Supersymmetrisk gauge teori

Inom teoretisk fysik finns det många teorier med supersymmetri (SUSY) som också har intern gauge symmetri . Supersymmetrisk gauge-teori generaliserar denna uppfattning.

Mätare teori

En mätteori är ett matematiskt ramverk för att analysera mätsymmetrier. Det finns två typer av symmetrier, nämligen global och lokal. En global symmetri är den symmetri som förblir oföränderlig vid varje punkt i ett grenrör (manifold kan vara antingen rumtidskoordinater eller interna kvanttal). En lokal symmetri är den symmetri som beror på det utrymme över vilket den definieras och ändras med variationen i koordinater. Sådan symmetri är således invariant endast lokalt (dvs. i ett område på grenröret).

Kvantkromodynamik och kvantelektrodynamik är kända exempel på mätteorier.

Supersymmetri

Inom partikelfysiken finns det partiklar med två typer av partikelstatistik , bosoner och fermioner. Bosoner har heltalsspinnvärden och kännetecknas av förmågan att ha hur många identiska bosoner som helst som upptar en enda punkt i rymden. De identifieras alltså med krafter . Fermioner har halvheltals spin-värden, och enligt Pauli-uteslutningsprincipen kan identiska fermioner inte uppta en enda position i rymdtiden. De identifieras med materia. Således anses SUSY vara en stark kandidat för att förena strålning (bosonförmedlade krafter) och materia.

Denna mekanism fungerar via en operator $Q$ , känd som supersymmetrigenerator, som fungerar enligt följande:

$Q|{\text{boson}}\rangle =|{\text{fermion}}\rangle$$Q|{\text{fermion}}\rangle =|{\text{boson}}\rangle$

Till exempel kan supersymmetrigeneratorn ta en foton som ett argument och omvandla den till en foton och vice versa. Detta sker genom översättning i (parameter)rymden. Denna superrymd är en ${\mathbb {Z} _{2}}$ - graderad vektorrymd ${\mathcal {W}}={\mathcal {W}}^ {0}\oplus {\mathcal {W}}^{1}$ , där ${\mathcal {W}}^{0}$ är det bosoniska Hilbert-utrymmet och ${\mathcal { W}}^{1}$ är det fermioniska Hilbert-utrymmet.

SUSY mätteori

Motivationen för en supersymmetrisk version av gauge teori kan vara det faktum att gauge invarians överensstämmer med supersymmetri. De första exemplen upptäcktes av Bruno Zumino och Sergio Ferrara , och oberoende av Abdus Salam och James Strathdee 1974.

Eftersom både halvheltals spinnfermionerna och heltalsspinbosonerna kan bli gauge partiklar. Dessutom finns vektorfälten och spinorfälten båda i samma representation av den interna symmetrigruppen.

Antag att vi har en mättransformation ${\displaystyle V_{\mu }\rightarrow V_{\mu }+\partial _{\mu }A} ,$ där $V_{\ mu }$ är ett vektorfält och $A$ är mätarfunktionen. Huvudproblemet i konstruktionen av SUSY Gauge Theory är att utöka ovanstående transformation på ett sätt som överensstämmer med SUSY-transformationer.

Wess–Zumino-mätaren ger en framgångsrik lösning på detta problem. När en sådan lämplig gauge väl erhållits fungerar dynamiken i SUSY gauge-teorin enligt följande: vi söker en lagrangian som är invariant under super-gauge-transformationerna (dessa transformationer är ett viktigt verktyg som behövs för att utveckla supersymmetrisk version av en gauge-teori). Sedan kan vi integrera lagrangianen med hjälp av Berezin-integreringsreglerna och på så sätt få åtgärden. Vilket vidare leder till rörelseekvationerna och därmed kan ge en fullständig analys av teorins dynamik.

N = 1 SUSY i 4D (med 4 riktiga generatorer)

I fyra dimensioner kan den minimala N = 1 supersymmetrin skrivas med hjälp av ett superrymd . Denna superrymd involverar fyra extra fermioniska koordinater $\theta ^{1},\theta ^{2},{\bar {\theta }}^{1}, {\bar {\theta }}^{2}$ , transformerande som en tvåkomponentsspinor och dess konjugat.

Varje superfält, dvs ett fält som är beroende av superrymdens alla koordinater, kan utökas med avseende på de nya fermioniska koordinaterna. Det finns en speciell typ av superfält, de så kallade kirala superfälten , som bara beror på variablerna θ men inte deras konjugat (mer exakt, ${\displaystyle {\overline {D}}f=0} )$ . Ett vektorsuperfält beror dock på alla koordinater. Den beskriver ett mätfält och dess superpartner , nämligen en Weyl-fermion som lyder en Dirac-ekvation .

$_ V=C+i\theta \chi -i{\overline {\theta }}{\overline {\chi }}+{\tfrac {i}{2}}\theta ^{2}(M+iN)- {\tfrac {i}{2}}{\overline {\theta ^{2}}}(M-iN)-\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}v_{\mu } +i\theta ^{2}{\overline {\theta }}\left({\overline {\lambda }}-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi \right)-i{\overline {\theta }}^{2}\theta \left(\lambda +{\tfrac {i}{2}}\sigma ^{\ mu }\partial _{\mu }{\overline {\chi }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}{\overline {\theta }}^{2}\ vänster(D+{\tfrac {1}{2}}\Box C\right)}$

V är vektorns superfält ( prepotential ) och är reell ( V = V ). Fälten till höger är komponentfält.

