Isomonodromisk deformation

Inom matematiken är ekvationerna som styr den isomonodromiska deformationen av meromorfa linjära system av vanliga differentialekvationer, i en ganska exakt mening, de mest fundamentala exakta olinjära differentialekvationerna. Som ett resultat ligger deras lösningar och egenskaper i hjärtat av området exakt olinjäritet och integrerbara system .

Isomonodromiska deformationer studerades först av Richard Fuchs , med tidiga banbrytande bidrag från Lazarus Fuchs , Paul Painlevé , René Garnier och Ludwig Schlesinger . Inspirerad av resultat inom statistisk mekanik gjordes ett avgörande bidrag till teorin av Michio Jimbo , Tetsuji Miwa och Kimio Ueno, som studerade fall som involverade oregelbundna singulariteter.

Fuchsiska system och Schlesingers ekvationer

Betrakta det fuchsiska systemet med linjära differentialekvationer

${\frac {dy}{dx}}=Ay=\summa _{i=1}^{n}{\ frac {A_{i}}{x-\lambda _{i}}}y$

där den oberoende variabeln x tar värden i den komplexa projektiva linjen P ¹ ( C ), tar lösningen y värden i C ⁿ och A _i är konstanta n × n matriser. Lösningar till denna ekvation har polynomtillväxt vid x = λ _i . Genom att placera n oberoende kolumnlösningar i en fundamental matris $Y=(y_{1},...,y_{n})$ då ${\frac {dY}{dx}}=AY$ och man kan betrakta $Y$ som att ta värden i GL( n , C ). För enkelhetens skull, antag att det inte finns någon ytterligare pol i oändligheten vilket motsvarar villkoret att

$\sum _{i=1}^{n}A_{i}=0.$

Monodromi data

Fixa nu en baspunkt b på Riemann-sfären bort från polerna. Analytisk fortsättning av en fundamental lösning $Y_{1}$ runt valfri pol λ _i och tillbaka till baspunkten kommer att producera en ny lösning $Y_{2}$ definierad nära b . De nya och gamla lösningarna är länkade av monodromimatrisen Mi _enligt följande :

$Y_{2}=Y_{1}M_{i}.$

Man har därför Riemann-Hilbert- homomorfismen från den punkterade sfärens grundläggande grupp till monodrominepresentationen:

$\pi _{1}\left(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )-\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\}\ höger)\till GL(n,\mathbf {C} ).$

En förändring av baspunkten resulterar bara i en (samtidig) konjugering av alla monodromimatriser. Monodromimatriserna modulo simultan conjugation definierar monodromidata för det fuchsiska systemet.

Hilberts tjugoförsta problem

Nu, med givna monodromidata, kan ett fuchsiskt system hittas som uppvisar denna monodromi? Detta är en form av Hilberts tjugoförsta problem . Man skiljer inte mellan koordinater x och ${\hat {x}}$ som är relaterade till Möbius-transformationer , och man skiljer inte heller mellan gauge-ekvivalenta fuchsiska system - detta betyder att A och

$g^{-1}(x)Ag(x)-g^{-1}(x ){\frac {dg(x)}{dx}}$

anses vara ekvivalenta för alla holomorfa gauge-transformationer g ( x ). (Det är alltså mest naturligt att betrakta ett fuchsiskt system geometriskt, som ett samband med enkla poler på ett trivialt rank n vektorknippe över Riemanns sfär).

För generiska monodromidata är svaret på Hilberts tjugoförsta problem "ja" - vilket först bevisades av Josip Plemelj . Plemelj försummade dock vissa degenererade fall, och det visades 1989 av Andrei Bolibrukh att det finns fall där svaret är "nej". Här fokuseras det generiska fallet helt på.

Schlesingers ekvationer

Det finns (generiskt) många fuchsiska system med samma monodromidata. Sålunda, givet ett sådant fuchsiskt system med specificerade monodromidata, isomonodromiska deformationer utföras av det. På därför leds det till att studera familjer av fuchsiska system och låta matriserna A _i bero på polernas positioner.

