Initial topologi

I allmän topologi och relaterade områden av matematik , den initiala topologin (eller inducerad topologi eller svag topologi eller gränstopologi eller projektiv topologi ) på en uppsättning $X,$ med avseende på en familj av funktioner på $X,$ är den grövre topologin på X som gör dessa funktioner kontinuerliga .

Subrymdstopologin och produkttopologikonstruktionerna är båda specialfall av initialtopologier . Den initiala topologikonstruktionen kan faktiskt ses som en generalisering av dessa.

Den dubbla begreppet är den slutliga topologin , som för en given familj av funktioner avbildning till en uppsättning $X$ är den finaste topologin på $X$ som gör dessa funktioner kontinuerliga.

Definition

Givet en uppsättning $X$ och en indexerad familj $\left(Y_{i}\right)_{i\in I}$ av topologiska rum med funktioner

$$f_{i}:X\to Y_{i},$$

den initiala topologin $\tau$ på $X$ är den grövre topologin på $X$ så att varje

$$f_{i}:(X,\tau )\to Y_{i}$$

är kontinuerlig .

Definition i termer av öppna uppsättningar

Om $\left(\tau _{i}\right)_{i\in I}$ är en familj av topologier $X$ indexerad med ${\ displaystyle I\neq \varnothing ,}$ så är den minst övre bundna topologin för dessa topologier den grövre topologin på $X$ som är finare än varje $\tau _{i}.$ Denna topologi finns alltid och den är lika med topologin som genereras av ${\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}\tau _{i}}.$

Om för varje $i\in I,$$\sigma _{i}$ betecknar topologin $Y_{i},$ då $f_{i}^{-1}\left(\sigma _{i}\right)=\left\{f_{i} ^{-1}(V):V\in \sigma _{i}\right\}$ är en topologi på $X$ och den initiala topologin för $Y_{i}$ av mappningarna $f_{i}$ är den minst övre bundna topologin i den $I$ -indexerade familjen av topologier $f_{i}^{-1 }\left(\sigma _{i}\right)$ (för ${\displaystyle i\in I} )$ . Explicit är den initiala topologin samlingen av öppna uppsättningar som genereras av alla uppsättningar av formen $f_{i}^{-1}(U),$ där $U$ är en öppen mängd i $Y_{i}$ för vissa $i\in I,$ under finita skärningspunkter och godtyckliga föreningar.

Mängder av formen $f_{i}^{-1}(V)$ kallas ofta cylindermängder . Om $I$ innehåller exakt ett element , då är alla öppna uppsättningar av den initiala topologin $(X,\tau )$ cylindermängder.

Exempel

Flera topologiska konstruktioner kan betraktas som specialfall av den initiala topologin.

• Subrymdstopologin är den initiala topologin på underrummet med avseende på inneslutningskartan .
• Produkttopologin är den initiala topologin med avseende på familjen av projektionskartor .
• Den omvända gränsen för varje inverst system av rum och kontinuerliga kartor är den set-teoretiska inversgränsen tillsammans med den initiala topologin som bestäms av de kanoniska morfismerna.
• Den svaga topologin på ett lokalt konvext utrymme är den initiala topologin med avseende på de kontinuerliga linjära formerna av dess dubbla utrymme .
• Givet en familj av topologier $\left\{\tau _{i}\right\}$ på en fast uppsättning $X$ den initiala topologin på $X$ med avseende på funktionerna ${\displaystyle \operatorname {id} _{i}:X\to \left(X,\tau _{i}\right)} är det$ högsta ( eller join) ) av topologierna $\left\{\tau _{i}\right\}$ i topologiernas gitter på $X.$ Det vill säga den initiala topologin $\tau$ är topologin som genereras av föreningen av topologierna $\left\{\tau _{i}\right\}.$
• Ett topologiskt rum är helt regelbundet om och endast om det har den initiala topologin med avseende på sin familj av ( avgränsade ) kontinuerliga funktioner med reellt värde.
• Varje topologiskt utrymme $X$ har den initiala topologin med avseende på familjen av kontinuerliga funktioner från $X$ till Sierpiński-rummet .

Egenskaper

Karakteristisk egenskap

Den initiala topologin på $X$ kan karakteriseras av följande karakteristiska egenskap: En funktion $g$ från något mellanslag $Z$ till $X$ är kontinuerlig om och endast om $f_{i}\circ g$ är kontinuerlig för varje $i\in I.$

Observera att trots att det ser ganska likt ut är detta inte en universell egenskap. En kategorisk beskrivning ges nedan.

