Casorati–Weierstrass teorem

I komplex analys , en gren av matematiken, beskriver Casorati–Weierstrass-satsen beteendet hos holomorfa funktioner nära deras väsentliga singulariteter . Den är uppkallad efter Karl Theodor Wilhelm Weierstrass och Felice Casorati . I rysk litteratur kallas det för Sokhotskis teorem.

Formellt uttalande av satsen

Börja med någon öppen delmängd $U$ i det komplexa planet som innehåller talet $z_{0}$ , och en funktion $f$ som är holomorf på $U \setminus \{z_{0}\}$ , men har en väsentlig singularitet vid $z_{0}$ . Casorati –Weierstrass-satsen säger sedan det

om $V$ är någon omgivning av $z_{0}$ som finns i $U$ , då $f(V\setminus \{z_{ 0}\})$ är tät i $\mathbb {C}$ .

Detta kan också sägas så här:

för alla $\varepsilon >0,\delta >0$ och ett komplext tal $w$ , finns det ett komplext tal $z$ i $U$ med $0<|z-z_{0}|<\delta$ och $|f(z)-w|<\varepsilon$ .

Eller i ännu mer beskrivande termer:

$f$ kommer godtyckligt nära vilket komplext värde som helst i varje grannskap av $z_{0}$ .

Satsen stärks avsevärt av Picards stora sats , som säger, i notationen ovan, att $f$ antar varje komplext värde, med ett möjligt undantag, oändligt ofta på $V$ .

I fallet att $f$ är en hel funktion och $a=\infty$ , säger satsen att värdena $f(z)$ närmar sig varje komplext tal och $\infty$ , eftersom $z$ tenderar till oändlighet. Det är anmärkningsvärt att detta inte gäller för holomorfa kartor i högre dimensioner, vilket det berömda exemplet med Pierre Fatou visar.

Plotta funktionen exp(1/ z ), centrerad på den väsentliga singulariteten vid z = 0. Nyansen representerar det komplexa argumentet, luminansen representerar det absoluta värdet. Den här plotten visar hur när man närmar sig den väsentliga singulariteten från olika håll ger olika beteenden (i motsats till en stolpe, som skulle vara enhetligt vit).

Exempel

Funktionen f ( z ) = exp (1/ z ) har en väsentlig singularitet vid 0, men funktionen g ( z ) = 1/ z ³ har inte (den har en pol vid 0).

Tänk på funktionen

$$f(z)=e^{1/z}.$$

Denna funktion har följande Taylor-serie om den väsentliga singularpunkten vid 0:

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{-n}.$$

Eftersom $f'(z)=-{\frac {-e^{{1}/{z}}}{z^{2}}}$ finns för alla punkter z ≠ 0 vi vet att f ( z ) är analytisk i en punkterad omgivning av z = 0 . Därför är det en isolerad singularitet , såväl som en väsentlig singularitet .

Genom att använda en förändring av variabel till polära koordinater $z=re^{i\theta }$ vår funktion, blir f ( z ) = e ^{1/ z :}

$$f(z)=e^{{\frac {1}{r}}e^{-i\theta }}=e^{{\frac {1}{r}}\cos(\theta ) }e^{-{\frac {1}{r}}i\sin(\theta )}.$$

Med det absoluta värdet av båda sidor:

$$\left|f(z)\right|=\left|e^{{\frac {1}{r}}\cos \theta }\right|\left|e^{-{\frac {1 }{r}}i\sin(\theta )}\right|=e^{{\frac {1}{r}}\cos \theta }.$$

För värden på θ så att cos θ > 0 , har vi $f(z)\to \infty$ som $r\to 0$ , och för $\cos \theta <0$ , $f(z)\to 0$ som $r\to 0$ .

Tänk på vad som händer, till exempel när z tar värden på en cirkel med diametern 1/ R som tangerar den imaginära axeln. Denna cirkel ges av r = (1/ R ) cos θ . Sedan,

$$f(z)=e^{R}\left[\cos \left(R\ tan \theta \right)-i\sin \left(R\tan \theta \right)\right]$$

och

$$\left|f(z)\right|=e^{R}.$$

Alltså $\left|f(z)\right|$ kan ta vilket positivt värde som helst annat än noll genom lämpligt val av R . Som $z\to 0$ på cirkeln, ${\textstyle \theta \to {\frac {\pi }{2}}}$ med R fast. Så denna del av ekvationen:

$$\left[\cos \left(R\tan \theta \right)-i\sin \left(R\tan \ theta \right)\right]$$

tar på alla värden på enhetscirkeln oändligt ofta. Därför f ( z ) på värdet av varje tal i det komplexa planet utom noll oändligt ofta.

Bevis för satsen

Ett kort bevis på satsen är följande:

Ta som givet att funktionen f är meromorf på något punkterat område ₀ V \ { z } , och att z ₀ är en väsentlig singularitet. Antag som motsägelse att det finns något värde b som funktionen aldrig kan komma i närheten av; det vill säga: anta att det finns något komplext värde b och något ε > 0 så att || f ( z ) − b || ≥ ε för alla z i V där f definieras.

Sedan den nya funktionen:

$$g(z)={\frac {1}{f(z)-b}}$$

måste vara holomorft på ₀ V \ { z } , med nollor vid polerna till f , och begränsat av 1/ε. Den kan därför analytiskt fortsätta (eller kontinuerligt förlängas eller holomorft) till hela V genom Riemanns analytiska fortsättningssats . Så den ursprungliga funktionen kan uttryckas i termer av g :

$$f(z)={\frac {1}{g(z)}}+b$$

₀ för alla argument z i V \ { z }. Tänk på de två möjliga fallen för

$$\lim _{z\to z_{0}}g(z).$$

₀₀₀ Om gränsen är 0, har f en pol vid z . Om gränsen inte är 0, ​​z en borttagbar singularitet av f . Båda möjligheterna motsäger antagandet att punkten z är en väsentlig singularitet för funktionen f . Därför är antagandet falskt och satsen gäller.

Historia

Historien om denna viktiga teorem beskrivs av Collingwood och Lohwater . Den publicerades av Weierstrass 1876 (på tyska) och av Sokhotski 1868 i hans masteruppsats (på ryska). Så den hette Sokhotskis sats i den ryska litteraturen och Weierstrass sats i den västerländska litteraturen. Samma sats publicerades av Casorati 1868 och av Briot och Bouquet i den första upplagan av deras bok (1859). Briot och Bouquet tog emellertid bort denna teorem från den andra upplagan (1875).

• Section 31, Theorem 2 (s. 124–125) of   Knopp, Konrad (1996), Theory of Functions , Dover Publications , ISBN 978-0-486-69219-7