Väsentlig singularitet

För väsentliga singulariteter av verkligt värderade funktioner, se Klassificering av diskontinuiteter .

Plotta funktionen exp(1/ z ) , centrerad på den väsentliga singulariteten vid z = 0 . Nyansen representerar det komplexa argumentet , luminansen representerar det absoluta värdet . Den här plotten visar hur när man närmar sig den väsentliga singulariteten från olika håll ger olika beteenden (i motsats till en stolpe, som, när man närmar sig från vilken riktning som helst, skulle vara enhetligt vit).

Modell som illustrerar väsentlig singularitet för en komplex funktion 6 w = exp(1/(6 z ))

I komplex analys är en väsentlig singularitet för en funktion en "svår" singularitet nära vilken funktionen uppvisar udda beteende.

Kategorin väsentlig singularitet är en "överbliven" eller standardgrupp av isolerade singulariteter som är särskilt ohanterliga: per definition passar de inte in i någon av de andra två kategorierna av singularitet som kan hanteras på något sätt - borttagbara singulariteter och poler . I praktiken vissa inkluderar även icke-isolerade singulariteter; de har inga rester .

Formell beskrivning

Betrakta en öppen delmängd $U$ av det komplexa planet $\mathbb {C}$ . Låt $a$ vara ett element av $U$ , och $f\colon U\setminus \{a\}\to \mathbb {C}$ en holomorf funktion . Punkten $a$ kallas en väsentlig singularitet för funktionen $f$ om singulariteten varken är en pol eller en borttagbar singularitet .

Till exempel har funktionen $f(z)=e^{1/z}$ en väsentlig singularitet vid $z=0$ .

Alternativa beskrivningar

Låt $\;a\;$ vara ett komplext tal, antag att $f(z)$ inte är definierad vid $\;a\;$ utan är analytisk i någon region $U$ i det komplexa planet, och att varje öppet område av $a$ har en icke-tom skärning med $U$ .

Om både $\lim _{z\to a}f(z)$ och $\lim _{z\to a}{ \frac {1}{f(z)}}$ finns, då är $a$ en flyttbar singularitet av både $f$ och ${\frac {1}{f}}$ .

Om $\lim _{z\to a}f(z)$ finns men $\lim _{z\to a}{ \frac {1}{f(z)}}$ finns inte (i själva verket $\lim _{z\to a}|1/f( z)|=\infty$ ), då är $a$ en nolla på $f$ och en pol på ${\frac {1}{f}}$ .

På liknande sätt, om $\lim _{z\to a}f(z)$ inte existerar (i själva verket $\ lim _{z\to a}|f(z)|=\infty$ ) men $\lim _{z\to a}{\frac {1}{f( z)}}$ finns, då är $a$ en pol för $f$ och en nolla på ${\frac {1}{f}}$ .

Om varken $\lim _{z\to a}f(z)$ eller $\lim _{z\to a}{ \frac {1}{f(z)}}$ finns, då är $a$ en väsentlig singularitet av både $f$ och ${\frac {1}{f}}$ .

Ett annat sätt att karakterisera en väsentlig singularitet är att Laurentserien av $f$ vid punkten $a$ har oändligt många negativa gradtermer (dvs. huvuddelen av Laurentserien är en oändlig summa). En relaterad definition är att om det finns en punkt $a$ för vilken ingen derivata av $f(z)(za)^{n}$ konvergerar till en gräns eftersom $z$ tenderar till $a$ , så är $a$ en väsentlig singularitet av $f$ .

På en Riemann-sfär med en punkt i oändligheten , ${\displaystyle \infty _{\mathbb {C} }} , har$ funktionen ${f(z)}$ en väsentlig singularitet vid den punkten om och endast om ${f(1/z)}$ har en väsentlig singularitet vid 0: dvs varken $\lim _{z\ till 0}{f(1/z)}$ eller $\lim _{z\to 0}{\frac {1}{f(1/z)}}$ finns. Riemann zeta-funktionen på Riemanns sfär har bara en väsentlig singularitet, vid $\infty _{\mathbb {C} }$ .

Beteendet hos holomorfa funktioner nära deras väsentliga singulariteter beskrivs av Casorati–Weierstrass-satsen och av den betydligt starkare Picards stora sats . Den senare säger att i varje område av en väsentlig singularitet $a$ , tar funktionen $f$ på alla komplexa värden, utom möjligen ett, oändligt många gånger. (Undantaget är nödvändigt; till exempel, funktionen $\exp(1/z)$ får aldrig värdet 0.)

• Lars V. Ahlfors; Complex Analysis , McGraw-Hill, 1979
•   Rajendra Kumar Jain, SRK Iyengar; Avancerad teknisk matematik . Sida 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN 1-84265-185-4

externa länkar

• An Essential Singularity av Stephen Wolfram , Wolfram Demonstrations Project .
• Essential Singularity on Planet Math