Separerande set

Den här artikeln handlar om att separera uppsättningar för funktioner. För användning i grafteori, se anslutning (grafteori) .

I matematik kallas en uppsättning $S$ av funktioner med domän ${\displaystyle D} en$ separerande uppsättning för $D$ och sägs separera punkterna för $D$ (eller bara för att separera punkter ) om det för två distinkta element $x$ och $y$ av $D,$ finns en funktion $f\in S$ så att $f(x)\neq f(y).$

Separerande mängder kan användas för att formulera en version av Stone–Weierstrass-satsen för verkliga funktioner på ett kompakt Hausdorff-rymd $X,$ med topologin för enhetlig konvergens . Den säger att varje subalgebra av detta funktionsutrymme är tätt om och endast om det skiljer punkter. Detta är versionen av satsen som ursprungligen bevisades av Marshall H. Stone .

Exempel

• Singleton -uppsättningen som består av identitetsfunktionen på $\mathbb {R}$ separerar punkterna för $\mathbb {R} .$
• Om $X$ är ett T1 normalt topologiskt utrymme , så anger Urysohns lemma att mängden $C(X)$ av kontinuerliga funktioner på $X$ med reella (eller komplexa ) värden skiljer punkter på $X.$
• Om $X$ är ett lokalt konvext Hausdorff-topologiskt vektorrum över $\mathbb {R}$ eller $\mathbb {C} ,$ så innebär Hahn–Banach-separationssatsen att kontinuerlig linjär funktioner på $X$ separata punkter.

Se även

• Dubbelt system