Superpositionsprincipen

Överlagring av nästan plana vågor (diagonala linjer) från en avlägsen källa och vågor från ankornas spår . Linjäriteten gäller endast ungefär i vatten och endast för vågor med små amplituder i förhållande till deras våglängder.

Rullande rörelse som överlagring av två rörelser. Hjulets rullande rörelse kan beskrivas som en kombination av två separata rörelser: translation utan rotation och rotation utan translation.

Superpositionsprincipen , även känd som superpositionsegenskap , säger att för alla linjära system är nettosvaret som orsakas av två eller flera stimuli summan av de svar som skulle ha orsakats av varje stimulus individuellt . Så att om ingång A producerar svar X och ingång B producerar svar Y så producerar ingång ( A + B ) svar ( X + Y ).

En funktion $F(x)$ som uppfyller superpositionsprincipen kallas en linjär funktion . Superposition kan definieras av två enklare egenskaper: additivitet

F(x_{1}+x_{2})=F(x_{1})+F(x_{2} )\,

och homogenitet

F(ax)=aF(x)\,

för skalär

a

.

Denna princip har många tillämpningar inom fysik och teknik eftersom många fysiska system kan modelleras som linjära system. Till exempel kan en stråle modelleras som ett linjärt system där ingångsstimulansen är belastningen på strålen och utgångssvaret är strålens avböjning . Vikten av linjära system är att de är lättare att analysera matematiskt; det finns en stor mängd matematiska tekniker, linjära transformationsmetoder i frekvensdomän som Fourier- och Laplace -transformationer och linjär operatorteori som är tillämpliga. Eftersom fysiska system i allmänhet endast är ungefär linjära, är superpositionsprincipen endast en approximation av det verkliga fysiska beteendet.

Superpositionsprincipen gäller för alla linjära system, inklusive algebraiska ekvationer , linjära differentialekvationer och ekvationssystem av dessa former. Stimulans och svaren kan vara siffror, funktioner, vektorer, vektorfält , tidsvarierande signaler eller något annat objekt som uppfyller vissa axiom . Observera att när vektorer eller vektorfält är inblandade tolkas en superposition som en vektorsumma . Om superpositionen håller, så gäller den automatiskt även för alla linjära operationer som tillämpas på dessa funktioner (på grund av definition), såsom gradienter, differentialer eller integraler (om de finns).

Etymologi

Ordet superposition kommer från det latinska ordet "super", som betyder ovan, och ordet "position", som betyder plats.

Relation till Fourieranalys och liknande metoder

Genom att skriva en mycket allmän stimulans (i ett linjärt system) som överlagring av stimuli av en specifik och enkel form, blir svaret ofta lättare att beräkna.

Till exempel, i Fourier-analys , skrivs stimulansen som superpositionen av oändligt många sinusoider . På grund av superpositionsprincipen kan var och en av dessa sinusoider analyseras separat och dess individuella respons kan beräknas. (Responsen är i sig en sinusform, med samma frekvens som stimulansen, men generellt en annan amplitud och fas .) Enligt superpositionsprincipen är svaret på det ursprungliga stimuluset summan (eller integralen) av alla individuella sinusformade svar. .

Som ett annat vanligt exempel, i Greens funktionsanalys , skrivs stimulansen som superposition av oändligt många impulsfunktioner , och svaret är då en superposition av impulssvar .

Fourieranalys är särskilt vanligt för vågor . Till exempel, i elektromagnetisk teori, beskrivs vanligt ljus som en överlagring av plana vågor (vågor med fast frekvens , polarisation och riktning). Så länge superpositionsprincipen gäller (vilket är ofta men inte alltid; se olinjär optik ), kan beteendet hos vilken ljusvåg som helst förstås som en överlagring av beteendet hos dessa enklare plana vågor .

Vågöverlagring

Två vågor som rör sig i motsatta riktningar över samma medium kombineras linjärt. I den här animeringen har båda vågorna samma våglängd och summan av amplituder resulterar i en stående våg .

två vågor tränger igenom utan att påverka varandra

Vågor beskrivs vanligtvis av variationer i vissa parametrar genom rum och tid – till exempel höjd i en vattenvåg, tryck i en ljudvåg eller det elektromagnetiska fältet i en ljusvåg. Värdet på denna parameter kallas amplitud och själva vågen är en funktion som specificerar amplituden vid varje punkt.