År 1912 (efter tidigare felaktiga försök) bevisade Ludwig Schlesinger att deformationerna som bevarar monodromidata för ett (generiskt) fuchsiskt system i allmänhet styrs av det integrerbara holonomiska systemet med partiella differentialekvationer som nu bär hans namn:

${\begin{aligned}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}&={\frac {[A_{i},A_{j}]}{ \lambda _{i}-\lambda _{j}}}\qquad \qquad j\neq i\\{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{i}}}&=- \sum _{j\neq i}{\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}.\end{aligned}}$

Dessa är därför isomonodromi-ekvationerna för (generiska) fuchsiska system. Den naturliga tolkningen av dessa ekvationer är som planheten av en naturlig koppling på ett vektorknippe över "deformationsparameterutrymmet" som består av de möjliga polpositionerna. För icke-generiska isomonodromiska deformationer kommer det fortfarande att finnas en integrerbar isomonodromi-ekvation, men det kommer inte längre att vara Schlesinger.

Om man begränsar uppmärksamheten till fallet när A _i tar värden i Lie-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )} ,$ den så kallade Garnier system erhålls. Om man specialiserar sig vidare till fallet när det bara finns fyra poler, så kan Schlesinger/Garnier-ekvationerna reduceras till den berömda sjätte Painlevé-ekvationen .

Oregelbundna singulariteter

Motiverade av uppkomsten av Painlevé-transcendenter i korrelationsfunktioner i teorin om Bose-gaser , utvidgade Michio Jimbo, Tetsuji Miwa och Kimio Ueno begreppet isomonodrom deformation till fallet med oregelbundna singulariteter med valfri ordningspoler, under följande antagande: den ledande koefficienten: vid varje pol är generisk, dvs det är en diagonaliserbar matris med enkelt spektrum.

Det linjära systemet som studeras är nu av formen

${\frac {dY}{dx}}=AY =\summa _{i=1}^{n}\summa _{j=1}^{r_{i}+1}{\frac {A_{j}^{(i)}}{(x-\ lambda _{i})^{j}}}Y,$

med n poler, med polen vid λ _i av ordningen $(r_{i}+1)$ . A $}^{(i)}}$$A_{r_{i+1}}^{(i) }$ är konstanta matriser (och är generisk för ${\displaystyle i=1,\dotsc ,n} )$ .

Utökade monodromidata

Förutom den monodromi-representation som beskrivs i den fuchsiska inställningen, krävs deformationer av oregelbundna system av linjära vanliga differentialekvationer för att bevara utökade monodromidata. Grovt sett betraktas nu monodromidata som data som limmar samman kanoniska lösningar nära singulariteterna. Om man tar $x_{i}=x-\lambda _{i}$ som en lokal koordinat nära en pol λ _i av ordningen $r_{i}+ 1$ , kan man sedan lösa term-för-term för en holomorf gauge-transformation g så att systemet lokalt ser ut som

${\frac {d(g_{i}^{-1}Z_{i})}{dx_{i}}}=\left(\sum _{j=1}^{r_{i}} {\frac {(-j)T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j+1}}}+{\frac {M^{(i)}}{x_{i} }}\right)(g_{i}^{-1}Z_{i})$

där $M^{(i)}$ och $T_{j}^{(i)}$ är diagonala matriser. Om detta var giltigt skulle det vara extremt användbart, för då (åtminstone lokalt) har man kopplat bort systemet till n skalära differentialekvationer som man enkelt kan lösa för att hitta det (lokalt):

$Z_{i}=g_{i}\exp \left(M^{(i)}\log(x_{i})+\summa _{j=1}^{r_{i}}{\ frac {T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j}}}\höger).$

Detta fungerar dock inte - eftersom potensserien löst term-för-term för g kommer i allmänhet inte att konvergera.

Det var Jimbo, Miwa och Uenos stora insikt att inse att detta tillvägagångssätt ändå tillhandahåller kanoniska lösningar nära singulariteterna, och kan därför med fördel användas för att definiera utökade monodromidata. Detta beror på ett teorem av George Birkhoff Gi _som säger att givet en sådan formell serie, det finns en unik konvergent funktion G _i sådan att i en viss tillräckligt stor sektor runt polen, är asymptotisk till g _i , och

$Y=G_{i}\exp \left(M^{(i)}\log(x_{i})+\summa _{j=1}^{r_{i}}{\frac {T_ {j}^{(i)}}{x_{i}^{j}}}\höger).$

är en sann lösning av differentialekvationen. En kanonisk lösning uppträder därför i varje sådan sektor nära varje pol. Den utökade monodromidatan består av

• uppgifterna från monodrominepresentationen som för Fuchsian-fallet;
• Stokes matriser som kopplar samman kanoniska lösningar mellan angränsande sektorer vid samma pol;
• kopplingsmatriser som kopplar samman kanoniska lösningar mellan sektorer vid olika poler.

