Injektiv skrov

Den här artikeln handlar om det injektiva skrovet av en modul i algebra. För injicerande skrov av metriska utrymmen, även kallade tight spans, injective kuvert eller hyperkonvexa skrov, se tight span .

I matematik , särskilt i algebra , är det injektiva skrovet (eller det injicerande kuvertet ) av en modul både den minsta injicerande modulen som innehåller den och den största väsentliga förlängningen av den. Injektiva skrov beskrevs först i ( Eckmann & Schopf 1953) .

Definition

En modul E kallas det injektiva skrovet av en modul M , om E är en väsentlig förlängning av M , och E är injektiv . Här är basringen en ring med enhet, men möjligen icke-kommutativ.

Exempel

• En injektionsmodul är ett eget injektionsskrov.
• Det injektiva skrovet för en integrerad domän är dess fraktionsfält ( Lam 1999 , exempel 3.35).
• Det injektiva skrovet för en cyklisk p -grupp (som Z -modul) är en Prüfer-grupp ( Lam 1999 , exempel 3.36).
• Det injektiva skrovet av R /rad( R ) är Homk ₍ R , k ) , där R är en finitdimensionell k - algebra med Jacobson radikal rad( R ) ( Lam 1999 , exempel 3.41).
• En enkel modul är nödvändigtvis soklen på dess injicerande skrov.
• Det injektiva skrovet av restfältet i en diskret värderingsring $(R,{\mathfrak {m}},k)$ där ${\mathfrak {m }}=x\cdot R$ är $R_{x}/R$ .
• I synnerhet det injicerande skrovet av $\mathbb {C}$ i $(\mathbb {C} [[t]],(t) ,\mathbb {C} )$ är modulen $\mathbb {C} ((t))/\mathbb {C} [[t]]$ .

Egenskaper

• Det injektiva skrovet hos M är unikt upp till isomorfismer som är identiteten på M , men isomorfismen är inte nödvändigtvis unik. Detta beror på att det injektiva skrovets kartförlängningsegenskap inte är en fullvärdig universell egenskap . På grund av denna unikhet kan skrovet betecknas som E ( M ).
• Det injektiva skrovet E ( M ) är en maximal väsentlig förlängning av M i den meningen att om M ⊆ E ( M ) ⊊ B för en modul B , så är M inte en väsentlig undermodul till B.
• Injektionsskrovet E ( M ) är en minimal injektionsmodul innehållande M i den meningen att om M ⊆ B för en injektionsmodul B , så är E ( M ) (isomorf till) en submodul till B .
• Om N är en väsentlig submodul av M , så är E ( N )= E ( M ).
• Varje modul M har ett injicerande skrov. En konstruktion av det injektiva skrovet i termer av homomorfismer Hom( I , M ), där jag går igenom idealen för R , ges av Fleischer (1968) .
• Den dubbla föreställningen om ett projektivt hölje finns inte alltid för en modul, men ett platt hölje finns för varje modul.

Ringstruktur

I vissa fall, för R en underring av en självinjicerande ring S , kommer det injicerande skrovet av R också att ha en ringstruktur. Om man till exempel tar S för att vara en hel matrisring över ett fält, och tar R för att vara vilken ring som helst som innehåller varje matris som är noll i alla utom den sista kolumnen, är det injektiva skrovet för den högra R -modulen R S . Till exempel kan man ta R för att vara ringen av alla övre triangulära matriser. Det är dock inte alltid så att det injektiva skrovet på en ring har en ringstruktur, som ett exempel i ( Osofsky 1964) visar.

En stor klass av ringar som har ringstrukturer på sina injicerande skrov är de icke-singulara ringarna . Speciellt för en integrerad domän är ringens injicerande skrov (som betraktas som en modul över sig själv) fältet av fraktioner . De injektiva skroven av icke-singulära ringar ger en analog till ringen av kvoter för icke-kommutativa ringar, där frånvaron av malmvillkoret kan hindra bildandet av den klassiska kvotringen . Denna typ av "ring av kvoter" (som dessa mer allmänna "fraktionsfält" kallas) var pionjärer inom ( Utumi 1956 ), och kopplingen till injektiva skrov erkändes i ( Lambek 1963 ).

Uniform dimension och injektionsmoduler

En R- modul M har ändlig enhetlig dimension (= finit rang ) n om och endast om det injicerande skrovet av M är en ändlig direkt summa av n oupplösliga delmoduler .

Generalisering

Mer allmänt, låt C vara en abelsk kategori . Ett objekt E är ett injicerande skrov av ett objekt M om M → E är en väsentlig förlängning och E är ett injicerande objekt .

Om C är lokalt litet , uppfyller Grothendiecks axiom AB5 och har tillräckligt med injektiver , så har varje objekt i C ett injektiviskt skrov (dessa tre villkor uppfylls av kategorin moduler över en ring). Varje objekt i en Grothendieck-kategori har ett injektivt skrov.

Se även

• Platt hölje , det dubbla konceptet med injektionsskrov.
• Rationellt skrov : Detta är analogen till det injektiva skrovet när man överväger en maximal rationell förlängning .

Anteckningar

•    Eckmann, B.; Schopf, A. (1953), "Über injektiv Moduln", Archiv der Mathematik , 4 (2): 75–78, doi : 10.1007/BF01899665 , ISSN 0003-9268 , MR 0055978
•   Fleischer, Isidore (1968), "A new construction of the injective hull", Canadian Mathematical Bulletin , 11 : 19–21, doi : 10.4153/CMB-1968-002-3 , MR 0229680
•    Lam, Tsit-Yuen (1999), Föreläsningar om moduler och ringar , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0 -387-98428-5 , MR 1653294
•    Lambek, Joachim (1963), "On Utumi's ring of quotients" , Canadian Journal of Mathematics , 15 : 363–370, doi : 10.4153/CJM-1963-041-4 , ISSN 0008-4014X 4 75MR 901
•    Matlis, Eben (1958), "Injective modules over Noetherian rings", Pacific Journal of Mathematics , 8 : 511–528, doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 , ISSN 0030-8730 , MR 009936
• Matsumura, H. Commutative Ring Theory , Cambridge studier i avancerad matematik volym 8.
•    Mitchell, Barry (1965). Teori om kategorier . Ren och tillämpad matematik. Vol. 17. Akademisk press. ISBN 978-0-124-99250-4 . MR 0202787 .
•    Osofsky, BL (1964), "On ring properties of injective hulls", Canadian Mathematical Bulletin , 7 : 405–413, doi : 10.4153/CMB-1964-039-3 , ISSN 0008-4395 , MR 01666
•    Utumi, Yuzo (1956), "On quotient rings", Osaka Journal of Mathematics , 8 : 1–18, ISSN 0030-6126 , MR 0078966

externa länkar

• injektivt skrov (artikel i PlanetMath)
• PlanetMath-sida om moduler av ändlig rang