Ett filter ${\mathcal {B}}$ på $X$ konvergerar till en punkt $x\in X$ om och endast om förfiltret $f_{i}\left({\mathcal {B}}\right)$ konvergerar till $f_{i}(x)$ för varje $i\in I.$

Utvärdering

produkttopologins universella egenskap vet vi att varje familj av kontinuerliga kartor $f_{i}:X\to Y_{i}$ en unik kontinuerlig karta

$${\begin{alignedat}{4}f:\;&&X&&\;\to \;&\prod _{i} Y_{i}\\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}\\\end{alignedat}}$$

Denna karta är känd som utvärderingskartan .

En familj av kartor $\{f_{i}:X\to Y_{i}\}$ sägs separera punkter i $X$ om för alla $x\neq y$ i $X$ finns det några $i$ så att $f_{i}(x)\neq f_{i}(y).$ Familjen $\{f_{i}\}$ skiljer poäng om och endast om den tillhörande utvärderingskartan $f$ är injektiv .

Utvärderingskartan $f$ kommer att vara en topologisk inbäddning om och endast om $X$ har den initiala topologin bestämd av kartorna $\{f_{i}\}$ och detta familj av kartor separerar punkter i $X.$

Hausdorffness

Om $X$ har den initiala topologin inducerad av $\left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}$ och om varje $Y_{i}$ är Hausdorff, då är $X$ ett Hausdorff-utrymme om och bara om dessa kartor skiljer punkter på $X.$

Transitivitet för den initiala topologin

Om $X$ har den initiala topologin inducerad av den $I$ -indexerade familjen av mappningar $\left\{f_{i}:X\to Y_ {i}\right\}$ och om för alltid ${\displaystyle i\in I,} är$ topologin på $Y_{i}$ den initiala topologin inducerad av någon $J_{i}$ -indexerad familj av mappningar ${\displaystyle \left\{g_{j}:Y_{i}\to Z_{j}\right\}} ($ som $j$ sträcker sig över $J_{i}$ ), sedan den initiala topologin på $X$ inducerad av $\left\{f_{ i}:X\to Y_{i}\right\}$ är lika med den initiala topologin inducerad av ${\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}J_{i }}$ -indexerad familj av mappningar $\left\{g_{j}\circ f_{i}:X\to Z_{j}\right\}$ eftersom $i$ sträcker sig över $I$ och $j$ sträcker sig över $J_{i}.$ Flera viktiga följder av detta faktum ges nu.

I synnerhet, om $S\subseteq X$ så är subrymdstopologin som $S$ ärver från $X$ lika med den initiala topologin som induceras av inklusionskartan ${\ displaystyle S\to X}$ (definierad av $s\mapsto s$ ). Följaktligen, om $X$ har den initiala topologin inducerad av $\left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}$ då subrymdstopologi som $S$ ärver från $X$ är lika med den initiala topologin som induceras på $S$ av restriktionerna ${\displaystyle \left\{\left.f_{i}\right|_{S}:S\to Y_{i}\right\}} av$ f $\displaystyle f_{ i}}$ till $S.$

Produkttopologin på $\prod _{i}Y_{i}$ är lika med den initiala topologin inducerad av de kanoniska projektionerna ${\displaystyle$ i } $sig$ över $I.$ Följaktligen, den initiala topologin på $X$ inducerad av $\left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right \}$ är lika med den omvända bilden av produkttopologin på $\prod _{i}Y_{i}$ av utvärderingskartan ${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}\,.}$ Dessutom, om kartorna $\left\{f_{i}\right\}_ {i\in I}$ skiljer punkter på $X$ då är utvärderingskartan en homeomorfism på delutrymmet $f(X)$ i produktutrymmet $\prod _{i}Y_{i}.$

Skiljepunkter från slutna set

Om ett mellanslag $X$ är utrustat med en topologi, är det ofta användbart att veta om topologin på $X$ är den initiala topologin som induceras av någon familj av kartor på $X.$ Detta avsnitt ger ett tillräckligt (men inte nödvändigt) villkor.