Jimbo--Miwa--Ueno isomonodromiska deformationer

Som tidigare betraktar man nu familjer av system av linjära differentialekvationer, alla med samma (generiska) singularitetsstruktur. Man låter därför matriserna $A_{j}^{(i)}$ bero på parametrar. Det är tillåtet att variera positionerna för polerna λ _i , men nu varierar man dessutom även inmatningarna av diagonalmatriserna $T_{j}^{(i)}$ som förekommer i den kanoniska lösningen nära varje pol.

Jimbo, Miwa och Ueno bevisade att om man definierar en enform på 'deformationsparameterutrymmet' av

$\Omega =\sum _{i=1}^{ n}\left(Ad\lambda _{i}-g_{i}D\left(\sum _{j=1}^{r_{i}}T_{j}^{(i)}\right)g_ {i}^{-1}\right)$

(där D anger yttre differentiering med avseende på komponenterna i $T_{j}^{(i)}$ endast)

då är deformationer av det meromorfa linjära systemet specificerat av A isomonodromiska om och endast om

$dA+[\Omega ,A]+{\frac {d\Omega }{dx}}=0.$

Dessa är Jimbo—Miwa—Ueno isomonodromi-ekvationer . Liksom tidigare kan dessa ekvationer tolkas som planheten hos en naturlig koppling på deformationsparameterutrymmet.

Egenskaper

Isomonodromi-ekvationerna åtnjuter ett antal egenskaper som motiverar deras status som olinjära specialfunktioner .

Painlevé fastighet

Detta är kanske den viktigaste egenskapen hos en lösning av de isomonodromiska deformationsekvationerna. Detta innebär att alla väsentliga särdrag hos lösningarna är fixerade, även om stolparnas positioner kan flyttas. Det bevisades av Bernard Malgrange för fallet med fuchsiska system och av Tetsuji Miwa i den allmänna miljön.

Anta faktiskt att man får en partiell differentialekvation (eller ett system av dem). Då är "att ha en reduktion till en isomonodromi-ekvation" mer eller mindre ekvivalent med Painlevé-egenskapen och kan därför användas som ett test för integrerbarhet .

Överskridande

I allmänhet kan lösningar av isomonodromi-ekvationerna inte uttryckas i termer av enklare funktioner som lösningar av linjära differentialekvationer. Men för särskilda (mer exakt, reducerbara) val av utökade monodromidata kan lösningar uttryckas i termer av sådana funktioner (eller åtminstone i termer av "enklare" isomonodromitranscendenter). Studiet av exakt vad denna transcendens betyder har till stor del utförts av uppfinningen av "icke-linjär differentiell Galois-teori " av Hiroshi Umemura och Bernard Malgrange .

Det finns också mycket speciella lösningar som är algebraiska . Studiet av sådana algebraiska lösningar innefattar att undersöka topologin för deformationsparameterutrymmet (och i synnerhet dess kartläggningsklassgrupp) ; för fallet med enkla stolpar, motsvarar detta studiet av verkan av flätgrupper . För det särskilt viktiga fallet med den sjätte Painlevé-ekvationen har det funnits ett anmärkningsvärt bidrag från Boris Dubrovin och Marta Mazzocco, som nyligen har utökats till större klasser av monodromidata av Philip Boalch.

Rationella lösningar förknippas ofta med speciella polynom. Ibland, som i fallet med den sjätte Painlevé-ekvationen, är dessa välkända ortogonala polynom , men det finns nya klasser av polynom med en extremt intressant fördelning av nollor och sammanflätade egenskaper. Studiet av sådana polynom har till stor del utförts av Peter Clarkson och medarbetare.

Symplektisk struktur

Isomonodromi-ekvationerna kan skrivas om med hjälp av Hamiltonska formuleringar. Denna synpunkt eftersträvades omfattande av Kazuo Okamoto i en serie artiklar om Painlevé-ekvationerna på 1980-talet.

