Super Minkowski utrymme

I matematik och fysik är super Minkowski-rymden eller Minkowski -superrymden en supersymmetrisk förlängning av Minkowski-rymden , som ibland används som basgrenröret ( eller snarare supermanifold ) för superfält . Den ageras av super Poincaré-algebra .

Konstruktion

Abstrakt konstruktion

Sammanfattningsvis är super Minkowski-rymden utrymmet för (höger) cosets inom Super Poincaré-gruppen i Lorentz-gruppen , det vill säga,

${\text{Super Minkowski space}}\cong {\frac {\text{Super Poincaré grupp}}{\text{Lorentz grupp}}}$ .

Detta är analogt med hur vanlig Minkowski-rymdtid kan identifieras med (rätt) cosets inom Poincaré-gruppen i Lorentz-gruppen, det vill säga,

${\text{Minkowski-utrymme}}\cong {\frac {\text{Poincaré-grupp}}{\text{Lorentz-grupp}}}$ .

Coset-utrymmet är naturligt affint , och det nilpotenta, anti-pendlingsbeteendet hos de fermioniska riktningarna härrör naturligt från Clifford-algebra som är associerad med Lorentz-gruppen.

Direkt summakonstruktion

För det här avsnittet är dimensionen på Minkowski-utrymmet i fråga $d=4$ .

Super Minkowski-rymden kan konkret realiseras som den direkta summan av Minkowski-rymden, som har koordinater $x^{\mu }$ , med 'spin space'. Dimensionen för 'snurrrymden' beror på antalet ${\mathcal {N}}$ av överladdningar i den associerade super-Poincaré-algebra till super Minkowski-utrymmet som övervägs. I det enklaste fallet, ${\mathcal {N}}=1$ , har 'snurrutrymmet' 'snurrkoordinater' $(\theta _{\ alpha },{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }})$ med $\alpha ,{\dot {\alpha }}=1,2$ , där varje komponent är ett Grassmann-nummer . Totalt bildar detta 4 spinnkoordinater.

Notationen för ${\mathcal {N}}=1$ super Minkowski-mellanslag är då $\mathbb {R} ^{4|4}$ .

Det finns teorier som medger ${\mathcal {N}}$ överladdningar. Sådana fall har utökad supersymmetri . För sådana teorier är super Minkowski-rymden märkt $\mathbb {R} ^{4|4{\mathcal {N}}}$ , med koordinater $(\theta _{\alpha }^ {I},{\bar {\theta }}^{J{\dot {\alpha }}})$ med $I,J=1,\cdots ,{\ mathcal {N}}$ .

Definition

Den underliggande supermanifolden av super Minkowski-rymden är isomorf till en supervektorrymd som ges av den direkta summan av ordinär Minkowski-rumtid i d -dimensioner (ofta tas som 4) och ett antal ${\mathcal {N}}$ av verklig spinorrepresentationer av Lorentz algebra. (När $d\equiv 2\mod 4$ är ​​detta något tvetydigt eftersom det finns 2 olika verkliga spinrepresentationer, så man måste ersätta ${\mathcal {N}}$ med en heltalspar ${\displaystyle ({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N}}_{2})} ,$ även om vissa författare använder en annan konvention och tar ${\mathcal {N}}$ kopior av båda spinrepresentationerna.)

Men denna konstruktion är missvisande av två skäl: för det första är super Minkowski-rymden egentligen ett affint rum över en grupp snarare än en grupp, eller med andra ord har det inget särskiljande "ursprung", och för det andra är den underliggande supergruppen av översättningar inte en supervektorrymd men en nilpotent supergrupp med nilpotent längd 2.

Denna supergrupp har följande Lie superalgebra . Antag att $M$ är Minkowski-rymden (av dimensionen $d$ ), och $S$ är en ändlig summa av irreducerbara reella spinorrepresentationer för $d$ -dimensionellt Minkowski-rymd.

Sedan finns det en invariant, symmetrisk bilinjär karta $[\cdot ,\cdot ]:S\times S\rightarrow M$ . Det är positivt definitivt i den meningen att, för alla $s$ , är elementet $[s,s]$ i den slutna positiva konen av $M$ , och $[s,s]\neq 0$ om $s\neq 0$ . Denna bilinjära karta är unik upp till isomorfism.

Lie superalgebra ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g_{0}}}\oplus {\mathfrak {g_{1}}}=M\oplus S$ har $M$ som sin jämna del och $S$ som sin udda (fermioniska) del. Den invarianta bilinjära kartan $[\cdot ,\cdot ]$ utökas till hela superalgebra för att definiera den (graderade) Lie-parentesen ${\displaystyle [\ cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}} , där Lie-parentesen för allt i$ M $\displaystyle M}$ med någonting är noll .

Dimensionerna för de irreducerbara verkliga spinorrepresentationerna för olika dimensioner d av rumstid ges en tabell nedan. Tabellen visar också typen av verklighetsstruktur för spinorepresentationen och typen av invariant bilinjär form på spinorepresentationen.

