Hill avkastningskriterium

Hill -avkastningskriteriet utvecklat av Rodney Hill , är ett av flera avkastningskriterier för att beskriva anisotropa plastiska deformationer. Den tidigaste versionen var en enkel förlängning av von Mises avkastningskriteriet och hade en kvadratisk form. Denna modell generaliserades senare genom att tillåta en exponent m . Variationer av dessa kriterier är i stor användning för metaller, polymerer och vissa kompositer.

Quadratic Hill avkastningskriterium

Det kvadratiska Hill avkastningskriteriet har formen

$F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _ {11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2 }=1~.$

Här är F, G, H, L, M, N konstanter som måste bestämmas experimentellt och $\sigma _{ij}$ är spänningarna. Det kvadratiska Hill flytningskriteriet beror endast på deviatoriska spänningarna och är tryckoberoende. Den förutspår samma sträckspänning vid spänning och kompression.

Uttryck för F , G , H , L , M , N

Om axlarna för materialanisotropi antas vara ortogonala kan vi skriva

$(G+H)~(\sigma _{1}^{y})^{2}=1~;~~(F+H)~ (\sigma _{2}^{y})^{2}=1~;~~(F+G)~(\sigma _{3}^{y})^{2}=1$

där $\sigma _{1}^{y},\sigma _{2}^{y},\sigma _{3}^{y}$ är normala sträckgränser med avseende på anisotropins axlar. Därför har vi

$F={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-{ \cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\right]$

$G={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}} +{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2} }}\right]$

$H={\cfrac {1}{2}} \left[{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{ 2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}\right]$

På liknande sätt, om $\tau _{12}^{y},\tau _{23}^{y},\tau _{31}^{y}$ är sträckgränserna i skjuvning (med avseende på anisotropins axlar), vi har

$L={\cfrac {1}{2~(\tau _{23}^{y})^{2}}}~;~~M={\ cfrac {1}{2~(\tau _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2~(\tau _{12}^{y })^{2}}}$

Quadratic Hill flytkriterium för planspänning

Det kvadratiska Hill flytningskriteriet för tunna valsade plåtar (planspänningsförhållanden) kan uttryckas som

$\sigma _{1}^{2 }+{\cfrac {R_{0}~(1+R_{90})}{R_{90}~(1+R_{0})}}~\sigma _{2}^{2}-{\ cfrac {2~R_{0}}{1+R_{0}}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}$

där huvudspänningarna $\sigma _{1},\sigma _{2}$ antas vara inriktade med anisotropiaxlarna med $\sigma _{1}$ i rullriktningen och $\sigma _{2}$ vinkelrätt mot rullriktningen, $\sigma _{3}=0$ , $R_{0}$ är R -värde i rullriktningen, och $R_{90}$ är R-värdet vinkelrätt mot rullriktningen.

För specialfallet med transversell isotropi har vi $R=R_{0}=R_{90}$ och vi får

$\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-{ \cfrac {2~R}{1+R}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}$