De kan också betraktas som en naturlig förlängning av Atiyah–Botts symplektiska struktur på utrymmen med platta anslutningar på Riemann-ytor till en värld av meromorf geometri - ett perspektiv som eftersträvas av Philip Boalch. Om man fixerar stolparnas positioner, kan man till och med få kompletta hyperkähler-förgreningar ; ett resultat bevisat av Olivier Biquard och Philip Boalch.

Det finns en annan beskrivning i termer av momentkartor till (centrala förlängningar av) loopalgebror - en synvinkel introducerad av John Harnad och utökad till fallet med allmän singularitetsstruktur av Nick Woodhouse . Detta senare perspektiv är intimt relaterat till en märklig Laplace-transform mellan isomonodromi-ekvationer med olika polstruktur och rangordning för de underliggande ekvationerna.

Twistor struktur

Isomonodromi-ekvationerna uppstår som (generiska) fulldimensionella reduktioner av (generaliserade) anti-självduala Yang-Mills-ekvationer . Genom Penrose–Ward-transformationen kan de därför tolkas i termer av holomorfa vektorbuntar på komplexa grenrör som kallas twistorrymden . Detta tillåter användningen av kraftfulla tekniker från algebraisk geometri för att studera egenskaperna hos transcendenter. Detta tillvägagångssätt har följts av Nigel Hitchin , Lionel Mason och Nick Woodhouse .

Gauss-Manin-förbindelser

Genom att överväga data associerade med familjer av Riemann-ytor grenade över singulariteterna, kan man betrakta isomonodromi-ekvationerna som icke-homogena Gauss-Manin-kopplingar . Detta leder till alternativa beskrivningar av isomonodromi-ekvationerna i termer av abelska funktioner - ett tillvägagångssätt känt för Fuchs och Painlevé, men förlorat tills återupptäckten av Yuri Manin 1996.

Asymptotika

Särskilda transcendenter kan karakteriseras av deras asymptotiska beteende. Studiet av sådant beteende går tillbaka till isomonodromins tidiga dagar, i arbete av Pierre Boutroux och andra.

Ansökningar

Deras universalitet som de enklaste genuint olinjära integrerbara systemen innebär att isomonodromi-ekvationerna har ett extremt skiftande användningsområde. Kanske av största praktiska betydelse är området för slumpmatristeorin . Här beskrivs de statistiska egenskaperna för egenvärden för stora slumpmässiga matriser av särskilda transcendenter.

Den första drivkraften för att intresset för isomonodromi återuppstod på 1970-talet var uppkomsten av transcendenter i korrelationsfunktioner i Bose-gaser .

De tillhandahåller genererande funktioner för modulrum av tvådimensionella topologiska kvantfältteorier och är därigenom användbara i studiet av kvantkohomologi och Gromov-Witten-invarianter .

"Högre ordningens" isomonodromi-ekvationer har nyligen använts för att förklara mekanismen och universalitetsegenskaperna för chockbildning för den dispersionsfria gränsen för Korteweg–de Vries-ekvationen .

De är naturliga reduktioner av Ernst-ekvationen och ger därigenom lösningar på Einsteins fältekvationer av allmän relativitet; de ger också upphov till andra (ganska distinkta) lösningar av Einsteins ekvationer när det gäller thetafunktioner .

De har uppstått i nyare arbeten inom spegelsymmetri - både i det geometriska Langlands- programmet och i arbetet med stabilitetsvillkorens modulutrymmen på härledda kategorier .

Generaliseringar

Isomonodromi-ekvationerna har generaliserats för meromorfa anslutningar på en allmän Riemann-yta .

De kan också lätt anpassas för att ta värden i valfri Lie-grupp genom att ersätta de diagonala matriserna med maximal torus och andra liknande modifieringar.

Det finns ett växande fält som studerar diskreta versioner av isomonodromi-ekvationer.

Källor

•    Dess, Alexander R.; Novoksjenov, Victor Yu. (1986), Den isomonodromiska deformationsmetoden i teorin om Painlevé-ekvationer , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1191, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16483-8 , MR 0851569
•     Sabbah, Claude (2007), Isomonodromic deformations and Frobenius manifolds , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-84800-053-7 , ISBN 978-2-7598-0047-6 MR 849