Hom funktör

Inom matematiken , specifikt inom kategoriteorin , ger hom-set (dvs. uppsättningar av morfismer mellan objekt ) upphov till viktiga funktorer till kategorin av mängder . Dessa funktorer kallas hom-functors och har många tillämpningar inom kategoriteori och andra grenar av matematiken.

Formell definition

Låt C vara en lokalt liten kategori (dvs en kategori för vilken hom-klasser faktiskt är mängder och inte riktiga klasser ).

För alla objekt A och B i C definierar vi två funktioner till kategorin mängder enligt följande:

Hom( A , –) : C → Ställ in	Hom(–, B ) : C → Ställ in
Detta är en kovariansfunktion ges av: Hom( A , –) mappar varje objekt X i C till uppsättningen morfismer, Hom( A , X ) Hom( A , –) mappar varje morfism f : X → Y till funktionen Hom( A , f ) : Hom( A , X ) → Hom( A , Y ) given av $g\mapsto f\circ g$ för varje g i Hom( A , X ).	Detta är en kontravariant funktion som ges av: Hom(–, B ) mappar varje objekt X i C till uppsättningen morfismer, Hom( X , B ) Hom(–, B ) mappar varje morfism h : X → Y till funktionen Hom( h , B ) : Hom( Y , B ) → Hom( X , B ) given av $g\mapsto g\circ h$ för varje g i Hom( Y , B ).

Funktionsfaktorn Hom(–, B ) kallas även funktorn för punkterna i objektet B .

Observera att fixering av det första argumentet i Hom ger naturligtvis upphov till en kovariant funktion och fixering av det andra argumentet ger naturligtvis en kontravariant funktion. Detta är en artefakt av det sätt på vilket man måste komponera morfismerna.

Funktionsparet Hom( A , –) och Hom(–, B ) är relaterade på ett naturligt sätt . För alla par av morfismer f : B → B ′ och h : A ′ → A pendlar följande diagram :

Båda vägarna skickar g : A → B till f ∘ g ∘ h : A ′ → B ′.

Kommutativiteten i diagrammet ovan antyder att Hom(–, –) är en bifunktör från C × C till Set som är kontravariant i det första argumentet och kovariant i det andra. På motsvarande sätt kan vi säga att Hom(–, –) är en bifunktor

Hom(–, –) : C ^op × C → Ställ in

där C ^op är den motsatta kategorin till C . Notationen Hom _C (–, –) används ibland för Hom(–, –) för att framhäva kategorin som utgör domänen.

Yonedas lemma

Med hänvisning till ovanstående kommutativa diagram, observerar man att varje morfism

h : A ′ → A

ger upphov till en naturlig omvandling

Hom( h , –) : Hom( A , –) → Hom( A ′, –)

och varje morfism

f : B → B ′

ger upphov till en naturlig omvandling

Hom(–, f ) : Hom(–, B ) → Hom(–, B ′)

Yonedas lemma antyder att varje naturlig transformation mellan Hom-funktioner är av denna form. Med andra ord ger Hom-funktionerna upphov till en fullständig och trogen inbäddning av kategori C i funktionskategorin Set ^{C ^op} (samvariant eller kontravariant beroende på vilken Hom-funktion som används).

Intern Hom-funktion

Vissa kategorier kan ha en funktion som beter sig som en Hom-funktion, men som tar värden i själva kategorin C , snarare än Set . En sådan funktor hänvisas till som den interna Hom-funktorn och skrivs ofta som

\left[-\ -\right]:C^{\text{op}}\times C\to C

för att framhäva dess produktliknande karaktär, eller som

\mathop {\Rightarrow } :C^{\text{op}}\times C\to C

för att betona dess funktionella natur, eller ibland bara med små bokstäver:

\operatorname {hom} (-,-):C^{\text{op}}\times C\to C.

För exempel, se Kategori av relationer .

