Moreras sats

Om integralen längs varje C är noll, så är f holomorf på D .

I komplex analys , en gren av matematiken , Moreras sats , uppkallad efter Giacinto Morera , ger ett viktigt kriterium för att bevisa att en funktion är holomorf .

Moreras teorem säger att en kontinuerlig funktion f med komplext värde definierad på en öppen mängd D i det komplexa planet som uppfyller

$$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0$$

för varje stängd bitvis C ^1- kurva $\gamma$ i D måste vara holomorf på D .

Antagandet av Moreras sats motsvarar att f lokalt har en antiderivata på D .

Motsatsen till satsen är inte sann i allmänhet. En holomorf funktion behöver inte ha ett antiderivat på sin domän, såvida man inte inför ytterligare antaganden. Det omvända gäller t.ex. om domänen helt enkelt är ansluten ; detta är Cauchys integralsats , som säger att linjeintegralen för en holomorf funktion längs en sluten kurva är noll.

Standardmotexemplet är funktionen f ( z ) = 1/ z , som är holomorft på C − {0}. På varje enkelt anslutet område U i C − {0} har 1/ z en antiderivata definierad av L ( z ) = ln( r ) + iθ , där z = re ^iθ . På grund av tvetydigheten för θ upp till tillägget av en heltalsmultipel av 2 π , kommer varje kontinuerligt val av θ på U att räcka för att definiera en antiderivata av 1/ z på U . (Det är det faktum att θ inte kan definieras kontinuerligt på en enkel sluten kurva som innehåller origo i dess inre som är roten till varför 1/ z inte har någon antiderivata på hela sin domän C − {0}.) Och eftersom derivatan av en additiv konstant är 0, vilken konstant som helst kan läggas till antiderivatan och det är fortfarande en antiderivata av 1/ z .

I en viss mening är 1/ z -motexemplet universellt: För varje analytisk funktion som inte har någon antiderivata på sin domän, är anledningen till detta att 1/ z själv inte har en antiderivata på C − {0}.

Bevis

Integralerna längs två banor från a till b är lika, eftersom deras skillnad är integralen längs en sluten slinga.

Det finns ett relativt elementärt bevis för satsen. Man konstruerar en antiderivata för f explicit.

₀ Utan förlust av generalitet kan det antas att D är kopplat . Fixera en punkt z i D , och för valfri $z\in D$ , låt $\gamma :[0,1]\to D$ vara ett bitvis C ¹ kurva så att $\gamma (0)=z_{0}$ och $\gamma (1)=z$ . Definiera sedan funktionen F att vara

$$F(z)=\int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta .$$

För att se att funktionen är väldefinierad, anta att $\tau :[0,1]\to D$ är en annan bitvis C ¹ -kurva så att $\tau (0)=z_{0}$ och $\tau (1)=z$ . Kurvan $\gamma \tau ^{-1}$ (dvs kurvan som kombinerar $\gamma$ med $\tau$ omvänt) är en stängd bitvis C ¹ -kurva i D . Sedan,

$$\int _{\gamma }f(\zeta )\ ,d\zeta +\int _{\tau ^{-1}}f(\zeta )\,d\zeta =\oint _{\gamma \tau ^{-1}}f(\zeta )\,d \zeta =0.$$

Och det följer det

$$\int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta =\int _{\tau }f(\zeta )\,d\zeta .$$

₀₀ Genom att sedan använda kontinuiteten för f för att uppskatta skillnadskvoter får vi att F ′( z ) = f ( z ). Hade vi valt ett annat z i D skulle F ändras med en konstant : nämligen resultatet av att integrera f längs vilken som helst styckvis regelbunden kurva mellan den nya z och den gamla, och detta ändrar inte derivatan.

Eftersom f är derivatan av den holomorfa funktionen F är den holomorf. Det faktum att derivator av holomorfa funktioner är holomorfa kan bevisas genom att använda det faktum att holomorfa funktioner är analytiska, dvs kan representeras av en konvergent potensserie, och det faktum att potensserier kan differentieras term för term. Detta fullbordar beviset.

