Korskorrelationsmatrisen för två slumpmässiga vektorer är en matris som innehåller som element korskorrelationerna för alla par av element i de slumpmässiga vektorerna . Korskorrelationsmatrisen används i olika digitala signalbehandlingsalgoritmer.
Definition
För två slumpmässiga vektorer 
och 
innehåller slumpmässiga element vars förväntade värde och varians existerar, korskorrelationsmatrisen för 
och 
definieras av
![{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1337f507d7cb6918d742ae2f029e0554013f7a58)
och har måtten 
. Skrivet komponentmässigt:
![{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\\\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfaf0f3923eafd144f762732bbaa951102ed00bb)
De slumpmässiga vektorerna och behöver inte ha samma dimension, och båda kan vara ett skalärt värde.
Exempel
Till exempel, om 
och 
är slumpmässiga vektorer, då är 
en 
matris vars 
-e posten är ![{\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e511d6ea021c2d4b0579f621faec897ec52a1999)
.
Komplexa slumpmässiga vektorer
Om 
och 
är komplexa slumpmässiga vektorer som var och en innehåller slumpvariabler vars förväntat värde och varians existerar, korskorrelationsmatrisen för 
och 
definieras av
![{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b96a25804b6f71adb2dd4366a18cc65e96553d88)
där 
betecknar hermitisk transposition .
Okorrelation
Två slumpmässiga vektorer och kallas okorrelerade om
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a8bb45997c59ac08d38c6073ad03c832d11abf6)
De är okorrelerade om och endast om deras korskovariansmatris 
matris är noll.
I fallet med två komplexa slumpmässiga vektorer och kallas de okorrelerade om
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e653a5949cb26600c65a6d23c16310eae1e9867f)
och
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {T}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/500e14ec28154556c9b0aa741d1b036af7b7a67f)
Egenskaper
Relation till korskovariansmatrisen
Korskorrelationen är relaterad till korskovariansmatrisen enligt följande:
![{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\rm {T}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d58fc3b03892e013a545da3322c2d4942d7314e)
- Respektive komplexa slumpmässiga vektorer:
![{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])^{\rm {H}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b852cac5898146e76309d2f9d00ac163d1d65a)
Se även
Vidare läsning