Rumtidsdimension, d	Verklig dimension av spinorrepresentation(er)	Strukturera	Bilinjär form
1	1	Verklig	Symmetrisk
2	1, 1	Verklig	Två dubbla representationer
3	2	Verklig	Omväxlande
4	4	Komplex (dimension 2)	Omväxlande
5	8	Kvaternionisk (dimension 2)	Symmetrisk
6	8, 8	Kvaternionisk (dimension 2, 2)	Två dubbla representationer
7	16	Kvaternionisk (dimension 4)	Omväxlande
8	16	Komplex (dimension 8)	Symmetrisk
9	16	Verklig	Symmetrisk
10	16, 16	Verklig	Två dubbla representationer
11	32	Verklig	Omväxlande
12	64	Komplex (dimension 32)	Omväxlande

Tabellen upprepas när dimensionen ökar med 8, förutom att dimensionerna på spinrepresentationerna multipliceras med 16.

Notation

I fysiklitteraturen specificeras ofta en super Minkowski-rumtid genom att ange dimensionen $d$ för den jämna, bosoniska delen (dimensionen av rumtiden), och antalet gånger ${\mathcal {N} }$ att varje irreducerbar spinorrepresentation förekommer i den udda, fermioniska delen. Denna ${\mathcal {N}}$ är antalet överladdningar i den associerade super Poincaré-algebra till super Minkowski-rymden.

I matematik specificeras Minkowskis rumtid ibland i formen M ^{m | n} eller $\mathbb {R} ^{m|n}$ där m är dimensionen för den jämna delen och n dimensionen för den udda delen. Detta är notation som används för $\mathbb {Z} _{2}$ - graderade vektorrum . Notationen kan utökas till att omfatta signaturen för den underliggande rumtiden, ofta är detta $\mathbb {R} ^{1,d-1|n}$ om $m=d$ .

Relationen är som följer: heltal $d$ i fysiknotationen är heltal $m$ i matematiknotationen, medan heltal $n$ i matematiknotationen är $D$ gånger heltal ${\mathcal {N}}$ i fysiknotationen, där $D$ är dimensionen av (endera av) de irreducerbara reella spinorrepresentationerna. Till exempel är $d=4,{\mathcal {N}}=1$ Minkowskis rumtid $\mathbb {R} ^{4|4}$ . Ett allmänt uttryck är då $\mathbb {R} ^{p,q|D{\mathcal {N}}}$ .

När $d\equiv 2\mod 4$ finns det två olika irreducerbara verkliga spinorrepresentationer, och författare använder olika konventioner. Med tidigare notation, om det finns ${\mathcal {N}}_{1}$ kopior av den ena representationen och ${\mathcal {N}}_{2}$ av den andra , och sedan definiera ${\displaystyle {\mathcal {N}}={\mathcal {N}}_{1}+{\mathcal {N}}_{2}},$ det tidigare uttrycket gäller .

används bokstaven P som grund för den jämna bosoniska delen av Lie-superalgebra, och bokstaven Q används ofta som grund för komplexiseringen av den udda fermioniska delen, så i synnerhet kan strukturkonstanterna för Lie-superalgebra vara komplex snarare än verklig. Ofta kommer baselementen Q i komplexa konjugerade par, så det verkliga underrummet kan återvinnas som de fasta punkterna för komplex konjugation.

Signatur (p,q)

Den verkliga dimensionen associerad med faktorn ${\mathcal {N}}$ eller $({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N_{2) }}})$ kan hittas för generaliserat Minkowski-utrymme med dimension $n$ och godtycklig signatur $(p,q)$ . Den tidigare subtiliteten när $d\equiv 2\mod 4$ blir istället en subtilitet när $pq\equiv 0\mod 4$ . För resten av det här avsnittet signaturen till skillnaden $pq$ .

Dimensionen beror på verklighetsstrukturen på spinrepresentationen. Detta beror på signaturen $pq$ modulo 8, given av tabellen

p − q mod 8	0	1	2	3	4	5	6	7
Strukturera	$\mathbb {R} +\mathbb {R}$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {C}$	$\mathbb {H}$	$\mathbb {H} +\mathbb {H}$	$\mathbb {H}$	$\mathbb {C}$	$\mathbb {R}$

Dimensionen beror också på $n$ . Vi kan skriva $n$ som antingen $2m$ eller $2m+1$ , där $m:=\lfloor n/ 2\rvåning$ . Vi definierar spinrepresentationen $S$ för att vara representationen konstruerad med hjälp av den yttre algebra av något vektorrum, som beskrivs här . Den komplexa dimensionen av $S$ är $2^{m}$ . Om signaturen är jämn delas detta upp i två irreducerbara halvsnurrrepresentationer $S_{+}$ och $S_{-}$ med dimensionen $2^{m -1}$ , medan om signaturen är udda så är $S$ i sig själv irreducerbar. När signaturen är jämn, finns den extra subtiliteten att om signaturen är en multipel av 4 så är dessa halvsnurrrepresentationer olikvärdiga, annars är de ekvivalenta.

