Algebraiskt kompakt modul

Inom matematiken är algebraiskt kompakta moduler , även kallade rena-injektiva moduler , moduler som har en viss "fin" egenskap som tillåter lösning av oändliga ekvationssystem i modulen med finitära medel . Lösningarna på dessa system tillåter förlängning av vissa typer av modulhomomorfismer . Dessa algebraiskt kompakta moduler är analoga med injektionsmoduler , där man kan utöka alla modulhomomorfismer. Alla injektionsmoduler är algebraiskt kompakta, och analogin mellan de två görs ganska exakt genom en kategoriinbäddning.

Definitioner

Låt $R$ vara en ring och $M$ en vänster $R$ -modul. Betrakta ett system med oändligt många linjära ekvationer

\sum _{j\in J}r_{i,j}x_{j}=m_{i},

där båda mängderna $I$ och $J$ kan vara oändliga, $m_{i}\in M,$ och för varje $i$ antalet icke-noll $r_{i,j} \in R$ är ändlig.

Målet är att avgöra om ett sådant system har en lösning , det vill säga om det finns element $x j$ av $M$ så att alla ekvationer i systemet samtidigt är uppfyllda. (Det krävs inte att endast ändligt många $x j$ är icke-noll.)

Modulen M är algebraiskt kompakt om, för alla sådana system, om varje delsystem som bildas av ett ändligt antal av ekvationerna har en lösning, så har hela systemet en lösning. (Lösningarna på de olika delsystemen kan vara olika.)

Å andra sidan är en modulhomomorfism $M \to K$ en ren inbäddning om den inducerade homomorfismen mellan tensorprodukterna $C \otimes M \to C \otimes K$ är injektiv för varje rätt $R$ -modul $C$ . Modulen $M$ är reninjektiv om någon ren injektiv homomorfism $j : M \to K$ delas (det vill säga det finns $f : K \to M$ med $f\circ j=1_{M}$ ) .

Det visar sig att en modul är algebraiskt kompakt om och bara om den är rent injektiv.

Exempel

Alla moduler med ändligt många element är algebraiskt kompakta.

Varje vektorrum är algebraiskt kompakt (eftersom det är rent injektivt). Mer generellt är varje injektionsmodul algebraiskt kompakt, av samma anledning.

Om R är en associativ algebra med 1 över något fält k , så är varje R -modul med ändlig k - dimension algebraiskt kompakt. Detta, tillsammans med det faktum att alla finita moduler är algebraiskt kompakta, ger upphov till intuitionen att algebraiskt kompakta moduler är de (möjligen "stora") moduler som delar de "små" modulernas fina egenskaper.

Prüfer -grupperna är algebraiskt kompakta abelska grupper (dvs. Z -moduler). Ringen av p -adiska heltal för varje primtal p är algebraiskt kompakt som både en modul över sig själv och en modul över Z. De rationella talen är algebraiskt kompakta som en Z -modul. Tillsammans med de oupplösliga ändliga modulerna över Z är detta en komplett lista över oupplösliga algebraiskt kompakta moduler.

Många algebraiskt kompakta moduler kan produceras med hjälp av den injektiva samgeneratorn Q / Z för abelska grupper. Om H är en högermodul över ringen R , bildar man den (algebraiska) teckenmodulen H * bestående av alla grupphomomorfismer från H till Q / Z . Detta är då en vänster R -modul, och *-operationen ger en trogen kontravariant funktion från höger R -moduler till vänster R -moduler. Varje modul av formen H * är algebraiskt kompakt. Dessutom finns det rena injektionshomomorfismer H → H **, naturliga i H . Man kan ofta förenkla ett problem genom att först använda *-funktion, eftersom algebraiskt kompakta moduler är lättare att hantera.

Fakta

Följande villkor motsvarar att M är algebraiskt kompakt:

För varje indexuppsättning I kan additionskartan M ^(I) → M utökas till en modulhomomorfism M ^I → M (här betecknar M ^{(I) den} direkta summan av kopior av M , en för varje element av I ; M ^I betecknar produkten av kopior av M , en för varje element av I ).

Varje oupplöslig algebraiskt kompakt modul har en lokal endomorfismring .

Algebraiskt kompakta moduler delar många andra egenskaper med injektionsobjekt på grund av följande: det finns en inbäddning av R -Mod i en Grothendieck-kategori G under vilken de algebraiskt kompakta R -modulerna exakt motsvarar de injektiva objekten i G .

Varje R -modul är elementär ekvivalent med en algebraiskt kompakt R -modul och en direkt summa av oupplösliga algebraiskt kompakta R -moduler.

CU Jensen och H. Lenzing: Model Theoretic Algebra , Gordon and Breach, 1989