I vilket system som helst med vågor är vågformen vid en given tidpunkt en funktion av källorna ( dvs externa krafter, om några, som skapar eller påverkar vågen) och initiala förhållanden för systemet. I många fall (till exempel i den klassiska vågekvationen ) är ekvationen som beskriver vågen linjär. När detta är sant kan superpositionsprincipen tillämpas. Det betyder att nettoamplituden som orsakas av två eller flera vågor som korsar samma utrymme är summan av de amplituder som skulle ha producerats av de individuella vågorna separat. Till exempel kommer två vågor som rör sig mot varandra att passera rakt igenom varandra utan någon förvrängning på andra sidan. (Se bilden överst.)

Vågdiffraktion vs våginterferens

När det gäller vågsuperposition skrev Richard Feynman :

Ingen har någonsin kunnat definiera skillnaden mellan interferens och diffraktion på ett tillfredsställande sätt. Det är bara en fråga om användning, och det finns ingen specifik, viktig fysisk skillnad mellan dem. Det bästa vi kan göra, grovt sett, är att säga att när det bara finns ett fåtal källor, säg två, som stör, så brukar resultatet kallas störning, men om det finns ett stort antal av dem verkar det som att ordet diffraktion används oftare.

Andra författare utvecklar:

Skillnaden är en av bekvämlighet och konvention. Om vågorna som ska överlagras kommer från ett fåtal koherenta källor, säg två, kallas effekten störning. Å andra sidan, om vågorna som ska överlagras har sitt ursprung genom att dela upp en vågfront i oändligt små koherenta vågor (källor), kallas effekten diffraktion. Det är att skillnaden mellan de två fenomenen endast är [en fråga] om grad, och i grund och botten är de två begränsande fall av superpositionseffekter.

Ännu en källa håller med:

Eftersom interferenskanterna observerade av Young var diffraktionsmönstret för dubbelslitsen, är detta kapitel [Fraunhofer diffraktion] därför en fortsättning på kapitel 8 [Interferens]. Å andra sidan skulle få optiker betrakta Michelson-interferometern som ett exempel på diffraktion. Några av de viktiga kategorierna av diffraktion hänför sig till interferensen som följer med divisionen av vågfronten, så Feynmans observation återspeglar i viss mån svårigheten som vi kan ha att särskilja division av amplitud och division av vågfront.

Vågstörningar

Fenomenet interferens mellan vågor är baserat på denna idé. När två eller flera vågor korsar samma utrymme, är nettoamplituden vid varje punkt summan av de individuella vågornas amplituder. I vissa fall, som i brusreducerande hörlurar , har den summerade variationen en mindre amplitud än komponentvariationerna; detta kallas destruktiv interferens . I andra fall, såsom i en line array , kommer den summerade variationen att ha en större amplitud än någon av komponenterna individuellt; detta kallas konstruktiv interferens .

grön våg går till höger medan blå våg går åt vänster, den röda nettoamplituden vid varje punkt är summan av amplituderna för de individuella vågorna.

kombinerad vågform
våg 1
våg 2
	Två vågor i fas	Två vågor 180° ur fas

Avvikelser från linjäritet

I de flesta realistiska fysiska situationer är ekvationen som styr vågen endast ungefär linjär. I dessa situationer gäller superpositionsprincipen endast ungefär. Som regel tenderar approximationens noggrannhet att förbättras när amplituden på vågen blir mindre. För exempel på fenomen som uppstår när superpositionsprincipen inte riktigt håller, se artiklarna olinjär optik och olinjär akustik .