Om signaturen är udda, räknar ${\mathcal {N}}$ antalet kopior av spinrepresentationen $S$ . Om signaturen är jämn och inte en multipel av 4, ${\mathcal {N}}$ antalet kopior av halvsnurrrepresentationen. Om signaturen är en multipel av 4, så $({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N}}_{2})$ antalet kopior av varje halvsnurr-representation.

Sedan, om verklighetsstrukturen är verklig, så blir den komplexa dimensionen den verkliga dimensionen. Å andra sidan om verklighetsstrukturen är kvaternionisk eller komplex (hermitisk), är den verkliga dimensionen dubbelt så stor som den komplexa dimensionen.

Den verkliga dimensionen associerad med ${\mathcal {N}}$ eller $({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N}}_{ 2})$ sammanfattas i följande tabell:

p − q mod 8	0	1	2	3	4	5	6	7
Verklig dimension $D$	$2^{m-1},2^{m-1}$	$2^{m}$	$2^{m}$	$2^{m+1}$	$2^{m},2^{m}$	$2^{m+1}$	$2^{m}$	$2^{m}$

Detta möjliggör beräkning av dimensionen av superrymd med underliggande rumstid $\mathbb {R} ^{p,q}$ med ${\mathcal {N}}$ överladdningar, eller $({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N_{2}}})$ överladdningar när signaturen är en multipel av 4. Det associerade supervektorutrymmet är $\mathbb {R} ^{p,q|{\mathcal {N}}D}$ med ${\mathcal {N}}={\mathcal {N }}_{1}+{\mathcal {N}}_{2}$ där så är lämpligt.

Begränsningar av dimensioner och tilläggsavgifter

Teori om högre spinn

Se även: Teori om högre spinn

Det finns en övre gräns på ${\mathcal {N}}$ (lika med ${\mathcal {N}}_{1}+{\mathcal {N}}_{ 2}$ där så är lämpligt). Mer rakt på sak finns det en övre gräns för dimensionen av spinnutrymmet $N={\mathcal {N}}D$ där $D$ är dimensionen av spinrepresentationen om signaturen är udda, och dimensionen på halvsnurrrepresentationen om signaturen är jämn. Gränsen är $N=32$ .

Denna gräns uppstår eftersom varje teori med fler än $N=32$ överladdningar automatiskt har fält med (absolut värde på) spin större än 2. Mer matematiskt innehåller varje representation av superalgebra fält med spin större än 2. Teorier som överväger sådana fält är kända som teorier med högre spinn . På Minkowski-rymden finns det no-go-satser som förbjuder sådana teorier från att vara intressanta.

Om man inte vill överväga sådana teorier ger detta övre gränser för dimensionen och på ${\mathcal {N}}$ . För Lorentziska mellanslag (med signatur ${\displaystyle (-,+,\cdots ,+)} )$ , är gränsen för dimension $d<12$ . För generaliserade Minkowski-utrymmen med godtycklig signatur beror den övre dimensionen känsligt på signaturen, som beskrivs i ett tidigare avsnitt .

Supergravitation

Se även: Supergravity

Ett stort antal överladdningar $N$ innebär också lokal supersymmetri. Om supersymmetrier är måttsymmetrier av teorin, då överladdningarna kan användas för att generera översättningar, innebär detta att infinitesimala översättningar är måttsymmetrier av teorin. Men dessa genererar lokala diffeomorfismer , vilket är en signatur för gravitationsteorier. Så varje teori med lokal supersymmetri är nödvändigtvis en supergravitationsteori.

Gränsen för masslösa representationer är det högsta spinnfältet måste ha spin $|h|\leq 1$ , vilket sätter en gräns på $N=16$ överladdningar för teorier utan supergravitation.

Supersymmetriska Yang-Mills teorier

Se även: Supersymmetriska Yang-Mills

Det här är teorier som består av ett mätsuperfält i samarbete med ett spinor-superfält. Detta kräver en matchning av frihetsgrader. Om vi ​​begränsar denna diskussion till $d$ -dimensionellt Lorentzian rymd, är frihetsgraderna för mätfältet $d-2$ , medan frihetsgraderna för en spinor är en potens av 2 , som kan utarbetas från information på andra ställen i den här artikeln. Detta sätter restriktioner på super Minkowski-utrymmen som kan stödja en supersymmetrisk Yang-Mills teori. Till exempel, för ${\mathcal {N}}=1$ stöder endast $d=3,4,6$ eller ${\displaystyle 10} en Yang$ -Mills teori.

Se även

• Superspace
• Super vektor utrymme
• Super-Poincaré algebra

•    Deligne, Pierre ; Morgan, John W. (1999), "Anteckningar om supersymmetry (efter Joseph Bernstein)", i Deligne, Pierre ; Etingof, Pavel; Freed, Daniel S.; Jeffrey, Lisa C.; Kazhdan, David; Morgan, John W.; Morrison, David R.; Witten., Edward (red.), Quantum fields and strings: a course for mathematicians, Vol. 1 , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 41–97, ISBN 978-0-8218-1198-6 , MR 1701597