En familj av kartor $\left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}$ skiljer punkter från slutna uppsättningar i $X$ om för alla slutna uppsättningar $A$ i $X$ och alla $x\not \in X,$ finns det några $i$ så att

$$f_{i}(x)\notin \operatörsnamn {cl} (f_{i}(A))$$

där $\operatorname {cl}$ betecknar stängningsoperatorn .

Teorem . En familj av kontinuerliga kartor $\left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}$ skiljer punkter från slutna uppsättningar om och endast om cylindern sätter $f_{i}^{-1}(V),$ för $V$ öppen i $Y_{i},$ bildar en bas för topologin på $X.$

Det följer att närhelst $\left\{f_{i}\right\}$ skiljer punkter från slutna uppsättningar, har utrymmet $X$ den initiala topologin som induceras av kartorna $\left\{f_{i}\right\}.$ Det omvända misslyckas, eftersom cylinderuppsättningarna i allmänhet endast kommer att bilda en subbas (och inte en bas) för den initiala topologin.

Om utrymmet $X$ är ett ₀ T- mellanslag , då är vilken samling kartor som helst $\left\{f_{i}\right\}$ som skiljer punkter från slutna mängder i $X$ måste också separera punkter. I det här fallet kommer utvärderingskartan att vara en inbäddning.

Initial enhetlig struktur

Huvudartikel: Uniform space

If ${\displaystyle \left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}} är$ en familj av enhetliga strukturer på $X$ indexerad av $I\neq \varnothing ,$ sedan den minst övre bundna enhetliga strukturen av $\left({\mathcal {U}}_{i}\right) _{i\in I}$ är den grövre enhetliga strukturen på $X$ som är finare än varje ${\mathcal {U}}_{i}.$ Denna enhet finns alltid och den är lika med filtret på $X\times X$ som genereras av filtersubbasen ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}{\mathcal {U}}_{i}}.} Om τ i {\displaystyle \tau _{i$ } $topologin$ på ${ \displaystyle X}$ inducerad av den enhetliga strukturen ${\mathcal {U}}_{i}$ så är topologin på $X$ associerad med minsta övre gräns enhetlig struktur lika med den minsta övre gränsen topologi för $\left(\tau _{i}\right)_{i\in I}.$

Antag nu att $\left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}$ är en familj av kartor och för varje ${\ displaystyle i\in I,}$ låt ${\mathcal {U}}_{i}$ vara en enhetlig struktur på $Y_{i}.$ Då är den initiala enhetliga strukturen för $Y_{i}$ av mappningarna $f_{i}$ den unika grovaste enhetliga strukturen ${ \mathcal {U}}$ på $X$ vilket gör alla $f_{i}:\left(X,{\mathcal {U }}\right)\to \left(Y_{i},{\mathcal {U}}_{i}\right)$ jämnt kontinuerlig . Den är lika med den minst övre bundna enhetliga strukturen i den $I$ -indexerade familjen av enhetliga strukturer ${\displaystyle f_{i}^{-1}\left({\$ (för ${\displaystyle i\in I} )$ . Topologin på $X$ inducerad av ${\mathcal {U}}$ är den grövre topologin på $X$ så att varje $f_{i }:X\to Y_{i}$ är kontinuerlig. Den initiala enhetliga strukturen ${\mathcal {U}}$ är också lika med den grövre enhetliga strukturen så att identitetsmappningarna ${ \displaystyle \operatorname {id} :\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(X,f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_ {i}\right)\right)}$ är likformigt kontinuerliga.

Hausdorffness : Topologin på $X$ inducerad av den initiala enhetliga strukturen ${\mathcal {U}}$ är Hausdorff om och endast om för närhelst $x,y\in X$ är distinkta ( $x\neq y$ ) så finns det några $i\in I$ och några entourage $V_{i}\in { \mathcal {U}}_{i}$ av $Y_{i}$ så att ${\displaystyle \left(f_{i}(x),f_{i}(y)\right)\inte \in V_{i}.} Dessutom, om för varje index i ∈ I,$ { $in I,}$ topologin på $Y_{i}$ inducerad av ${\mathcal {U}}_{i}$ är Hausdorff, sedan topologin på $X$ inducerad av initial enhetlig struktur ${\mathcal {U}}$ är Hausdorff om och endast om kartorna $\left\{f_{i}:X\to Y_{i }\right\}$ separata punkter på $X$ (eller motsvarande, om och endast om utvärderingskartan ${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{ i}}$ är injektiv)