Kvantsuperposition

Inom kvantmekaniken är en huvuduppgift att beräkna hur en viss typ av våg fortplantar sig och beter sig. Vågen beskrivs av en vågfunktion , och ekvationen som styr dess beteende kallas Schrödinger-ekvationen . En primär metod för att beräkna beteendet hos en vågfunktion är att skriva den som en superposition (kallad " kvantöverlagring ") av (möjligen oändligt många) andra vågfunktioner av en viss typ - stationära tillstånd vars beteende är särskilt enkelt. Eftersom Schrödinger-ekvationen är linjär kan beteendet för den ursprungliga vågfunktionen beräknas genom superpositionsprincipen på detta sätt.

Den projektiva karaktären av kvantmekaniskt tillståndsrum orsakar viss förvirring, eftersom ett kvantmekaniskt tillstånd är en stråle i projektivt Hilbertrum, inte en vektor . Enligt Dirac : " om ket-vektorn som motsvarar ett tillstånd multipliceras med ett komplext tal, inte noll, kommer den resulterande ket-vektorn att motsvara samma tillstånd [ kursiv i original]." Emellertid är summan av två strålar för att bilda en överlagd stråle odefinierad. Som ett resultat använder Dirac själv ket-vektorrepresentationer av tillstånd för att sönderdela eller dela upp, till exempel en ket-vektor $|\psi _{i}\rangle$ till superposition av komponent ket vektorer $|\phi _{j}\rangle$ som:

|\psi _{i}\rangle =\sum _{j}{C_{j}}|\phi _{j}\rangle ,

där

C_{j}\in {\textbf {C}}

. Ekvivalensklassen för

|\psi _{i}\rangle

tillåter en väldefinierad betydelse att ges till de relativa faserna av

C_{j}

., men en absolut (samma belopp för alla

C_{j}

) fasförändringar på

C_{j}

påverkar inte ekvivalensklassen för

|\psi _{i}\rangle

.

Det finns exakta överensstämmelser mellan superpositionen som presenteras i huvudsak på denna sida och kvantsuperpositionen. Till exempel Bloch-sfären för att representera rent tillstånd av ett kvantmekaniskt system med två nivåer ( qubit ) också känd som Poincaré-sfären som representerar olika typer av klassiska rena polarisationstillstånd .

Ändå, om ämnet kvantsuperposition, skriver Kramers : "Principen om [kvant] superposition ... har ingen analogi i klassisk fysik" [ ^{citat behövs ]} . Enligt Dirac : " superpositionen som förekommer i kvantmekaniken är av en väsentligt annorlunda natur än vad som förekommer i den klassiska teorin [ kursiv i original]." Även om Diracs resonemang inkluderar observationsatomicitet, vilket är giltigt, som för fas, menar de faktiskt fasöversättningssymmetri härledd från tidsöversättningssymmetri , som också är tillämplig på klassiska tillstånd, som visas ovan med klassiska polariseringstillstånd.

Gränsvärdesproblem

En vanlig typ av gränsvärdesproblem är (för att uttrycka det abstrakt) att hitta en funktion y som uppfyller någon ekvation

F(y)=0

med viss gränsspecifikation

G(y)=z

Till exempel, i Laplaces ekvation med Dirichlets gränsvillkor , skulle F vara den laplaciska operatorn i en region R , G skulle vara en operator som begränsar y till gränsen för R , och z skulle vara funktionen som y krävs för att vara lika med gränsen för R .

I fallet att F och G båda är linjära operatorer, så säger superpositionsprincipen att en superposition av lösningar till den första ekvationen är en annan lösning till den första ekvationen:

F(y_{1})=F(y_{2})=\cdots =0\ \Rightarrow \ F(y_{1}+y_{2}+\cdots )=0

medan gränsvärdena överlagrar:

G(y_{1})+G(y_{2})=G(y_{1}+y_{2} )

Med hjälp av dessa fakta, om en lista kan sammanställas med lösningar till den första ekvationen, kan dessa lösningar försiktigt läggas i en superposition så att den kommer att uppfylla den andra ekvationen. Detta är en vanlig metod för att närma sig gränsvärdesproblem.

Additivt tillståndsnedbrytning

Tänk på ett enkelt linjärt system:

{\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2}),x(0)=x_{0}.

Enligt superpositionsprincipen kan systemet sönderdelas till

{\begin{aligned}{\dot {x }}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1},&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2} +Bu_{2},&&x_{2}(0)=0\end{aligned}}

med

x=x_{1}+x_{2}.

