Pseudo-abelsk kategori

Inom matematiken , särskilt inom kategoriteorin , är en pseudo-abelsk kategori en kategori som är preadditiv och är sådan att varje idempotent har en kärna . Kom ihåg att en idempotent morfism $p$ är en endomorfism av ett objekt med egenskapen att $p\circ p=p$ . Elementära överväganden visar att varje idempotent då har en kokkärna. Det pseudo-abelska tillståndet är starkare än preadditivitet, men det är svagare än kravet att varje morfism har en kärna och kokkärna, vilket är sant för abelska kategorier .

Synonymer i litteraturen för pseudo-abelian inkluderar pseudoabelian och karoubian .

Exempel

Alla abelska kategorier , särskilt kategorin Ab av abelska grupper , är pseudo-abelska. Ja, i en abelsk kategori varje morfism en kärna.

Kategorin av associativa rngs (inte ringar !) tillsammans med multiplikativa morfismer är pseudo-abelisk.

Ett mer komplicerat exempel är kategorin Chow-motiv. Konstruktionen av Chow-motiv använder den pseudo-abelska kompletteringen som beskrivs nedan.

Pseudo-abelsk avslutning

Karoubi -kuvertkonstruktionen associerar till en godtycklig kategori $C$ en kategori $kar(C)$ tillsammans med en funktor

$s:C\rightarrow kar(C)$

så att bilden $s(p)$ av varje idempotent $p$ i $C$ delas i $kar(C)$ . När den tillämpas på en preadditiv kategori $C$ , ger Karoubi-kuvertkonstruktionen en pseudo-abelsk kategori $kar(C)$ som kallas den pseudo-abeliska kompletteringen av $C$ . Dessutom funktionären

$C\rightarrow kar(C)$

är i själva verket en additiv morfism.

För att vara exakt, givet en preadditiv kategori $C$ konstruerar vi en pseudo-abelsk kategori $kar(C)$ på följande sätt. Objekten för $kar(C)$ är par $(X,p)$ där $X$ är ett objekt av $C$ och $p$ är en idempotent av $X$ . Morfismerna

$f:(X,p)\högerpil (Y,q)$

i $kar(C)$ är dessa morfismer

$f:X\högerpil Y$

så att $f=q\circ f=f\circ p$ i $C$ . Funktionären

$C\rightarrow kar(C)$

ges genom att ta $X$ till $(X,id_{X})$ .

Citat

• Artin, Michael (1972). Alexandre Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (red.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Föreläsningsanteckningar i matematik 269 ) (på franska). Berlin; New York: Springer-Verlag . xix+525.