Harnacks princip

Inom det matematiska fältet av partiella differentialekvationer är Harnacks princip eller Harnacks teorem en följd av Harnacks ojämlikhet som handlar om konvergensen av sekvenser av harmoniska funktioner .

Givet en sekvens av harmoniska funktioner u ₁ , u ₂ , ... på en öppen ansluten delmängd G av det euklidiska rummet R ⁿ , som är punktvis monotont icke-minskande i den meningen att

$u_{1}(x)\leq u_{2}(x)\leq \dots$

för varje punkt x i G , sedan gränsen

$\lim _{n\to \infty }u_{n}(x)$

finns automatiskt i den utökade reella tallinjen för varje x . Harnacks teorem säger att gränsen antingen är oändlig vid varje punkt av G eller så är den ändlig vid varje punkt av G . I det senare fallet är konvergensen enhetlig på kompakta mängder och gränsen är en harmonisk funktion på G .

Teoremet är en följd av Harnacks ojämlikhet. Om u _n ( y ) är en Cauchy-sekvens för något speciellt värde på y , så innebär Harnack-olikheten applicerad på den harmoniska funktionen u _m − u _n , för en godtycklig kompakt mängd D som innehåller y , att sup _D | u _m − u _n | är godtyckligt liten för tillräckligt stor m och n . Detta är exakt definitionen av enhetlig konvergens på kompakta uppsättningar. Med ord, Harnack-olikheten är ett verktyg som direkt sprider Cauchy-egenskapen för en sekvens av harmoniska funktioner i en enda punkt till Cauchy-egenskapen i alla punkter.

Efter att ha etablerat enhetlig konvergens på kompakta uppsättningar, är harmonisiteten hos gränsen en omedelbar följd av det faktum att medelvärdesegenskapen ( automatiskt bevarad av enhetlig konvergens) helt karakteriserar harmoniska funktioner bland kontinuerliga funktioner.

Beviset för enhetlig konvergens på kompakta mängder håller lika bra för alla linjära andra ordningens elliptiska partiella differentialekvationer , förutsatt att den är linjär så att u _m − u _n löser samma ekvation. Den enda skillnaden är att den mer allmänna Harnack-olikhetshållningen för lösningar av andra ordningens elliptiska PDE måste användas, snarare än den endast för harmoniska funktioner. Efter att ha etablerat enhetlig konvergens på kompakta uppsättningar är medelvärdesegenskapen inte tillgänglig i denna mer generella miljö, så beviset på konvergens till en ny lösning måste istället använda andra verktyg, såsom Schauder- uppskattningarna .

Källor

•     Courant, R. ; Hilbert, D. (1962). Metoder för matematisk fysik. Volym II: Partiella differentialekvationer . New York–London: Interscience Publishers . doi : 10.1002/9783527617234 . ISBN 9780471504399 . MR 0140802 . Zbl 0099.29504 .
•     Gilbarg, David ; Trudinger, Neil S. (2001). Elliptiska partiella differentialekvationer av andra ordningen . Classics in Mathematics (Reprint of the 1998 ed.). Berlin: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-642-61798-0 . ISBN 3-540-41160-7 . MR 1814364 . Zbl 1042.35002 .
•     Protter, Murray H .; Weinberger, Hans F. (1984). Maximumprinciper i differentialekvationer (Rättad nytryck av 1967 års originalutgåva). New York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-1-4612-5282-5 . ISBN 0-387-96068-6 . MR 0762825 . Zbl 0549.35002 .

Externa länkar

• Kamynin, LI (2001) [1994], "Harnacks teorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press