Painlevé transcendenter

Inom matematik är Painlevé-transcendenter lösningar på vissa ickelinjära andra ordningens vanliga differentialekvationer i det komplexa planet med Painlevé-egenskapen (de enda rörliga singulariteterna är poler), men som i allmänhet inte är lösbara i termer av elementära funktioner . De upptäcktes av Émile Picard ( 1889 ), Paul Painlevé ( 1900 , 1902 ), Richard Fuchs ( 1905 ) och Bertrand Gambier ( 1910 ).

Historia

Painlevé-transcendenter har sitt ursprung i studiet av speciella funktioner , som ofta uppstår som lösningar av differentialekvationer, såväl som i studiet av isomonodromiska deformationer av linjära differentialekvationer. En av de mest användbara klasserna av specialfunktioner är de elliptiska funktionerna . De definieras av andra ordningens vanliga differentialekvationer vars singulariteter har Painlevé-egenskapen : de enda rörliga singulariteterna är poler . Denna egenskap är sällsynt i olinjära ekvationer. Poincaré och L. Fuchs visade att vilken första ordningens ekvation som helst med egenskapen Painlevé kan omvandlas till Weierstrass elliptiska funktion eller Riccati-ekvationen , som alla kan lösas explicit i termer av integration och tidigare kända specialfunktioner. Émile Picard påpekade att för order större än 1 kan rörliga väsentliga singulariteter förekomma, och fann ett specialfall av vad som senare kallades Painleve VI-ekvationen (se nedan). (För order större än 2 kan lösningarna ha rörliga naturliga gränser.) Omkring 1900 Paul Painlevé andra ordningens differentialekvationer utan rörliga singulariteter. Han fann att upp till vissa transformationer, varje sådan formekvation

$y^{\prime \prime }=R(y^{\prime },y,t)$

(med $R$ en rationell funktion) kan sättas in i en av femtio kanoniska former (listade i ( Ince 1956 ) ). Painlevé ( 1900 , 1902 ) fann att fyrtiofyra av de femtio ekvationerna är reducerbara i den meningen att de kan lösas i termer av tidigare kända funktioner, vilket bara lämnar sex ekvationer som kräver införandet av nya specialfunktioner för att lösa dem. Det fanns några beräkningsfel, och som ett resultat missade han tre av ekvationerna, inklusive den allmänna formen av Painleve VI. Felen fixades och klassificeringen slutfördes av Painlevés elev Bertrand Gambier . Oberoende av Painlevé och Gambier, hittades ekvationen Painleve VI av Richard Fuchs från helt andra överväganden: han studerade isomonodromiska deformationer av linjära differentialekvationer med regelbundna singulariteter . Det var ett kontroversiellt öppet problem under många år att visa att dessa sex ekvationer verkligen var irreducerbara för generiska värden på parametrarna (de kan ibland reduceras för speciella parametervärden; se nedan), men detta bevisades slutligen av Nishioka (1988) och Hiroshi Umemura ( 1989 ). Dessa sex andra ordningens ickelinjära differentialekvationer kallas Painlevé-ekvationer och deras lösningar kallas Painlevé-transcendenter.

Den mest generella formen av den sjätte ekvationen missades av Painlevé, men upptäcktes 1905 av Richard Fuchs (son till Lazarus Fuchs ), som differentialekvationen som uppfylldes av singulariteten hos en andra ordningens fuchsisk ekvation med 4 regelbundna singularpunkter på projektiven linje $\mathbf {P} ^{1}$ under monodromibevarande deformationer . Den lades till Painlevés lista av Gambier ( 1910) .

Chazy ( 1910 , 1911 ) försökte utvidga Painlevés arbete till ekvationer av högre ordning och hittade några ekvationer av tredje ordningen med egenskapen Painlevé.