Ansökningar

Moreras teorem är ett standardverktyg i komplex analys . Det används i nästan alla argument som involverar en icke-algebraisk konstruktion av en holomorf funktion.

Enhetliga gränser

Anta till exempel att f ₁ , f ₂ , ... är en sekvens av holomorfa funktioner, som konvergerar enhetligt till en kontinuerlig funktion f på en öppen skiva. Genom Cauchys teorem vet vi det

$$\oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0$$

för varje n , längs valfri stängd kurva C i skivan. Då innebär den enhetliga konvergensen det

$$\oint _{C}f(z) \,dz=\oint _{C}\lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\oint _{C}f_{n }(z)\,dz=0$$

för varje sluten kurva C , och därför enligt Moreras sats måste f vara holomorf. Detta faktum kan användas för att visa att, för alla öppna mängder Ω ⊆ C , mängden A (Ω) för alla avgränsade , analytiska funktioner u : Ω → C är ett Banach-utrymme med avseende på den högsta normen .

Oändliga summor och integraler

Moreras sats kan också användas tillsammans med Fubinis sats och Weierstrass M-test för att visa analyticiteten hos funktioner definierade av summor eller integraler, såsom Riemanns zeta-funktion

$$\zeta (s)=\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$$

eller gammafunktionen

$$\Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx.$$

Specifikt en visar det

$$\oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =0$$

för en lämplig sluten kurva C , genom att skriva

$$\oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =\oint _{C }\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx\,d\alpha$$

och sedan använda Fubinis teorem för att motivera att ändra ordningen för integration, få

$$\int _{0}^{\infty }\oint _{C}x^{\alpha -1}e^{-x}\,d\alpha \,dx=\int _{0}^ {\infty }e^{-x}\oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha \,dx.$$

Sedan använder man analyticiteten för α ↦ x ^{α −1} för att dra slutsatsen att

$$\oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha =0,$$

och följaktligen är den dubbla integralen ovan 0. På liknande sätt, i fallet med zeta-funktionen, motiverar M-testet att byta integralen längs den slutna kurvan och summan.

Försvagning av hypoteser

Hypoteserna i Moreras sats kan försvagas avsevärt. I synnerhet räcker det för integralen

$$\oint _{\partial T}f(z)\,dz$$

vara noll för varje sluten (heldragen) triangel T som finns i området D . Detta kännetecknar faktiskt holomorfi, dvs f är holomorft på D om och endast om ovanstående villkor gäller. Det innebär också följande generalisering av det tidigare nämnda faktumet om enhetliga gränser för holomorfa funktioner: om f ₁ , f ₂ , ... är en sekvens av holomorfa funktioner definierade på en öppen mängd Ω ⊆ C som konvergerar till en funktion f enhetligt på kompakt delmängder av Ω, då är f holomorf.

Se även

• Cauchy–Riemanns ekvationer
• Metoder för konturintegrering
• Rester (komplex analys)
• Mittag-Lefflers teorem

•    Ahlfors, Lars (1 januari 1979), Complex Analysis , International Series in Pure and Applied Mathematics, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000657-7 , Zbl 0395.30001 .
•    Conway, John B. (1973), Functions of One Complex Variable I , Graduate Texts in Mathematics, vol. 11, Springer Verlag , ISBN 978-3-540-90328-4 , Zbl 0277.30001 .
•   Greene, Robert E .; Krantz, Steven G. (2006), Function Theory of One Complex Variable , Graduate Studies in Mathematics , vol. 40, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3962-4
•   Morera, Giacinto (1886), "Un teorema fondamentale nella teorica delle funzioni di una variabile complessa" , Rendiconti del Reale Instituto Lombardo di Scienze e Lettere (på italienska), 19 (2): 304–307, JFM 18.0238 .
•    Rudin, Walter (1987) [1966], Real and Complex Analysis (3:e upplagan), McGraw-Hill , s. xiv+416, ISBN 978-0-07-054234-1 , Zbl 0925.00005 .

externa länkar

• "Morera theorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Moreras sats" . MathWorld .