Härledning av Hills kriterium för planspänning

För situationen där huvudspänningarna är i linje med anisotropins riktningar har vi $f:=F(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+G(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}+H (\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}-1=0\,$ där $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ är de huvudsakliga spänningarna. Om vi ​​antar en tillhörande flödesregel har vi ${\dot {\varepsilon }}_{i}^{p}={\dot {\lambda }}~{\cfrac {\partial f}{\partial \sigma _{i}}}\qquad \implies \qquad {\cfrac {d\varepsilon _{i}^{p}}{d\lambda }}={\cfrac {\partial f}{\partial \sigma _{i}}}~.$ Detta betyder att ${\begin{aligned}{\cfrac {d\varepsilon _{1}^{p}}{d\lambda }}&=2(G+H)\sigma _{1}-2H\sigma _ {2}-2G\sigma _{3}\\{\cfrac {d\varepsilon _{2}^{p}}{d\lambda }}&=2(F+H)\sigma _{2}- 2H\sigma _{1}-2F\sigma _{3}\\{\cfrac {d\varepsilon _{3}^{p}}{d\lambda }}&=2(F+G)\sigma _ {3}-2G\sigma _{1}-2F\sigma _{2}~.\end{aligned}}$ För planspänning ${\displaystyle \sigma _{3}=0} ,$ vilket ger ${\begin{aligned}{\cfrac {d\varepsilon _{1}^{p}}{d\lambda }}&=2(G+H)\sigma _{1}-2H\sigma _ {2}\\{\cfrac {d\varepsilon _{2}^{p}}{d\lambda }}&=2(F+H)\sigma _{2}-2H\sigma _{1}\ \{\cfrac {d\varepsilon _{3}^{p}}{d\lambda }}&=-2G\sigma _{1}-2F\sigma _{2}~.\end{aligned}}$ R-värdet R $\displaystyle R_{0}}$ definieras som förhållandet mellan plasttöjningarna i planet och utanför planet under enaxlig spänning $\sigma _{1}$ . Kvantiteten $R_{90}$ är det plastiska töjningsförhållandet under enaxlig spänning $\sigma _{2}$ . Därför har vi $R_{0}={\cfrac {d\varepsilon _{2}^{p}}{d\varepsilon _{3}^{p}}}={\cfrac {H}{G}}~ ;~~R_{90}={\cfrac {d\varepsilon _{1}^{p}}{d\varepsilon _{3}^{p}}}={\cfrac {H}{F}}~ .$ Sedan, med hjälp av $H=R_{0}G$ och $\sigma _{3}=0$ , kan avkastningsvillkoret skrivas som $f:=F\sigma _{2}^{2}+G\sigma _{1 }^{2}+R_{0}G(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}-1=0\,$ vilket i sin tur kan uttryckas som $\sigma _{1}^{2}+{\cfrac {F+R_{0}G}{G(1+R_{0})}}~\sigma _{2}^{2}- {\cfrac {2R_{0}}{1+R_{0}}}~\sigma _{1}\sigma _{2}={\cfrac {1}{(1+R_{0})G}} ~.$ Detta är av samma form som det önskade uttrycket. Allt vi behöver göra är att uttrycka $F,G$ i termer av $\sigma _{1}^{y}$ . Minnas det, ${\begin{aligned}F&={\ cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{3 }^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\right]\\G&={\cfrac {1 }{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{ y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}\right]\\H&={\cfrac {1}{2 }}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y}) ^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}\right]\end{aligned}}$ Vi kan använda dessa för att få ${\begin{aligned}R_ {0}={\cfrac {H}{G}}&\implies (1+R_{0}){\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}} -(1+R_{0}){\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}=(1-R_{0}){\cfrac {1}{ (\sigma _{1}^{y})^{2}}}\\R_{90}={\cfrac {H}{F}}&\implies (1+R_{90}){\cfrac { 1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-(1-R_{90}){\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^ {2}}}=(1+R_{90}){\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\end{aligned}}$ Lösa för ${\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}},{\cfrac { 1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}$ ger oss ${\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y} )^{2}}}={\cfrac {R_{0}+R_{90}}{(1+R_{0})~R_{90}}}~{\cfrac {1}{(\sigma _ {1}^{y})^{2}}}~;~~{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}={\cfrac {R_{ 0}(1+R_{90})}{(1+R_{0})~R_{90}}}~{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2 }}}$ Att plugga tillbaka till uttrycken för $F,G$ leder till $F={\cfrac {R_{0}}{(1+R_{0})~R_{90}}}~{\cfrac {1} {(\sigma _{1}^{y})^{2}}}~;~~G={\cfrac {1}{1+R_{0}}}~{\cfrac {1}{(\ sigma _{1}^{y})^{2}}}$ vilket innebär det ${\cfrac {1}{G(1+R_{0})}}=(\sigma _{1}^{y})^{2}~;~~{\cfrac {F+R_{ 0}G}{G(1+R_{0})}}={\cfrac {R_{0}(1+R_{90})}{R_{90}(1+R_{0})}}~ .$ Därför kan den plana spänningsformen för det kvadratiska Hill flytningskriteriet uttryckas som $\sigma _{1}^{2 }+{\cfrac {R_{0}~(1+R_{90})}{R_{90}~(1+R_{0})}}~\sigma _{2}^{2}-{\ cfrac {2~R_{0}}{1+R_{0}}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}$

Generaliserat Hill avkastningskriterium

Det generaliserade Hill-avkastningskriteriet har formen

${\begin{aligned}F|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}&+G|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m }+H|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+L|2\sigma _{1}-\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m }\\&+M|2\sigma _{2}-\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+N|2\sigma _{3}-\sigma _{1} -\sigma _{2}|^{m}=\sigma _{y}^{m}~.\end{aligned}}$

där $\sigma _{i}$ är de huvudsakliga spänningarna (som är i linje med anisotropins riktningar), $\sigma _{y}$ är flytspänningen, och F, G, H, L, M, N är konstanter. Värdet på m bestäms av materialets anisotropigrad och måste vara större än 1 för att säkerställa konvexiteten hos flytytan.

Generaliserat Hill avkastningskriterium för anisotropt material

För tvärgående isotropa material där $1-2$ är symmetriplanet, reduceras det generaliserade Hill-avkastningskriteriet till (med $F=G$ och $L=M$ )

${\begin{aligned}f:=&F|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}+G|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+H|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+L|2\sigma _{1}-\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}\\&+L|2\sigma _{2}-\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+N|2\sigma _{3 }-\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0\end{aligned}}$

R -värdet eller Lankford-koefficienten kan bestämmas genom att betrakta situationen där $\sigma _{1}>(\sigma _{2}=\sigma _{3} =0)$ . R-värdet ges då av

$R={\cfrac {(2^{m-1}+2)L-N+H}{(2^{m-1}-1)L+2N+F}}~.$

Under plana spänningsförhållanden och med vissa antaganden kan det generaliserade Hill-kriteriet anta flera former.

