σ -kompakt utrymme

Inom matematiken sägs ett topologiskt utrymme vara σ -kompakt om det är föreningen av countably många kompakta delrum .

Ett utrymme sägs vara σ -lokalt kompakt om det är både σ -kompakt och (svagt) lokalt kompakt . Den terminologin kan vara något förvirrande eftersom den inte passar in i det vanliga mönstret av σ-(egenskap) som betyder en räknebar förening av utrymmen som uppfyller (egenskap); det är därför sådana utrymmen oftare hänvisas till explicit som σ-kompakt (svagt) lokalt kompakt , vilket också motsvarar att vara uttömbara av kompakta uppsättningar .

Egenskaper och exempel

• Varje kompakt utrymme är σ -kompakt, och varje σ -kompakt utrymme är Lindelöf (dvs varje öppet lock har ett räknebart underlock ). De omvända implikationerna gäller inte, till exempel är det euklidiska standardrymden ( R ^{n )} σ -kompakt men inte kompakt, och den nedre gränstopologin på den reella linjen är Lindelöf men inte σ -kompakt. Faktum är att den räknebara komplementtopologin på alla oräkneliga mängder är Lindelöf men varken σ -kompakt eller lokalt kompakt. Det är dock sant att varje lokalt kompakt Lindelöf-utrymme är σ -kompakt.
• (De irrationella talen ) $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ är inte σ -kompakt.
• Ett Hausdorff , Baire-utrymme som också är σ -kompakt, måste vara lokalt kompakt på minst en punkt.
• Om G är en topologisk grupp och G är lokalt kompakt vid en punkt, så är G lokalt kompakt överallt. Därför säger den tidigare egenskapen oss att om G är en σ -kompakt, Hausdorff topologisk grupp som också är ett Baire-rum, så är G lokalt kompakt. Detta visar att för Hausdorff topologiska grupper som också är Baire-rum, innebär σ -kompakthet lokal kompakthet.
• Den tidigare egenskapen antyder till exempel att R ^ω inte är σ -kompakt: om den vore σ -kompakt skulle den nödvändigtvis vara lokalt kompakt eftersom R ^ω är en topologisk grupp som också är ett Baire-rum.
• Varje hemikompakt utrymme är σ -kompakt. Det omvända är dock inte sant; rationalernas utrymme , med den vanliga topologin, σ -kompakt men inte hemikompakt.
• Produkten av ett ändligt antal σ -kompakta rum är σ -kompakta . Produkten av ett oändligt antal σ -kompakta utrymmen kan dock misslyckas med att vara σ -kompakta.
• Ett σ -kompakt utrymme X är andra kategorin (respektive Baire) om och endast om uppsättningen av punkter där X är lokalt kompakt är icke-tom (respektive tät) i X .

Se även

• Utmattning av kompakta uppsättningar – i analys, en sekvens av kompakta uppsättningar som konvergerar på en given uppsättning Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Lindelöf space – topologiskt utrymme så att varje öppet omslag har ett räknebart underomslag Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Lokalt kompakt utrymme – topologiskt utrymme så att varje punkt har en stadsdel med kompakt stängning Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv

Anteckningar

•   Steen, Lynn A. och Seebach, J. Arthur Jr .; Motexempel i Topology , Holt, Rinehart och Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4 .
•   Willard, Stephen (2004). Allmän topologi . Dover Publikationer. ISBN 0-486-43479-6 .