Superpositionsprincipen är endast tillgänglig för linjära system. Emellertid kan den additiva tillståndssönderdelningen tillämpas inte bara på linjära system utan även på icke-linjära system. Tänk sedan på ett olinjärt system ${\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2})+\phi (c^{T}x),x(0)=x_{0}.$ där $\phi$ är en icke-linjär funktion. Genom det additiva tillståndssönderdelningen kan systemet additivt sönderdelas till

{\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1}+\phi (y_{ d}),&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2}+\phi (c^{T} x_{1}+c^{T}x_{2})-\phi (y_{d}),&&x_{2}(0)=0.\end{aligned}}

med

x=x_{1}+x_{2}.

Denna sönderdelning kan hjälpa till att förenkla styrenhetens design.

Andra exempelapplikationer

Inom elektroteknik , i en linjär krets , är ingången (en pålagd tidsvarierande spänningssignal) relaterad till utgången (en ström eller spänning var som helst i kretsen) genom en linjär transformation. Således kommer en överlagring (dvs summan) av insignaler att ge överlagringen av svaren. Användningen av Fourieranalys på denna grund är särskilt vanligt. För en annan, en relaterad teknik i kretsanalys, se Superposition theorem .
Inom fysiken antyder Maxwells ekvationer att de (möjligen tidsvarierande) fördelningarna av laddningar och strömmar är relaterade till de elektriska och magnetiska fälten genom en linjär transformation. Således kan superpositionsprincipen användas för att förenkla beräkningen av fält som uppstår från en given laddning och strömfördelning. Principen gäller även andra linjära differentialekvationer som uppstår i fysiken, som värmeekvationen .
Inom teknik används superposition för att lösa balk- och strukturavböjningar av kombinerade belastningar när effekterna är linjära (dvs varje belastning påverkar inte resultatet av de andra belastningarna, och effekten av varje belastning förändrar inte geometrin av strukturellt system). Modesuperpositionsmetoden använder de naturliga frekvenserna och modformerna för att karakterisera det dynamiska svaret hos en linjär struktur.
Inom hydrogeologin tillämpas superpositionsprincipen på neddragning av två eller flera vattenbrunnar som pumpar i en idealisk akvifer . Denna princip används i den analytiska elementmetoden för att utveckla analytiska element som kan kombineras i en enda modell.
Vid processtyrning används superpositionsprincipen vid modellförutsägande styrning .
Superpositionsprincipen kan tillämpas när små avvikelser från en känd lösning till ett olinjärt system analyseras genom linearisering .
Inom musiken använde teoretikern Joseph Schillinger en form av superpositionsprincipen som en grund för sin Theory of Rhythm i hans Schillinger System of Musical Composition .
I beräkningar ses ibland överlagring av flera kodvägar, kod och data eller flera datastrukturer i delat minne , feta binärer , såväl som överlappande instruktioner i högt optimerad självmodifierande kod och exekverbar text .

Historia

Enligt Léon Brillouin uttalades principen om superposition först av Daniel Bernoulli 1753: "Den allmänna rörelsen hos ett vibrerande system ges av en superposition av dess korrekta vibrationer." Principen förkastades av Leonhard Euler och sedan av Joseph Lagrange . Bernoulli hävdade att vilken sonorös kropp som helst kunde vibrera i en rad enkla lägen med en väldefinierad svängningsfrekvens. Som han tidigare indikerat kunde dessa lägen läggas över varandra för att producera mer komplexa vibrationer. I sin reaktion på Bernoullis memoarer berömde Euler sin kollega för att ha utvecklat den fysiska delen av problemet med vibrerande strängar på bästa sätt, men förnekade det allmänna och överlägsna multimodslösningen.

Senare blev det accepterat, till stor del genom arbete av Joseph Fourier .

Se även

Vidare läsning

Haberman, Richard (2004). Tillämpade partiella differentialekvationer . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-065243-0 .
Överlagring av ljudvågor

externa länkar

Media relaterade till Superposition-principen på Wikimedia Commons
Ordboksdefinitionen av störning på Wiktionary