Harmonisk superrymd

I supersymmetri är harmonisk superrymd ett sätt att hantera supersymmetriska teorier med 8 riktiga SUSY-generatorer på ett uppenbart samvariant sätt . Det visar sig att de 8 riktiga SUSY-generatorerna är pseudoreala och efter komplexisering motsvarar tensorprodukten av en fyrdimensionell Dirac-spinor med den grundläggande representationen av SU(2) _R . Kvotmellanrummet $(2)_{R}/U(1)_{R}\approx S^{2}\ simeq \mathbb {CP} ^{1}}$ SU , som är en 2-sfär / Riemann-sfär .

Harmonisk superrymd beskriver N=2 D=4, N=1 D=5 och N=(1,0) D=6 SUSY på ett uppenbart samvariant sätt.

Det finns många möjliga koordinatsystem över S ² , men det valda involverar inte bara redundanta koordinater, utan råkar också vara en koordinatisering av $SU(2)_{R}\approx S^{3}$ . Vi får bara S ² efter en projektion över $U(1)_{R}\approx S^{1}$ . Detta är naturligtvis Hopf-fibrationen . Betrakta vänsterhandlingen av SU(2) _R på sig själv. Vi kan sedan utöka detta till utrymmet för komplexa värderade smidiga funktioner över SU(2) _R . I synnerhet har vi underrummet av funktioner som transformerar som den fundamentala representationen under SU(2) _R . Den grundläggande representationen (upp till isomorfism, förstås) är ett tvådimensionellt komplext vektorrum. Låt oss beteckna indexen för denna representation med i,j,k,...=1,2. Underrummet av intresse består av två kopior av den grundläggande representationen. Under den högra åtgärden av U(1) _R -- som pendlar med vilken vänster åtgärd som helst - har en kopia en "laddning" på +1, och den andra på -1. Låt oss märka basfunktionerna $u^{\pm i}$ .

\left(u^{+i}\right)^{*}=u_{i}^{-}

.

Redundansen i koordinaterna ges av

u^{+i}u_{i}^{-}=1

.

Allt kan tolkas i termer av algebraisk geometri . Projektionen ges av "gauge-transformationen" $u^{\pm i}\to e^{\pm i\phi}u^{\pm i}$ där φ är vilket reellt tal som helst. Tänk på S ³ som ett U(1) _R - huvudpaket över S ² med en första Chern-klass som inte är noll . Sedan kännetecknas "fält" över S2 ^{av en integrerad U(1)}_R -laddning som ges av den rätta verkan av U(1) _R . Till exempel har u ⁺ en laddning på +1 och u ⁻ på -1. Enligt konventionen betecknas fält med en laddning på +r med en upphöjd med r + och dito för fält med en laddning på -r. R-laddningar är additiv under multiplikation av fält.

SUSY-laddningarna är $Q^{i\alpha }$ , och de motsvarande fermioniska koordinaterna är $\theta ^{i\alpha }$ . Harmoniskt superrymd ges av produkten av vanligt utökat superrymd (med 8 reella fermioniska koordinater) med S ² med den icke-triviala U(1) _R -bunten över sig. Produkten är något vriden genom att de fermioniska koordinaterna också laddas under U(1) _R . Denna avgift ges av

\theta ^{\pm \alpha }=u_{i}^{\pm }\theta ^{i\alpha }

.

Vi kan definiera de kovarianta derivatorna $D_{\alpha }^{\pm }$ med egenskapen att de superpendlar med SUSY-transformationerna, och $D_{\alpha }^{\pm }f(u)=0$ där f är vilken funktion som helst av övertonsvariablerna. På samma sätt, definiera

D^{++}\equiv u^{+i}{\frac {\partial }{\partial u^{-i}}}

och

D^{--}\equiv u^{-i}{\frac {\partial }{\partial u^{+i}}}

.

Ett kiralt superfält q med en R-laddning på r uppfyller $D_{\alpha }^{+}q=0$ . En skalär hypermultiplett ges av ett kiralt superfält $q^{+}$ . Vi har den ytterligare begränsningen

D^{++}q^{+}=J^{+++}(q^{+},\,u)

.

Enligt Atiyah-Singer indexsatsen är lösningsutrymmet till den tidigare begränsningen en tvådimensionell komplex mångfald.

Relation till quaternions

Gruppen $SU(2)_{R}$ kan identifieras med Lie-gruppen av kvaternioner med enhetsnorm under multiplikation. $SU(2)_{R}$ , och följaktligen verkar kvartjonerna på tangentrymden för utökat superrymd. De bosoniska rumtidsdimensionerna transformeras trivialt under $SU(2)_{R}$ medan de fermioniska dimensionerna transformeras enligt den fundamentala representationen . Den vänstra multiplikationen med kvaternioner är linjär. Betrakta nu underrummet av enhetskvarternioner utan reell komponent, vilket är isomorft till S ² . Varje element i detta delrum kan fungera som det imaginära talet i i en komplex subalgebra av kvartjonerna. Så för varje element i S ² kan vi använda motsvarande imaginära enhet för att definiera en komplex-real struktur över det utökade superrymden med 8 riktiga SUSY-generatorer. Totaliteten av alla CR-strukturer för varje punkt i S ² är harmonisk superrymd.

Se även