Lista över Painlevé-ekvationer

Dessa sex ekvationer, traditionellt kallade Painlevé I-VI, är följande:

• I (Painlevé):

  ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=6y^{2}+t$

• II (Painlevé):

  ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=2y^{3}+ty+ \alpha$

• III (Painlevé):

  $ty{\ frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=t\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-y{\frac {dy}{dt} }+\delta t+\beta y+\alpha {\frac {y^{3}}{t}}+\gamma {\frac {y^{4}}{t}}$

• IV (Gambier):

  $y{\ frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\ beta +2(t^{2}-\alpha )y^{2}+4ty^{3}+{\tfrac {3}{2}}y^{4}$

• V (Gambier):

  ${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\left( {\frac {1}{2y}}+{\frac {1}{y-1}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{t}}{\frac {dy}{dt}}\\&\quad +{\frac {(y-1)^{2}}{t^{2}}}\left(\alpha y+{\frac {\beta }{y}}\right)+\gamma {\frac {y}{t}}+\delta {\frac {y(y+1)}{y-1}}\\ \end{aligned}}$

• VI (R. Fuchs):

  ${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&={\frac {1}{2}}\ vänster({\frac {1}{y}}+{\frac {1}{y-1}}+{\frac {1}{yt}}\right)\left({\frac {dy}{dt }}\right)^{2}-\left({\frac {1}{t}}+{\frac {1}{t-1}}+{\frac {1}{yt}}\right) {\frac {dy}{dt}}\\&\quad +{\frac {y(y-1)(yt)}{t^{2}(t-1)^{2}}}\left( \alpha +\beta {\frac {t}{y^{2}}}+\gamma {\frac {t-1}{(y-1)^{2}}}+\delta {\frac {t (t-1)}{(yt)^{2}}}\right)\\\end{aligned}}$

Siffrorna $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ är komplexa konstanter. Genom att skala om $y$ och $t$ kan man välja två av parametrarna för typ III, och en av parametrarna för typ V, så dessa typer har egentligen bara 2 och 3 oberoende parametrar.

Singulariteter

Singulariteterna för lösningar av dessa ekvationer är

• Punkten $\infty$ , och
• Punkten 0 för typ III, V och VI, och
• Punkt 1 för typ VI, och
• Eventuellt några flyttbara stolpar

För typ I är singulariteterna (rörliga) dubbla poler av rest 0, och lösningarna har alla ett oändligt antal sådana poler i det komplexa planet. Funktionerna med en dubbelpol vid $z_{0}$ har Laurent-seriens expansion

$(z -z_{0})^{-2}-{\frac {z_{0}}{10}}(z-z_{0})^{2}-{\frac {1}{6}}(z -z_{0})^{3}+h(z-z_{0})^{4}+{\frac {z_{0}^{2}}{300}}(z-z_{0}) ^{6}+\cdots$

konvergerande i någon omgivning av $z_{0}$ (där $h$ är ett komplext tal). Placeringen av stolparna beskrevs i detalj av (Boutroux 1913 , 1914 ). Antalet poler i en boll med radien $R$ växer ungefär som en konstant gånger $R^{5/2}$ .

För typ II är singulariteterna alla (rörliga) enkla stolpar.

Degenerationer

De första fem Painlevé-ekvationerna är degenerationer av den sjätte ekvationen. Närmare bestämt är några av ekvationerna degenerationer av andra enligt följande diagram (se Clarkson (2006) , s.380), vilket också ger motsvarande degenerationer av Gauss hypergeometriska funktion (se Clarkson (2006) , s.372)

				III Bessel
			$\nearrow$		$\searrow$
VI Gauss	→	V Kummer				II Luftig	→	I ett
			$\searrow$		$\nearrow$
				IV Hermite-Weber

Hamiltonska system

Painlevé-ekvationerna kan alla representeras som Hamiltonska system .

Exempel: Om vi ​​sätter

$\displaystyle q=y,\quad p=y^{\prime }+y^{2}+t/2$

sedan den andra Painlevé-ekvationen

$\displaystyle y^{\prime \prime }=2y^{3}+ty+b-1/2$

motsvarar det Hamiltonska systemet

$\displaystyle q^{\prime }={\frac {\partial H}{\partial p}}=pq^{2}-t /2$

$\displaystyle p^{\prime }=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=2pq+b$

för Hamiltonian

$\displaystyle H=p(p-2q^{2}-t)/2-bq.$

Symmetrier

En Bäcklund-transformation är en transformation av de beroende och oberoende variablerna i en differentialekvation som transformerar den till en liknande ekvation. Painlevé-ekvationerna har alla diskreta grupper av Bäcklund-transformationer som verkar på dem, som kan användas för att generera nya lösningar från kända.