Kategorier som har en intern Hom-funktion kallas slutna kategorier . Det har en

\operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)

,

där I är enhetsobjektet för den slutna kategorin. För fallet med en sluten monoidal kategori sträcker sig detta till begreppet currying , nämligen att

\operatorname {Hom} (X,Y\Rightarrow Z)\simeq \operatorname {Hom} (X\otimes Y,Z)

där $\otimes$ är en bifunctor , varvid den interna produktfunktionen definierar en monoidal kategori . Isomorfismen är naturlig i både X och Z. Med andra ord, i en sluten monoidal kategori är den interna Hom-funktionen en angränsande funktion till den interna produkt-funktionen. Objektet $Y\Rightarrow Z$ kallas den interna Hom . När $\otimes$ är den kartesiska produkten $\times$ kallas objektet $Y\Rightarrow Z$ exponentialobjektet och skrivs ofta som $Z ^{Y}$ .

Interna Homs, när de är sammankedjade, bildar ett språk som kallas kategorins interna språk . De mest kända av dessa är helt enkelt maskinskrivna lambdakalkyler , som är det interna språket i kartesiska slutna kategorier , och det linjära typsystemet , som är det interna språket för slutna symmetriska monoidala kategorier .

Egenskaper

Observera att en funktion av formen

Hom(–, A ) : C ^op → Ställ in

är en förkärv ; likaså är Hom( A , –) en copresheaf.

En funktion F : C → Mängd som är naturligt isomorf till Hom( A , –) för en del A i C kallas en representabel funktor (eller representabel copresheaf); på samma sätt kan en kontravariant funktor som motsvarar Hom(–, A ) kallas corepresentable.

Observera att Hom(–, –) : C ^op × C → Set är en profunctor , och specifikt är det identitetsprofunctor $\operatorname {id} _{C}\colon C\ smala C$ .

Den interna hom-funktionen bevarar gränser ; det vill säga $\operatorname {hom} (X,-)\colon C\to C$ skickar gränser till gränser, medan $\operatorname {hom} (-,X)\colon C^{\text{op}}\to C$ skickar gränser i $C^{\text{op}}$ , som är colimits i $C$ , till limits. I en viss mening kan detta tas som definitionen av en limit eller colimit.

Endofunktorn Hom( E , –) : Mängd → Mängd kan ges strukturen för en monad ; denna monad kallas miljö (eller läsar) monad .

Övriga fastigheter

Om A är en abelsk kategori och A är ett objekt av A , då är Hom _A ( A , –) en kovariant vänsterexakt funktion från A till kategorin Ab för abelska grupper . Det är exakt om och endast om A är projektiv .

Låt R vara en ring och M en vänster R - modul . Funktionen Hom _R ( M , –): Mod - R → Ab ^{[ förtydligande behövs ]} är angränsande till tensorproduktens funktion – $\otimes$ _R M : Ab → Mod - R .

Se även

Anteckningar

^ Också vanligen betecknad C ^op → Set , där C ^op betecknar den motsatta kategorin , och detta kodar för det pil-reverserande beteendet för Hom(–, B ).
^ Jacobson (2009), sid. 149, Prop. 3.9.

Mac Lane, Saunders (september 1998). Kategorier för den arbetande matematikern (andra upplagan). Springer. ISBN 0-387-98403-8 .
Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, Categorial Analysis of Logic (reviderad ed.). Dover Publikationer . ISBN 978-0-486-45026-1 . Arkiverad från originalet 2020-03-21 . Hämtad 2009-11-25 .
Jacobson, Nathan (2009). Grundläggande algebra . Vol. 2 (andra upplagan). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7 .

externa länkar

Hom funktör på n Lab
Intern Hom på n Lab

[1] Också vanligen betecknad C ^op → Set , där C ^op betecknar den motsatta kategorin , och detta kodar för det pil-reverserande beteendet för Hom(–, B ).

[2] Jacobson (2009), sid. 149, Prop. 3.9.