Sammanslagningsfastighet

Ett kommutativt diagram över sammanslagningsegenskapen.

Inom det matematiska området modellteori är sammanläggningsegenskapen en egenskap hos samlingar av strukturer som under vissa förutsättningar garanterar att två strukturer i samlingen kan betraktas som understrukturer till en större.

Denna egenskap spelar en avgörande roll i Fraïssés teorem , som kännetecknar klasser av ändliga strukturer som uppstår som åldrar av räknebara homogena strukturer.

Diagrammet över sammanslagningsegenskapen förekommer inom många områden av matematisk logik . Exempel inkluderar i modal logik som en incestuell tillgänglighetsrelation, ^{[ förtydligande behövs ]} och i lambdakalkyl som ett sätt att reducera med egenskapen Church–Rosser .

Definition

Ett amalgam kan formellt definieras som en 5-tuppel ( A,f,B,g,C ) så att A,B,C är strukturer med samma signatur och f: A → B, g : A → C är inbäddningar . Kom ihåg att f: A → B är en inbäddning om f är en injektiv morfism som inducerar en isomorfism från A till understrukturen f(A) av B .

En klass K av strukturer har amalgameringsegenskapen om det för varje amalgam med A,B,C ∈ K och A ≠ Ø finns både en struktur D ∈ K och inbäddningar f': B → D, g': C → D sådana den där

f'\circ f=g'\circ g.\,

En första ordningens teori $T$ har amalgamationsegenskapen om klassen av modeller av $T$ har amalgamationsegenskapen. Sammanslagningsegenskapen har vissa kopplingar till kvantifierarelimineringen .

I allmänhet kan sammanslagningsegenskapen övervägas för en kategori med ett specificerat val av klass av morfismer (i stället för inbäddningar). Denna uppfattning är relaterad till den kategoriska uppfattningen om en pullback , i synnerhet i samband med den starka sammanslagningsegenskapen (se nedan).

Exempel

Klassen av uppsättningar, där inbäddningarna är injektiva funktioner, och om de antas vara inneslutningar är ett amalgam helt enkelt föreningen av de två uppsättningarna.
Klassen av fria grupper där inbäddningarna är injektiva homomorfismer och (förutsatt att de är inneslutningar) ett amalgam är kvotgruppen ${\displaystyle B*C/A} ,$ där * är den fria produkten .
Klassen av ändliga linjära ordningar .

En liknande men annorlunda uppfattning om sammanläggningsfastigheten är den gemensamma inbäddningsfastigheten . För att se skillnaden, överväg först klass K (eller helt enkelt uppsättningen) som innehåller tre modeller med linjär ordning, L ₁ i storlek ett, L ₂ i storlek två och L ₃ i storlek tre. Denna klass K har den gemensamma inbäddningsegenskapen eftersom alla tre modellerna kan bäddas in i L ₃ . K har dock inte sammanläggningsegendomen. Motexemplet för detta börjar med att L ₁ innehåller ett enda element e och sträcker sig på två olika sätt till L ₃ , ett där e är minst och det andra där e är störst. Nu måste alla vanliga modeller med en inbäddning från dessa två förlängningar vara minst i storlek fem så att det finns två element på vardera sidan av e .

Betrakta nu klassen av algebraiskt slutna fält . Den här klassen har sammanslagningsegenskapen eftersom två valfria fältförlängningar av ett primfält kan bäddas in i ett gemensamt fält. Två godtyckliga fält kan dock inte bäddas in i ett gemensamt fält när fältens egenskaper skiljer sig åt.

Stark sammanslagningsfastighet

En klass K av strukturer har den starka amalgamationsegenskapen (SAP), även kallad disjoint amalgamation-egenskapen (DAP), om det för varje amalgam med A,B,C ∈ K finns både en struktur D ∈ K och inbäddningar f': B → D, g': C → D så att

f'\circ f=g'\circ g\,

och

{\displaystyle f'[B]\cap g'[C]=(f'\circ f)[A]=(g'\circ g)[A]\,} där

för valfri mängd X och funktion h på X,

h\lbrack X\rbrack =\lbrace h(x)\mid x\in X\rbrace .\,

Se även

Referenser

Hodges, Wilfrid (1997). En kortare modellteori . Cambridge University Press . ISBN 0-521-58713-1 .
Inlägg om sammanslagningsegenskap och stark sammanslagningsegenskap i onlinedatabas med klasser av algebraiska strukturer ( Institutionen för matematik och datavetenskap, Chapman University).
EW Kiss, L. Márki, P. Pröhle, W. Tholen, Kategoriska algebraiska egenskaper. Ett kompendium om sammanslagning, kongruensförlängning, epimorfismer, kvarvarande litenhet och injektivitet, Studia Sci. Matematik. Hungar 18 (1), 79-141, 1983 hela tidskriftsnumret .