Filtrering (matematik)

I matematik är en filtrering ${\mathcal {F}}$ en indexerad familj $(S_{i})_{i\in I}$ subobjekt till en given algebraisk struktur $S$ , med index $i$ som löper över någon helt ordnad indexuppsättning $I$ , under förutsättning att

om

i\leq j

i

I

, då

S_{i}\subseteq S_{j}

.

Om indexet $i$ är tidsparametern för någon stokastisk process , så kan filtreringen tolkas som att representera all historisk men inte framtida tillgänglig information om den stokastiska processen, med den algebraiska strukturen $S_{i }$ ökar i komplexitet med tiden. Därför kallas en process som är anpassad till en filtrering ${\mathcal {F}}$ också non-anticipating , eftersom den inte kan "se in i framtiden".

Ibland, som i en filtrerad algebra , finns det istället kravet att $S_{i}$ är subalgebra med avseende på vissa operationer (säg vektoraddition , men inte med avseende på andra operationer (säg multiplikation) ) som bara uppfyller ${\displaystyle S_{i}\cdot S_{j}\subseteq S_{i+j}} ,$ där indexmängden är de naturliga talen ; detta är i analogi med en graderad algebra .

Ibland antas filtreringar uppfylla det ytterligare kravet att föreningen av $S_{i}$ är hela ${\displaystyle S} , eller ($ mer allmänna fall, när begreppet förening inte gör känsla) att den kanoniska homomorfismen från den direkta gränsen för $\displaystyle S_{i}}$ till $S$ är en isomorfism . Huruvida detta krav antas eller inte beror vanligtvis på författaren till texten och anges ofta uttryckligen. Denna artikel inte detta krav.

Det finns också föreställningen om en fallande filtrering , som krävs för att uppfylla $S_{i}\supseteq S_{j}$ i stället för $S_{i}\ subseteq S_{j}$ (och, ibland, $\bigcap _{i\in I}S_{i}=0$ $\bigcup _{i\in I}S_{i}=S$ för ). Återigen beror det på sammanhanget hur exakt ordet "filtrering" ska förstås. Fallande filtreringar ska inte förväxlas med det dubbla begreppet samfiltrering (som består av kvotobjekt snarare än subobjekt ).

Filtrering används ofta i abstrakt algebra , homologisk algebra (där de är relaterade på ett viktigt sätt till spektralsekvenser ), och i måttteori och sannolikhetsteori för kapslade sekvenser av σ-algebror . I funktionsanalys och numerisk analys används vanligen annan terminologi, såsom skala av utrymmen eller kapslade utrymmen.

Exempel

Algebra

Algebras

Se: Filtrerad algebra

Grupper

I algebra indexeras filtreringar vanligtvis med ${\displaystyle \mathbb {N} } ,$ uppsättningen naturliga tal . En filtrering av en grupp $G$ är då en kapslad sekvens $G_{n}$ av normala undergrupper av $G$ (det vill säga för alla $n$ vi har ${\displaystyle G_{n+1}\subseteq G_{n}} )$ . Observera att denna användning av ordet "filtrering" motsvarar vår "sjunkande filtrering".

Givet en grupp $G$ och en filtrering $G_{n}$ finns det ett naturligt sätt att definiera en topologi på ${\displaystyle G},$ som sägs vara associerad med filtreringen. En grund för denna topologi är mängden av alla bimängder av undergrupper som förekommer i filtreringen, det vill säga en undermängd av $G$ definieras som öppen om den är en union av mängder av formen ${\ displaystyle aG_{n}}$ , där $a\in G$ och $n$ är ett naturligt tal.

Topologin associerad med en filtrering på en grupp $G$ gör $G$ till en topologisk grupp .

Topologin associerad med en filtrering $G_{n}$ på en grupp $G$ är Hausdorff om och endast om $\bigcap G_{n}=\{ 1\}$ .

Om två filtreringar $G_{n}$ och $G'_{n}$ är definierade på en grupp $G$ , då är identitetskartan från $G$ till $G$ , där den första kopian av $G$ ges $G_{n}$ -topologin och den andra $G'_{n}$ -topologi, är kontinuerlig om och endast om det för någon $n$ finns en $m$ så att $G_{m}\subseteq G'_{n}$ , det vill säga om och endast om identitetskartan är kontinuerlig vid 1. I synnerhet definierar de två filtrationerna samma topologi om och endast om det för någon undergrupp som förekommer i den ena finns en mindre eller lika stor som förekommer i den andra.

Ringar och moduler: fallande filtreringar

Givet en ring $R$ och en $R$ -modul $M$ , är en fallande filtrering av $M$ en minskande sekvens av undermoduler $M_{n }$ . Detta är därför ett specialfall av begreppet grupper, med det ytterligare villkoret att undergrupperna är undermoduler. Den associerade topologin definieras som för grupper.

Ett viktigt specialfall är känt som $I$ -adic-topologin (eller $J$ -adic, etc.): Låt $R$ vara en kommutativ ring , och $I$ ett ideal för $R$ . Givet en $R$ -modul $M$ , bildar sekvensen $I^{n}M$ av undermodulerna till $M$ en filtrering av $M}$ . I $I$ -adic-topologin på $displaystyle M}$ är då topologin som är associerad med denna filtrering. Om $M$ bara är ringen $R$ själv, har vi definierat $I$ -adiska topologin på $R$ .

När $R$ ges $I$ -adisk topologi, blir $R$ en topologisk ring . Om en $R$ -modul $M$ sedan ges $I$ -adic-topologin, blir den en topologisk $R$ -modul , i förhållande till topologin som ges på $R$ .