• Fall 1: $L=0,H=0.$

$f:={\cfrac {1+2R}{1+R}}(|\sigma _{1}|^{m}+|\sigma _{2}|^{ m})-{\cfrac {R}{1+R}}|\sigma _{1}+\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0$

• Fall 2: $N=0,F=0.$

${\displaystyle f:={\ cfrac {2^{m-1}(1-R)+(R+2)}{(1-2^{m-1})(1+R)}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-{\cfrac {1}{(1-2^{m-1})(1+R)}}(|2\sigma _{1}-\sigma _{2 }|^{m}+|2\sigma _{2}-\sigma _{1}|^{m})-\sigma _{y}^{m}\leq 0} Fall 3$

• : $N=0,H=0.$

$f:={\cfrac {2^{m-1}(1-R)+(R+2)}{(2+2^{m-1})(1+R)}}(| \sigma _{1}|^{m}-|\sigma _{2}|^{m})+{\cfrac {R}{(2+2^{m-1})(1+R)} }(|2\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+|2\sigma _{2}-\sigma _{1}|^{m})-\sigma _{y }^{m}\leq 0$

• Fall 4: $L=0,F=0.$

${\displaystyle f:={\cfrac {1+2R}{2(1+R)}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+{ \cfrac {1}{2(1+R)}}|\sigma _{1}+\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0} Fall$

• 5 : $L=0,N=0.$ . Detta är Hosfords avkastningskriterium .

${\displaystyle f:={\cfrac {1}{1+R}}(|\sigma _{1}|^{m}+|\sigma _{2}|^{m} )+{\cfrac {R}{1+R}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0} Skötsel$

måste övas på att använda dessa former av det generaliserade Hill-avkastningskriteriet eftersom avkastningsytorna blir konkava (ibland till och med obegränsade) för vissa kombinationer av $R$ och $m$ .

Hill 1993 avkastningskriterium

1993 föreslog Hill ett annat avkastningskriterium för planspänningsproblem med plan anisotropi. Hill93-kriteriet har formen

$\left ({\cfrac {\sigma _{1}}{\sigma _{0}}}\right)^{2}+\left({\cfrac {\sigma _{2}}{\sigma _{90} }}\right)^{2}+\left[(p+qc)-{\cfrac {p\sigma _{1}+q\sigma _{2}}{\sigma _{b}}}\right ]\left({\cfrac {\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sigma _{0}\sigma _{90}}}\right)=1$

där $\sigma _{0}$ är den enaxliga sträckgränsen i rullriktningen, $\sigma _{90}$ är den enaxliga sträckgränsen i riktningen vinkelrätt mot rullriktningen, $\sigma _{b}$ är sträckgränsen under enhetlig biaxiell spänning, och $c,p,q$ är parametrar som definieras som

${\begin{aligned}c&={\cfrac {\sigma _{0}}{\sigma _{90}}}+{\cfrac {\sigma _{90}}{\sigma _{0}}}-{\cfrac {\sigma _{0}\sigma _{90}}{\sigma _{b}^{2}}}\\\left( {\cfrac {1}{\sigma _{0}}}+{\cfrac {1}{\sigma _{90}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{b}}}\right) ~p&={\cfrac {2R_{0}(\sigma _{b}-\sigma _{90})}{(1+R_{0})\sigma _{0}^{2}}}-{ \cfrac {2R_{90}\sigma _{b}}{(1+R_{90})\sigma _{90}^{2}}}+{\cfrac {c}{\sigma _{0}} }\\\left({\cfrac {1}{\sigma _{0}}}+{\cfrac {1}{\sigma _{90}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{b }}}\right)~q&={\cfrac {2R_{90}(\sigma _{b}-\sigma _{0})}{(1+R_{90})\sigma _{90}^{ 2}}}-{\cfrac {2R_{0}\sigma _{b}}{(1+R_{0})\sigma _{0}^{2}}}+{\cfrac {c}{\ sigma _{90}}}\end{aligned}}$

och $R_{0}$ är R-värdet för enaxlig spänning i rullriktningen, och $R_{90}$ är R-värdet för enaxlig spänning i riktningen i planet vinkelrät mot rullriktningen.

Utvidgningar av Hills avkastningskriterium

De ursprungliga versionerna av Hill's avkastningskriterium designades för material som inte hade tryckberoende sträckytor som behövs för att modellera polymerer och skum .

Caddell–Raghava–Atkins avkastningskriteriet

En förlängning som tillåter tryckberoende är Caddell–Raghava–Atkins (CRA) modell som har formen

$F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _ {11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2 }+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}=1~.$

Deshpande–Fleck–Ashby avkastningskriteriet

En annan tryckberoende förlängning av Hills kvadratiska avkastningskriterium som har en form som liknar Bresler Pisters avkastningskriterium är Deshpande, Fleck och Ashby (DFA) avkastningskriteriet för bikakestrukturer (används i sandwichkompositkonstruktion ). Detta avkastningskriterium har formen

$F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _ {11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2 }+K(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})^{2}=1~.$

externa länkar

• Avkastningskriterier för aluminium