Superpotential

Inom teoretisk fysik är superpotentialen en funktion inom supersymmetrisk kvantmekanik . Givet en superpotential härleds två "partnerpotentialer" som var och en kan fungera som en potential i Schrödinger-ekvationen . Partnerpotentialerna har samma spektrum , bortsett från ett eventuellt egenvärde på noll, vilket innebär att de fysiska systemen som representeras av de två potentialerna har samma karakteristiska energier, bortsett från ett eventuellt nollenergigrundtillstånd.

Endimensionellt exempel

Betrakta en endimensionell , icke-relativistisk partikel med en inre frihetsgrad i två tillstånd som kallas " spinn ". (Detta är inte riktigt den vanliga föreställningen om spinn som förekommer i icke-relativistisk kvantmekanik, eftersom "riktigt" spinn endast gäller partiklar i tredimensionellt rymden .) Låt b och dess hermitiska adjoint b ^† beteckna operatorer som transformerar en "spin up"-partikel till en "snurr ner" partikel respektive vice versa. Ta vidare att b och b ^† normaliseras så att antikommutatorn { b , b ^† } är lika med 1, och ta att b ² är lika med 0. Låt p representera partikelns rörelsemängd och x representera dess position med [ x , p ] =i, där vi använder naturliga enheter så att $\hbar =1$ . Låt W (superpotentialen) representera en godtycklig differentierbar funktion av x och definiera de supersymmetriska operatorerna Q ₁ och Q ₂ som

$Q_{1}={\frac {1}{2}}\left[(p-iW)b+ (p+iW)b^{\dolk }\right]$

$Q_{2}={\frac { i}{2}}\left[(p-iW)b-(p+iW)b^{\dolk }\right]$

Operatörerna Q ₁ och Q ₂ är självanslutna. Låt Hamiltonian vara

$H=\{Q_{1}, Q_{1}\}=\{Q_{2},Q_{2}\}={\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {W^{2}}{2}} +{\frac {W'}{2}}(bb^{\dolk }-b^{\dolk }b)$

där W' betecknar derivatan av W . Observera också att { Q ₁ , Q ₂ }=0. Under dessa omständigheter är ovanstående system en leksaksmodell med N =2 supersymmetri. Spin down och spin up tillstånden kallas ofta för " bosoniska " respektive " fermioniska " tillstånd, i en analogi med kvantfältteorin . Med dessa definitioner Q1 och Q2 "bosoniska" tillstånd till "fermioniska" tillstånd och vice _{versa .} Begränsning till de bosoniska eller fermioniska sektorerna ger två partnerpotentialer som bestäms av

$H={\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {W^{2}}{2}}\pm { \frac {W'}{2}}$

I fyra rumtidsdimensioner

I supersymmetriska kvantfältteorier med fyra rumtidsdimensioner , som kan ha en viss koppling till naturen, visar det sig att skalära fält uppstår som den lägsta komponenten i ett kiralt superfält , som tenderar att automatiskt värderas komplext. Vi kan identifiera det komplexa konjugatet av ett kiralt superfält som ett antikiralt superfält. Det finns två möjliga sätt att få en åtgärd från en uppsättning superfält:

• Integrera ett superfält på hela superrymden som sträcks av $x_{0,1,2,3}$ och $\theta ,{\bar {\theta }}$ ,

eller

• Integrera ett kiralt superfält på den kirala halvan av ett superrymd, spännt av $x_{0,1,2,3}$ och $\theta$ , inte på ${\ displaystyle {\bar {\theta }}}$ .

Det andra alternativet säger oss att en godtycklig holomorf funktion av en uppsättning chirala superfält kan dyka upp som en term i en lagrangian som är invariant under supersymmetri. I detta sammanhang betyder holomorf att funktionen endast kan bero på de kirala superfälten, inte deras komplexa konjugat. Vi kan kalla en sådan funktion W , superpotentialen. Det faktum att W är holomorf i de chirala superfälten hjälper till att förklara varför supersymmetriska teorier är relativt lätthanterliga, eftersom det tillåter en att använda kraftfulla matematiska verktyg från komplex analys . Det är faktiskt känt att W inte tar emot några störande korrigeringar, ett resultat som kallas det störande icke-renormaliseringsteoremet . Observera att icke-störande processer kan korrigera detta, till exempel genom bidrag till betafunktionerna på grund av instantons .

• Stephen P. Martin, A Supersymmetry Primer . arXiv : hep-ph/9709356 .
• B. Mielnik och O. Rosas-Ortiz, "Factorization: Little or great algorithm?", J. Phys. A: Matematik. Gen. 37: 10007-10035, 2004
• Cooper, Fred; Khare, Avinash; Sukhatme, Uday (1995). "Supersymmetrisk kvantmekanik". Fysiska rapporter . 251 : 267-385. arXiv : hep-th/9405029 . Bibcode : 1995PhR...251..267C . doi : 10.1016/0370-1573(94)00080-M .