Exempel typ I

Uppsättningen lösningar av typ I Painlevé-ekvationen

$y^{\prime \prime }=6y^{2}+t$

påverkas av ordningen 5 symmetri $y\to \zeta ^{3}y$ , $t\to \zeta t$ där $\zeta$ är en femte roten av 1. Det finns två lösningar som är invarianta under denna transformation, en med en pol av ordningen 2 vid 0 och den andra med en noll av ordningen 3 vid 0.

Exempel typ II

I Hamiltons formalism av typ II Painlevé-ekvationen

$\displaystyle y^{\prime \prime }=2y^{3}+ty+b-1/2$

med

$\displaystyle q=y,p=y^{\prime }+y^{2}+t/2$

två Bäcklund-förvandlingar ges av

$\displaystyle (q,p,b)\to (q+b/p,p,-b)$

och

$\displaystyle (q,p,b)\to (-q,-p+2q^{2}+t,1-b).$

Dessa har båda ordning 2 och genererar en oändlig dihedrisk grupp av Bäcklund-transformationer (som i själva verket är den affina Weyl-gruppen av $A_{1}$ ; se nedan). Om $b=1/2$ så har ekvationen lösningen $y=0$ ; att tillämpa Bäcklund-transformationerna genererar en oändlig familj av rationella funktioner som är lösningar, såsom $y=1/t$ , ${ \displaystyle y=2(t^{3}-2)/t(t^{3}-4)}$ , ...

Okamoto upptäckte att parameterrymden för varje Painlevé-ekvation kan identifieras med Cartan-subalgebra för en semisenkel Lie-algebra, så att aktioner av den affina Weyl-gruppen lyfter till Bäcklund-transformationer av ekvationerna. Lie-algebrorna för $P_{I}$ , $P_{II}$ , $P_{III}$ , $P_{IV}$ , $P_{V}$ , $P_{VI}$ är 0, $A_{1}$ , $A_{1} \oplus A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ och $D_{4}$ .

Relation till andra områden

En av huvudskälen till vilka Painlevé-ekvationer studeras är deras relationer med monodromi av linjära system med regelbundna singulariteter ; i synnerhet upptäcktes Painlevé VI av Richard Fuchs på grund av detta förhållande. Detta ämne beskrivs i artikeln om isomonodromisk deformation .

Painlevé-ekvationerna är alla reduktioner av integrerbara partiella differentialekvationer ; se (MJ Ablowitz & PA Clarkson 1991 ).

Painlevé-ekvationerna är alla reduktioner av de självdubbla Yang-Mills-ekvationerna ; se Ablowitz, Chakravarty och Halburd ( 2003 ) .

Painlevé-transcendenterna förekommer i slumpmatristeori i formeln för Tracy–Widom-fördelningen , 2D Ising-modellen , den asymmetriska enkla uteslutningsprocessen och i tvådimensionell kvantgravitation.

Painlevé VI-ekvationen förekommer i tvådimensionell konform fältteori : den följs av kombinationer av konforma block vid både $c=1$ och $c=\infty$ , där ${\ displaystyle c}$ är den centrala laddningen i Virasoro-algebra .

