Lyons grupp

Inom området för modern algebra, känt som gruppteori , är Lyons - gruppen Ly eller Lyons-Sims-gruppen LyS en sporadisk enkel ordningsgrupp

2 ⁸ · 3 ⁷ · 5 ⁶ · 7 · 11 · 31 · 37 · 67

= 51765179004000000

≈ 5 × 10 ¹⁶ .

Historia

Ly är en av de 26 sporadiska grupperna och upptäcktes av Richard Lyons och Charles Sims 1972-73. Lyon karakteriserade 51765179004000000 som den unika möjliga ordningen för vilken ändlig enkel grupp _som helst där centraliseraren av någon involution är isomorf till den icke-triviala centrala förlängningen av den alternerande gruppen A11 av grad ₁₁ av den cykliska gruppen C2 . Sims (1973) bevisade existensen av en sådan grupp och dess unika fram till isomorfism med en kombination av permutationsgruppteori och maskinberäkningar.

När den sporadiska McLaughlin-gruppen upptäcktes, märktes det att en centraliserare av en av dess involutioner var den perfekta dubbla täckningen av den alternerande gruppen A ₈ . Detta föreslog att man skulle betrakta de dubbla höljena för de andra alternerande grupperna A _n som möjliga centralisatorer av involutioner i enkla grupper. Fallen n ≤ 7 är uteslutna av Brauer–Suzuki-satsen , fallet n = 8 leder till McLaughlin-gruppen, fallet n = 9 uteslöts av Zvonimir Janko , Lyons själv uteslöt fallet n = 10 och fann Lyons grupp för n = 11, medan fallen n ≥ 12 uteslöts av JG Thompson och Ronald Solomon .

Schur -multiplikatorn och den yttre automorfismgruppen är båda triviala .

Eftersom 37 och 67 inte är supersingulära primtal, kan Lyonsgruppen inte vara en underkvot till monstergruppen . Det är alltså en av de 6 sporadiska grupperna som kallas pariaerna .

Framställningar

Meyer, Neutsch & Parker (1985) visade att Lyons-gruppen har en modulär representation av dimension 111 över fältet av fem element, vilket är den minsta dimensionen av någon trogen linjär representation och är ett av de enklaste sätten att beräkna med den. Det har också getts av flera komplicerade presentationer i termer av generatorer och relationer, till exempel de som ges av Sims (1973) eller Gebhardt (2000) .

Den minsta trogna permutationsrepresentationen är en rang 5 permutationsrepresentation på 8835156 punkter med stabilisator G ₂ (5). Det finns också en något större rank 5 permutationsrepresentation på 9606125 poäng med stabilisator 3.McL:2.

Maximala undergrupper

Wilson (1985) fann de 9 konjugationsklasserna av maximala undergrupper av Ly enligt följande:

G ₂ (5)
3.McL:2
5 ³ .PSL ₃ (5)
2.A ₁₁
51 ⁺⁴ :4.S ₆
3 ⁵ :(2 × M ₁₁ )
3 ²⁺⁴ :2.A ₅ .D ₈
67:22
37:18

Richard Lyons (1972,5) "Evidence for a new finite simple group", Journal of Algebra 20:540–569 och 34:188–189.
Gebhardt, Volker (2000). "Två korta presentationer för Lyons sporadiska enkla grupp" . Experimentell matematik . 9 (3): 333–8. doi : 10.1080/10586458.2000.10504410 . S2CID 8361971 .
Meyer, Werner; Neutsch, Wolfram; Parker, Richard (1985), "The minimal 5-representation of Lyons' sporadic group", Mathematische Annalen , 272 ( 1): 29–39, doi : 10.1007 / BF01455926 , ISSN 0025-5831 , MR 079408ID
Sims, Charles C. (1973), "The existence and uniqueness of Lyons' group", Finite groups '72 (Proc. Gainesville Conf., Univ. Florida, Gainesville, Fla., 1972) , North-Holland Math. Studies, vol. 7, Amsterdam: North-Holland, s. 138–141, MR 0354881
Wilson, Robert A. (1985), "The Maximal subgroups of the Lyons group", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 97 ( 3 ): 433–436, doi : 10.1017/S0305004100063003 , ISSN 04105-7MR 04105 , 7MR 04105-7 S2CID 119577612

externa länkar