringar väl har inkluderats så att nästan alla dessa konfigurationer upphör att minimera energin. Resultatet är att kvantteorin generellt sett är mycket mindre än den klassiska teorins . Ett anmärkningsvärt undantag inträffar när de olika vakuumerna i fråga är relaterade till en symmetri som garanterar att deras energinivåer förblir exakt degenererade.
Situationen är mycket annorlunda i supersymmetriska kvantfältsteorier. I allmänhet har dessa stora modulutrymmen av vakuum som inte är relaterade till någon symmetri, till exempel kan massorna av de olika excitationerna skilja sig åt vid olika punkter på modulutrymmet. Modulutrymmena för supersymmetriska gauge-teorier är i allmänhet lättare att beräkna än de för icke-supersymmetriska teorier eftersom supersymmetri begränsar de tillåtna geometrierna för modulutrymmet även när kvantkorrigeringar ingår.
Tillåtna modulrum för 4-dimensionella teorier
Ju mer supersymmetri det finns, desto starkare är begränsningen på vakuumgrenröret. Därför, om en begränsning visas nedan för ett givet antal N av spinorer av överladdningar, gäller den också för alla större värden på N.
N=1 Teorier
Den första begränsningen av ett modulrums geometri hittades 1979 av Bruno Zumino och publicerades i artikeln Supersymmetry and Kähler Manifolds . Han övervägde en N=1-teori i 4-dimensioner med global supersymmetri. N=1 betyder att de fermioniska komponenterna i supersymmetrialgebra kan sättas samman till en enda Majorana- överladdning . De enda skalärerna i en sådan teori är de komplexa skalärerna i de kirala superfälten . Han fann att vakuumgrenröret med tillåtna vakuumförväntningsvärden för dessa skalärer inte bara är komplext utan också ett Kähler-grenrör .
Om gravitation ingår i teorin, så att det finns lokal supersymmetri, så kallas den resulterande teorin för supergravitationsteori och begränsningen av modulrummets geometri blir starkare. Modulrummet måste inte bara vara Kähler, utan även Kähler-formen måste lyftas till integrerad kohomologi . Sådana grenrör kallas Hodge grenrör . Det första exemplet dök upp i 1979 artikeln Spontaneous Symmetry Breaking and Higgs Effect in Supergravity Without Cosmological Constant och det allmänna uttalandet dök upp 3 år senare i Quantization of Newtons Constant in Certain Supergravity Theories .
N=2 Teorier
I utökade 4-dimensionella teorier med N=2 supersymmetri, motsvarande en enda Dirac- spinoröverladdning, är förutsättningarna starkare. N=2 supersymmetrialgebra innehåller två representationer med skalärer, vektormultipletten som innehåller en komplex skalär och hypermultipletten som innehåller två komplexa skalärer. Modulutrymmet för vektormultipletterna kallas Coulomb-grenen medan det för hypermultipletterna kallas Higgs-grenen. Det totala modulutrymmet är lokalt en produkt av dessa två grenar, eftersom icke-renormaliseringssatser antyder att metriken för var och en är oberoende av fälten för den andra multipletten.(Se till exempel Argyres, Non-Perturbative Dynamics Of Four-Dimensional Supersymmetric Field Theories , s. 6–7, för vidare diskussion om den lokala produktstrukturen.)
I fallet med global N=2 supersymmetri, med andra ord i frånvaro av gravitation, är Coulomb-grenen av modulutrymmet ett speciellt Kähler-grenrör. Det första exemplet på denna begränsning dök upp i 1984 års artikel Potentials and Symmetries of General Gauged N=2 Supergravity: Yang-Mills Models av Bernard de Wit och Antoine Van Proeyen, medan en allmän geometrisk beskrivning av den underliggande geometrin, kallad specialgeometri, var presenteras av Andrew Strominger i hans papper Special Geometry från 1990 .
Higgs-grenen är ett hyperkähler-grenrör som visades av Luis Alvarez-Gaume och Daniel Freedman i deras 1981 uppsats Geometrical Structure and Ultraviolet Finiteness in the Supersymmetric Sigma Model . Inklusive gravitationen blir supersymmetrin lokal. Sedan måste man lägga till samma Hodge-villkor till den speciella Kahler Coulomb-grenen som i N=1-fallet. Jonathan Bagger och Edward Witten visade i sin uppsats Matter Couplings in N=2 Supergravity från 1982 att i det här fallet måste Higgs-grenen vara en kvartjonisk Kähler-gren .
N>2 Supersymmetri
I utökade supergraviteter med N>2 måste modulutrymmet alltid vara ett symmetriskt utrymme .
- N=2 supergravitation och N=2 superYang-Mills teori om generella skalära grenrör: Symplektisk kovarians, mätningar och momentumkartan innehåller en genomgång av restriktioner på modulrum i olika supersymmetriska gauge-teorier.