Mätartransformationerna fungerar som

$V\to V+\Lambda +{\overline {\Lambda }}$

där Λ är vilket kiralt superfält som helst.

Det är lätt att kontrollera att det chirala superfältet

$W_{\alpha }\equiv -{\tfrac {1}{4}}{\overline {D}}^{2}D_{\alpha }V$

är mätinvariant. Så är dess komplexa konjugat ${\overline {W}}_{\dot {\alpha }}$ .

En icke-supersymmetrisk kovariant mätare som ofta används är Wess-Zumino mätare . Här C, χ, M och N alla nollställda. De kvarvarande mätarsymmetrierna är mättransformationer av den traditionella bosoniska typen.

Ett kiralt superfält X med laddningen q transformeras som

$X\to e^{q\Lambda }X,\qquad {\overline {X}}\to e^{q{\overline {\ Lambda }}}X$

Därför är X e ^{− qV} X gauge invariant. Här kallas e ^{− qV en} brygga eftersom den "bryggar" ett fält som transformeras under Λ endast med ett fält som transformerar endast under Λ .

Mer generellt, om vi har en reell gauge-grupp G som vi vill supersymmetrisera, måste vi först komplexifiera den till G ^c ⋅ e ^{− qV} och fungerar sedan som en kompensator för de komplexa gauge-transformationerna och absorberar dem och lämnar bara de reella delarna. Detta är vad som görs i mätaren Wess–Zumino.

Differentiella superformer

Låt oss omformulera allt för att se mer ut som en konventionell Yang–Mills- mätteori. Vi har en U(1) gaugesymmetri som verkar på fullt superrymd med en 1-superform gauge-anslutning A. I den analytiska basen för tangentrymden ges den kovarianta derivatan av $D_{M}=d_{M}+iqA_{M}$ . Integrerbarhetsvillkor för kirala superfält med den kirala begränsningen

${\overline {D}}_{\dot {\alpha }}X=0$

lämna oss med

$\left\{{\overline {D}}_{\dot {\alpha }},{\overline {D} }_{\dot {\beta }}\right\}=F_{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}=0.$

En liknande begränsning för antikirala superfält lämnar oss med F _αβ = 0 . Det betyder att vi antingen kan mäta fix $A_{\dot {\alpha }}=0$ eller A _α = 0 men inte båda samtidigt. Kalla de två olika mätarfixeringsschemana I respektive II. I gauge I, ${\overline {d}}_{\dot {\alpha }}X=0$ och i gauge II, d _α X = 0 . Nu är tricket att använda två olika mätare samtidigt; spårvidd I för kirala superfält och spårvidd II för antikirala superfält. För att överbrygga de två olika mätarna behöver vi en spårviddstransformation. Kalla det e ^{− V} (av konvention). Om vi ​​använde en mätare för alla fält, X X vara mätinvariant. Vi måste dock konvertera gauge I till gauge II, och transformera X till ( e ^{− V} ) ^q X . Så den gauge invarianta kvantiteten är X e ^{− qV} X .

I spårvidd I har vi fortfarande kvarvarande spårvidd e ^Λ där ${\overline {d}}_{\dot {\alpha }}\Lambda =0$ och i spårvidd II har vi restmåttet e ^Λ uppfyller d _α Λ = 0 . Under restmätarna förvandlas bron som

$e^{-V}\to e^{-{\overline {\Lambda }}-V-\Lambda }.$

Utan några ytterligare begränsningar skulle bron e ^{− V} inte ge all information om mätfältet. Men med den ytterligare begränsningen ${\displaystyle F_{{\dot {\alpha }}\beta }} ,$ finns det bara ett unikt mätfält som är kompatibelt med bryggmodulo-mätartransformationerna. Nu ger bron exakt samma informationsinnehåll som mätfältet.

Teorier med 8 eller fler SUSY-generatorer ( N > 1 )

I teorier med högre supersymmetri (och kanske högre dimension), beskriver ett vektorsuperfält vanligtvis inte bara ett mätfält och en Weyl-fermion utan också åtminstone ett komplext skalärfält .

Se även

• super QCD
• superpotential
• D-term
• F-term
• nuvarande superfält
• Minimal supersymmetrisk standardmodell
• Supersymmetrisk kvantmekanik

• Stephen P. Martin. A Supersymmetry Primer , arXiv : hep-ph/9709356 .
• Prakash, Nirmala. Mathematical Perspective on Theoretical Physics: A Journey from Black Holes to Superstrings , World Scientific (2003).
• Kulshreshtha, DS; Mueller-Kirsten, HJW (1991). "Kvantisering av system med begränsningar: Faddeev-Jackiw-metoden kontra Diracs metod tillämpad på superfält". Fysisk granskning D . Phys. Rev. D43, 3376-3383. 43 (10): 3376–3383. Bibcode : 1991PhRvD..43.3376K . doi : 10.1103/PhysRevD.43.3376 .