• Ablowitz, M. (2001) [1994], "Painlevé-type equations" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•    Ablowitz, MJ; Clarkson, PA (1991), Solitons, icke-linjära evolutionekvationer och invers spridning, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 149, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38730-9 , MR 1149378
•   Ablowitz, MJ; Chakravarty, S.; RG, Halburd (2003), "Integrable systems and reductions of the self-dual Yang–Mills equations" , Journal of Mathematical Physics , 44 (8): 3147–3173, Bibcode : 2003JMP....44.3147A , doi : 6 10 . /1.1586967 , S2CID 121180295
• Chazy, J. (1910), "Sur les équations différentielles dont l'intégrale générale possède une coupure essentielle mobile", CR Acad. Sci. , Paris, 150 : 456–458
• Chazy, Jean (1911), "Sur les équations différentielles du troisième order et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale a ses points critiques fixes", Acta Math. , 33 : 317–385, doi : 10.1007/BF02393131
•    Clarkson, PA (2006), "Painlevé-ekvationer—icke-linjära specialfunktioner", Ortogonala polynom och specialfunktioner , Lecture Notes in Math., vol. 1883, Berlin: Springer, s. 331–411 , doi : 10.1007/978-3-540-36716-1_7 , ISBN 978-3-540-31062-4 , MR 2243533
•    Clarkson, PA (2010), "Painlevé transcendents" , i Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
•    Conte, Robert, red. (1999), The Painlevé property , CRM Series in Mathematical Physics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98888-7 , MR 1713574
•   Davis, Harold T. (1962), Introduction to Nonlinear Integral and Differential Equations , New York: Dover, ISBN 0-486-60971-5 Se avsnitt 7.3, kapitel 8 och bilagorna
•    Fokas, Athanassios S. ; Dess, Alexander R.; Kapaev, Andrei A.; Novoksjenov, Victor Yu. (2006), Painlevé transcendents: The Riemann-Hilbert approach , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 128, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3651-4 , MR 2264522
• Fuchs, Richard (1905), "Sur quelques équations différentielles linéaires du second order", Comptes Rendus , 141 : 555–558
• Gambier, B. (1910), "Sur les équations différentielles du second order et du premier degré dont l'intégrale générale est à points critiques fixes" , Acta Math. , 33 : 1–55, doi : 10.1007/BF02393211 .
•    Gromak, Valerii I.; Laine, Ilpo; Shimomura, Shun (2002), Painlevé differentialekvationer i det komplexa planet , de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 28, Berlin: Walter de Gruyter & Co., ISBN 978-3-11-017379-6 , MR 1960811
•   Ince, Edward L. (1956), Ordinary Differential Equations , Dover, ISBN 0-486-60349-0
•    Iwasaki, Katsunori; Kimura, Hironobu; Shimomura, Shun; Yoshida, Masaaki (1991), From Gauss to Painlevé , Aspects of Mathematics, E16, Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, ISBN 978-3-528-06355-9 , MR 1118604
•    Nishioka, Keiji (1988), "A not on the transcendens of Painlevé's first transcendent", Nagoya Mathematical Journal , 109 : 63–67, doi : 10.1017/s0027763000002762 , ISSN 71091 , 9MR 61091
•    Noumi, Masatoshi (2004), Painlevé-ekvationer genom symmetri , Translations of Mathematical Monographs, vol. 223, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3221-9 , MR 2044201
•    Noumi, Masatoshi; Yamada, Yasuhiko (2004), "Symmetries in Painlevé equations", Sugaku Expositions , 17 (2): 203–218, ISSN 0898-9583 , MR 1816984
• Painlevé, P. (1900), "Mémoire sur les équations différentielles dont l'intégrale générale est uniforme" (PDF) , Bull. Soc. Matematik. Fr. , 28 : 201–261, doi : 10.24033/bsmf.633
• Painlevé, P. (1902), "Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale est uniforme", Acta Math. , 25 : 1–85, doi : 10.1007/BF02419020
• Picard, E. (1889), "Mémoire sur la théorie des fonctions algébriques de deux variables" (PDF) , J. Math. Pures Appl. 5 : 135-319
• Rozov, N.Kh. (2001) [1994], "Painlevé equation" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•   Tracy, Craig; Widom, Harold (2011), "Painlevé functions in statistical physics", Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences , 47 : 361–374, arXiv : 0912.2362 , doi : 10.2977/PRIMS/38 , S60613 , S60613
•   Umemura, Hiroshi (1989), "On the irreducibility of Painlevé differentialekvationer", Sugaku Expositions , 2 (2): 231–252, MR 0944888
•    Umemura, Hiroshi (1998), "Painlevé-ekvationer och klassiska funktioner", Sugaku Expositions , 11 (1): 77–100, ISSN 0898-9583 , MR 1365704

externa länkar

• Clarkson, PA Painlevé Transcendents , kapitel 32 i NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Joshi, Nalini Vad heter det här för Painlevé?
• Takasaki, Kanehisa Painlevé ekvationer
• Weisstein, Eric W. "Painleve Transcendents" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Painleve Property" . MathWorld .