Ringar och moduler: stigande filtreringar

Givet en ring $R$ och en $R$ -modul $M$ , är en stigande filtrering av $M$ en ökande sekvens av undermoduler $M_{n }$ . Speciellt, om $R$ är ett fält, då är en stigande filtrering av $R$ -vektorrymden $M$ en ökande sekvens av vektorunderrymden av $M$ . Flaggor är en viktig klass av sådana filtreringar.

Uppsättningar

En maximal filtrering av en uppsättning motsvarar en ordning (en permutation ) av uppsättningen. Till exempel, filtreringen $\{0\}\subseteq \{0,1\}\subseteq \{0,1,2\}$ motsvarar till exempel ordningen $(0,1,2)$ . Ur synvinkeln av fältet med ett element motsvarar en ordning på en uppsättning en maximal flagga (en filtrering på ett vektorutrymme), och betraktar en uppsättning som ett vektorrum över fältet med ett element.

Mät teori

Inom måttteorin , i synnerhet inom martingaleteorin och teorin om stokastiska processer , är en filtrering en ökande sekvens av $\sigma$ -algebror på ett mätbart utrymme . Det vill säga, givet ett mätbart utrymme $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ , är en filtrering en sekvens av $\sigma$ -algebras $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}$ med ${\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}$ där varje $t$ är ett icke-negativt reellt tal och

t_{1}\leq t_{2}\implies {\mathcal {F}}_{t_{1}}\subseteq {\mathcal {F}}_{t_{2}}.

Det exakta intervallet för "tiderna" $t$ kommer vanligtvis att bero på sammanhanget: uppsättningen värden för $t$ kan vara diskret eller kontinuerlig, begränsad eller obegränsad. Till exempel,

t\in \{0,1,\dots ,N\},\mathbb {N} _{0},[0,T]{\mbox{ eller }}[0,+\infty ).

På liknande sätt, ett filtrerat sannolikhetsutrymme (även känt som en stokastisk bas ) ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{ \mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)} , är ett sannolikhetsutrymme utrustat med filtreringen$ { F t $\ vänster\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0}}$ av dess $\sigma$ -algebra ${\mathcal {F}}$ . Ett filtrerat sannolikhetsutrymme sägs uppfylla de vanliga villkoren om det är komplett (dvs. ${\mathcal {F}}_{0}$ innehåller alla $\mathbb {P}$ - nolluppsättningar ) och högerkontinuerlig (dvs ${\mathcal {F}}_{t}={\mathcal {F}}_{t+}:=\bigcap _{s>t}{\mathcal {F}}_{s}$ för alla tider $t$ ).

Det är också användbart (i fallet med en obegränsad indexuppsättning) att definiera ${\mathcal {F}}_{\infty }$ som $\sigma$ -algebra genererad av den oändliga unionen av ${\mathcal {F}}_{t}$ s, som ingår i ${\mathcal {F}}$ :

{\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma \left(\bigcup _{t\geq 0}{\mathcal {F}}_{t}\right)\subseteq {\mathcal { F}}.

En σ -algebra definierar mängden händelser som kan mätas, vilket i ett sannolikhetssammanhang är ekvivalent med händelser som kan särskiljas, eller "frågor som kan besvaras vid tidpunkten t {\ $t}$ ". Därför används ofta en filtrering för att representera förändringen i uppsättningen av händelser som kan mätas, genom vinst eller förlust av information . Ett typiskt exempel är matematisk ekonomi , där en filtrering representerar den information som är tillgänglig fram till och med varje gång $\displaystyle t} ,$ och blir mer och mer exakt (uppsättningen av mätbara händelser förblir densamma eller ökar) när mer information från utvecklingen av aktiekursen blir tillgänglig.

Förhållande till stopptider: stopptid sigma-algebror

Låt $\left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\ }_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)$ vara ett filtrerat sannolikhetsutrymme. En slumpvariabel $\tau :\Omega \rightarrow [0,\infty ]$ är en stopptid med avseende på filtreringen $\left\{ {\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0}$ , om $\{\tau \leq t\}\i {\mathcal {F}}_{t}$ för alla $t\geq 0$ . Stopptiden $\displaystyle \sigma }$ { -algebra är nu definierad som

{\mathcal {F}}_{\tau }:=\{A\in {\mathcal {F}}\vert \forall t\ geq 0\colon A\cap \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}\}

.

Det är inte svårt att visa att ${\mathcal {F}}_{\tau }$ verkligen är en $\sigma$ -algebra . Mängden ${\mathcal {F}}_{\tau }$ kodar information upp till den slumpmässiga tiden $\tau$ i den meningen att om det filtrerade sannolikhetsutrymmet tolkas som ett slumpmässigt experiment , den maximala information som kan hittas om det från att man godtyckligt ofta upprepar experimentet tills den slumpmässiga tiden $\tau$ är ${\mathcal {F}}_{\tau }$ . I synnerhet om det underliggande sannolikhetsutrymmet är ändligt (dvs. ${\mathcal {F}}$ är ändligt), de minimala uppsättningarna av ${\mathcal {F}}_{\tau }$ (med avseende på inkludering av mängd) ges av facket över alla $t\geq 0$ av uppsättningarna av minimala uppsättningar av ${\mathcal {F}}_{t}$ som ligger i $\{\tau =t\}$ .

Det kan visas att $\tau$ är ${\mathcal {F}}_{\tau }$ -mätbar. Enkla exempel visar dock att, i allmänhet, $\sigma (\tau )\neq {\mathcal {F}}_{\tau }$ . Om $\tau _{1}$ och $\tau _{2}$ $\left( \Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)$ stopptider på ( och $\tau _{1}\leq \tau _{2}$ nästan säkert , sedan ${\mathcal {F}}_{\tau _{1}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\tau _{2}}.$

Se även

Øksendal, Bernt K. (2003). Stokastiska differentialekvationer: en introduktion med applikationer . Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2 .