Uniform kontinuitet : Om ${\mathcal {U}}$ är den initiala enhetliga strukturen som induceras av mappningarna $\left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\},$ sedan en funktion $g$ från ett enhetligt utrymme $Z$ till $(X,{\mathcal {U}})$ är likformigt kontinuerlig om och endast om $f_{i}\circ g:Z\to Y_{i}$ är likformigt kontinuerlig för varje $i\in I.$

Cauchy-filter : Ett filter ${\mathcal {B}}$ på $X$ är ett Cauchy-filter på $(X,{\mathcal {U}})$ om och endast om $f_{i}\left({\mathcal {B}}\right)$ är ett Cauchy-förfilter på $Y_{i}$ för varje $i\in I.$

Transitivitet för den initiala enhetliga strukturen : Om ordet "topologi" ersätts med "enhetlig struktur" i uttrycket " transitivitet för den initiala topologin " som ges ovan, kommer det resulterande påståendet också att vara sant.

Kategorisk beskrivning

På kategoriteorin kan den initiala topologikonstruktionen beskrivas enligt följande. Låt $Y$ vara funktionatorn från en diskret kategori $J$ till kategorin topologiska utrymmen $\mathrm {Top}$ som mappar $j\mapsto Y_{j}$ . Låt $U$ vara den vanliga glömska funktorn från $\mathrm {Top}$ till $\mathrm {Set}$ . Kartorna $f_{j}:X\to Y_{j}$ kan då ses som en kon från $X$ till $UY.$ Det vill säga $(X,f)$ är ett objekt av $\mathrm {Cone } (UY):=(\Delta \downarrow {UY})$ —kategorin koner till $UY.$ Mer exakt definierar denna kon $(X,f)$ en $U$ -strukturerad cosink i $\mathrm {Set} .$

Den glömska funktorn $U:\mathrm {Top} \to \mathrm {Set}$ inducerar en funktor ${\bar {U}}:\mathrm {Cone} (Y)\to \mathrm {Cone} (UY)$ . Den karakteristiska egenskapen för den initiala topologin är ekvivalent med påståendet att det finns en universell morfism från ${\bar {U}}$ till $(X,f);$ det vill säga ett terminalobjekt i kategorin ${\displaystyle \left({\bar {U}}\downarrow (X,f)\right).} Detta$ består uttryckligen av ett objekt $I(X,f)$ i $\mathrm {Cone} (Y)$ tillsammans med en morfism $\varepsilon :{\bar {U} }I(X,f)\to (X,f)$ så att för alla objekt $(Z,g)$ i $\mathrm {Cone} (Y)$ och morfism ${\displaystyle \varphi :{\bar {U}}(Z,g)\to (X,f)} det$ finns en unik morfism $\zeta :(Z,g)\to I(X,f)$ så att följande diagram pendlar:

Tilldelningen $(X,f)\mapsto I(X,f)$ som placerar den initiala topologin på $X$ sträcker sig till en funktion $I:\mathrm {Cone} (UY)\to \mathrm {Cone} (Y)$ som ligger i direkt anslutning till den glömska funktorn ${\bar {U}}.$ I själva verket är $I$ en höger-invers till ${\bar {U}}$ ; eftersom ${\bar {U}}I$ är identitetsfunktionen på $\mathrm {Cone} (UY).$

Se även

• Slutlig topologi – Finaste topologin som gör vissa funktioner kontinuerliga
• Produkttopologi – Topologi på kartesiska produkter av topologiska utrymmen
• Quotient space (topologi) – Topologisk rymdkonstruktion
• Subrymdstopologi

Bibliografi

•    Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Allmän topologi: Kapitel 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1 . OCLC 18588129 .
•    Bourbaki, Nicolas (1989) [1967]. Allmän topologi 2: Kapitel 5–10 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Vol. 4. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4 . OCLC 246032063 .
•    Dugundji, James (1966). Topologi . Boston: Allyn och Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7 . OCLC 395340485 .
•    Grothendieck, Alexander (1973). Topologiska vektorutrymmen . Översatt av Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7 . OCLC 886098 .
•    Willard, Stephen (2004) [1970]. Allmän topologi . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7 . OCLC 115240 .
•   Willard, Stephen (1970). Allmän topologi . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6 .

externa länkar

• Initial topologi på PlanetMath .
• Produkttopologi och subrymdtopologi på PlanetMath .