Harnacks ojämlikhet

Inom matematiken är Harnacks ojämlikhet en olikhet som relaterar värdena för en positiv övertonsfunktion på två punkter, introducerad av A. Harnack ( 1887 ). Harnacks ojämlikhet används för att bevisa Harnacks teorem om konvergensen av sekvenser av harmoniska funktioner. J. Serrin ( 1955 ) och J. Moser ( 1961 , 1964 ) generaliserade Harnacks ojämlikhet till lösningar av elliptiska eller paraboliska partiella differentialekvationer . Sådana resultat kan användas för att visa den inre regelbundenhet hos svaga lösningar .

Perelmans lösning av Poincaré-förmodan använder en version av Harnack-ojämlikheten, hittad av R. Hamilton ( 1993 ), för Ricci-flödet .

Påståendet

En övertonsfunktion (grön) över en skiva (blå) avgränsas ovanifrån av en funktion (röd) som sammanfaller med den övertonande funktionen i skivans centrum och närmar sig oändligheten mot skivgränsen.

₀₀ Harnacks olikhet gäller för en icke-negativ funktion f definierad på en sluten boll i R ⁿ med radie R och centrum x . Den anger att om f är kontinuerlig på den slutna kulan och harmonisk på dess inre, så för varje punkt x med | x − x | = r < R ,

${\frac {1-(r/R)}{[1+(r/R)]^{n-1}}}f(x_{0})\leq f(x)\leq {1 +(r/R) \över [1-(r/R)]^{n-1}}f(x_{0}).$

I planet R ² ( n = 2) kan olikheten skrivas:

${Rr \over R+r}f(x_{0})\leq f(x)\leq {R+r \over Rr}f(x_{0}).$

För allmänna domäner $\Omega$ i $\mathbf {R} ^{n}$ kan olikheten anges på följande sätt: Om $\omega$ är en avgränsad domän med ${\displaystyle {\bar {\omega }}\subset \Omega } ,$ då finns det en konstant $C$ så att

$\sup _{x\in \omega }u(x)\leq C\inf _{x\in \omega }u( x)$

för varje två gånger differentierbar, harmonisk och icke-negativ funktion $u(x)$ . Konstanten $C$ är oberoende av $u$ ; det beror bara på domänerna $\Omega$ och $\omega$ .

Bevis på Harnacks ojämlikhet i en boll

Enligt Poissons formel

$f(x)={\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}{ \frac {R^{2}-r^{2}}{R|xy|^{n}}}\cdot f(y)\,dy,$

₀ där ω _{n − 1} är arean av enhetssfären i R ⁿ och r = | x − x |.

Eftersom

$Rr\leq |xy|\leq R+r,$

kärnan i integranden uppfyller

${\frac {Rr}{R(R+r)^{n-1}}}\leq {\frac {R^{2}-r^{2}}{R|xy|^{n }}}\leq {\frac {R+r}{R(Rr)^{n-1}}}.$

Harnacks olikhet följer genom att ersätta denna olikhet i ovanstående integral och använda det faktum att medelvärdet av en harmonisk funktion över en sfär är lika med dess värde i sfärens centrum:

$f(x_{0})={\frac {1}{R^{n-1}\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R} f(y)\,dy.$

Elliptiska partiella differentialekvationer

För elliptiska partiella differentialekvationer anger Harnacks ojämlikhet att det högsta av en positiv lösning i någon ansluten öppen region begränsas av några konstanta gånger infimum, möjligen med en tillagd term som innehåller en funktionell norm för data:

$\sup u\leq C(\inf u+\|f\|)$

Konstanten beror på ekvationens ellipticitet och det anslutna öppna området.

Paraboliska partiella differentialekvationer

Det finns en version av Harnacks ojämlikhet för linjära paraboliska PDE:er som värmeekvation .

Låt ${\mathcal {M}}$ vara en jämn (avgränsad) domän i $\mathbb {R} ^{n}$ och betrakta den linjära elliptiska operatorn

${\mathcal {L}}u=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(t,x){\frac {\partial ^{2}u} {\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(t,x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(t,x)u$

med jämna och avgränsade koefficienter och en positiv bestämd matris $(a_{ij})$ . Antag att $u(t,x)\in C^{2}((0,T)\ gånger {\mathcal {M}} )$ är en lösning på

${\frac {\partial u}{\partial t}}-{\mathcal {L}}u=0$ i $(0, T)\ gånger {\mathcal {M}}$

Så att

$\quad u(t,x)\geq 0{\text{ i }}(0,T)\ gånger {\mathcal {M}}.$

Låt $K$ vara kompakt i ${\mathcal {M}}$ och välj $\displaystyle \tau \in (0,T)}$ . Då finns det en konstant C > 0 (beroende endast på K , $\tau$ , $t-\tau$ , och koefficienterna för ${\mathcal {L}}$ ) så att, för varje $t\in (\tau ,T)$ ,

$\sup _{K}u(t-\tau ,\cdot )\leq C\inf _{K}u(t,\cdot ).$

Se även

• Harnacks sats
• Harmonisk funktion

•   Caffarelli, Luis A.; Cabré, Xavier (1995), Fully Nolinar Elliptic Equations , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, s. 31–41, ISBN 0-8218-0437-5
•   Folland, Gerald B. (1995), Introduktion till partiella differentialekvationer (2:a upplagan), Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2
•   Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (1988), Elliptiska partiella differentialekvationer av andra ordningen , Springer, ISBN 3-540-41160-7
•    Hamilton, Richard S. (1993), "The Harnack estimate for the Ricci flow", Journal of Differential Geometry , 37 (1): 225–243, doi : 10.4310/jdg/1214453430 , ISSN 0022-0410X , 8 MR 60719
• Harnack, A. (1887), Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales und der eindeutigen Potentialfunktion in der Ebene , Leipzig: VG Teubner
•   John, Fritz (1982), Partiella differentialekvationer , Applied Mathematical Sciences, vol. 1 (4:e upplagan), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6
• Kamynin, LI (2001) [1994], "Harnacks teorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Kassmann, Moritz (2007), "Harnack Inequalities: An Introduction" Boundary Value Problems 2007 :081415, doi : 10.1155/2007/81415 , MR 2291922
•   Moser, Jürgen (1961), "Om Harnacks teorem för elliptiska differentialekvationer", Communications on Pure and Applied Mathematics , 14 ( 3): 577–591, doi : 10.1002/cpa.3160140329 , MR 3 815911
•   Moser, Jürgen (1964), "A Harnack inequality for parabolic differential equations", Communications on Pure and Applied Mathematics , 17 (1): 101–134, doi : 10.1002/cpa.3160170106 , MR 0159139
•   Serrin, James (1955), "On the Harnack inequality for linear elliptic equations", Journal d'Analyse Mathématique , 4 (1): 292–308, doi : 10.1007/BF02787725 , MR 0081415
• LC Evans (1998), Partiella differentialekvationer . American Mathematical Society, USA. För elliptiska PDE:er se sats 5, sid. 334 och för paraboliska PDE:er se sats 10, sid. 370.