Schröder–Bernstein fastighet

En Schröder–Bernstein-egenskap är vilken matematisk egenskap som helst som matchar följande mönster

Om, för vissa matematiska objekt X och Y , båda X liknar en del av Y och Y liknar en del av X , så är X och Y lika (till varandra).

Namnet Schröder–Bernstein (eller Cantor–Schröder–Bernstein, eller Cantor–Bernstein) egenskap är i analogi med satsen med samma namn (från mängdlära).

Schröder–Bernstein fastigheter


Spegel-i-spegelbilder som motexempel: Den vänstra bilden kan bäddas in i den högra och vice versa (nedan, vänster/mitten); ändå är båda inte lika. Schröder-Bernstein-satsen som tillämpas på de ostrukturerade pixeluppsättningarna erhåller en icke- kontinuerlig bijektion (höger).

För att definiera en specifik Schröder-Bernstein-egendom bör man bestämma sig

vilken typ av matematiska objekt är X och Y ,
vad menas med "en del",
vad som menas med "liknande".

I den klassiska (Cantor–)Schröder–Bernsteins sats ,

objekt är mängder (kanske oändliga ),
"en del" tolkas som en delmängd ,
"liknande" tolkas som lika många .

Alla påståenden i denna form är inte sanna. Anta till exempel det

objekt är trianglar ,
"en del" betyder en triangel inuti den givna triangeln,
"liknande" tolkas som vanligt i elementär geometri: trianglar relaterade genom en utvidgning (med andra ord "trianglar med samma form upp till en skalfaktor", eller motsvarande "trianglar med samma vinklar").

Då misslyckas påståendet illa: varje triangel X liknar uppenbarligen någon triangel inuti Y , och tvärtom; X och Y behöver dock inte vara lika.

En Schröder–Bernstein-fastighet är samägande

en klass av föremål,
en binär relation "vara en del av",
en binär relation "vara lik" (likhet).

Istället för relationen "vara en del av" kan man använda en binär relation "vara inbäddningsbar i" (inbäddningsbarhet) tolkad som "likna någon del av". Då har en Schröder–Bernstein-fastighet följande form.

Om X är inbäddningsbar i Y och Y är inbäddningsbar i X så är X och Y lika.

Samma sak med kategoriteorin :

Om objekt X , Y är sådana att X injicerar i Y (mer formellt finns det en monomorfism från X till Y ) och även Y injicerar i X så är X och Y isomorfa (mer formellt finns det en isomorfism från X till Y ) .

Relationen "injicerar i" är en förordning (det vill säga en reflexiv och transitiv relation), och "vara isomorf" är en ekvivalensrelation . Också inbäddningsbarhet är vanligtvis en förbeställning, och likhet är vanligtvis en ekvivalensrelation (vilket är naturligt, men inte bevisbart i frånvaro av formella definitioner). I allmänhet leder en förbeställning till en ekvivalensrelation och en partiell ordning mellan motsvarande ekvivalensklasser . Schröder-Bernstein-egenskapen hävdar att inbäddningsbarhetsförordningen (förutsatt att det är en förbeställning) leder till likhetsekvivalensrelationen och en partiell ordning (inte bara förbeställning) mellan klasser av liknande objekt.

Schröder–Bernsteins problem och Schröder–Bernsteins satser

Problemet med att avgöra om en Schröder-Bernstein-egenskap (för en given klass och två relationer) håller eller inte, kallas ett Schröder-Bernstein-problem. Ett teorem som anger en Schröder–Bernstein-egenskap (för en given klass och två relationer), och därmed löser Schröder–Bernstein-problemet jakande, kallas en Schröder–Bernstein-sats (för den givna klassen och två relationer), inte att vara förväxlas med den ovan nämnda klassiska (Cantor–)Schröder–Bernstein-satsen.

Schröder -Bernstein-satsen för mätbara utrymmen anger Schröder-Bernstein-egenskapen för följande fall:

objekt är mätbara utrymmen,
"en del" tolkas som en mätbar delmängd som behandlas som ett mätbart utrymme,
"liknande" tolkas som isomorft.

I Schröder–Bernsteins sats för operatoralgebror ,

objekt är projektioner i en given von Neumann-algebra;
"en del" tolkas som en delprojektion (det vill säga E är en del av F om F – E är en projektion);
" E liknar F " betyder att E och F är de initiala och slutliga projektionerna av viss partiell isometri i algebra (det vill säga E = V*V och F = VV* för något V i algebra).

Med hänsyn till att kommutativa von Neumann-algebror är nära besläktade med mätbara rum, kan man säga att Schröder-Bernstein-satsen för operatoralgebror i någon mening är en icke-kommutativ motsvarighet till Schröder-Bernstein-satsen för mätbara rum.

Myhill isomorphism theorem kan ses som en Schröder-Bernstein teorem i beräkningsbarhetsteorin . Det finns också en Schröder–Bernstein-sats för Borel-mängder .

Banachutrymmen bryter mot Schröder–Bernsteins egendom; här

objekt är Banach-utrymmen,
"en del" tolkas som ett delrum eller ett kompletterat delrum,
"liknande" tolkas som linjärt homeomorft.

Många andra Schröder-Bernstein-problem relaterade till olika rum och algebraiska strukturer (grupper, ringar, fält etc.) diskuteras av informella grupper av matematiker (se Externa länkar nedan).

Anteckningar

Se även

Kommutativ von Neumann algebras

Den här artikeln innehåller material från Citizendium- artikeln " Schröder–Bernstein-egendom ", som är licensierad under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported-licens men inte under GFDL .

Srivastava, SM (1998), A Course on Borel Sets , Springer, ISBN 0-387-98412-7 .
Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1986), Fundamentals of the theory of operator algebras, vol. II, Academic Press, ISBN 0-12-393302-1 .
Gowers, WT (1996), "En lösning på Schroeder-Bernstein-problemet för Banach-utrymmen", Bull . London Math. Soc. , 28 (3): 297–304, doi : 10.1112/blms/28.3.297 , hdl : 10338.dmlcz/127757 , arkiverad från originalet 2013-01-13 .
Casazza, PG (1989), "Schroeder-Bernstein-egendomen för Banach-utrymmen", Contemp. Matematik. , Contemporary Mathematics, 85 : 61–78, doi : 10.1090/conm/085/983381 , ISBN 9780821850923 , MR 0983381 .

externa länkar

Tema och variationer: Schroeder-Bernstein - Olika Schröder-Bernstein-problem diskuteras i en gruppblogg av 8 nyligen genomförda Berkeley matematik Ph.D.
När håller kantor Bernstein? - "Mathoverflow" diskuterar frågan i termer av kategoriteori: "Kan vi karakterisera Cantor-Bernsteinness i termer av andra kategoriska egenskaper?"