Ren undermodul

Inom matematiken , särskilt inom området modulteori , ger begreppet ren submodul en generalisering av direkt summand , en typ av särskilt väluppfostrad del av en modul . Rena moduler är komplementära till platta moduler och generaliserar Prüfers uppfattning om rena undergrupper . Medan platta moduler är de moduler som lämnar korta exakta sekvenser exakt efter tensoring , definierar en ren submodul en kort exakt sekvens (känd som en ren exakt sekvens ) som förblir exakt efter tensoring med vilken modul som helst. På samma sätt är en platt modul en direkt gräns för projektiva moduler , och en ren exakt sekvens är en direkt gräns för delade exakta sekvenser .

Definition

Låt R vara en ring (associativ, med 1), låt M vara en (vänster) modul över R , låt P vara en undermodul till M och låt i : P → M vara den naturliga injektivkartan . Då P en ren submodul av M om, för någon (höger) R -modul X , den naturligt inducerade kartan id _X ⊗ i : X ⊗ P → X ⊗ M (där tensorprodukterna tas över R ) är injektiv.

Analogt, en kort exakt sekvens

$0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0$

av (vänster) R -moduler är ren exakt om sekvensen förblir exakt när den spänns med någon (höger) R -modul X . Detta motsvarar att säga att f ( A ) är en ren submodul av B.

Likvärdiga karakteriseringar

Renheten hos en undermodul kan också uttryckas elementvis; det är egentligen ett påstående om lösbarheten av vissa linjära ekvationssystem. Specifikt P ren i M om och endast om följande villkor gäller: för vilken m -by- n - matris som helst ( a _ij ) med poster i R , och vilken som helst uppsättning y ₁ , ..., y _m av element i P , om det finns element x ₁ , ..., x _n i M så att

$\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=y_{i}\ qquad {\mbox{ för }}i=1,\ldots ,m$

då finns det också element x ₁ ′, ..., x _n ′ i P så att

$\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x'_{j}=y_{ i}\qquad {\mbox{ för }}i=1,\ldots ,m$

En annan karakterisering är: en sekvens är ren exakt om och endast om den är den filtrerade kogränsen (även känd som direkt gräns ) för delade exakta sekvenser

$0\longrightarrow A_{i}\longrightarrow B_{i}\longrightarrow C_{i}\longrightarrow 0.$

Exempel

• Varje direkt summering av M är ren i M . Följaktligen är varje delrum i ett vektorrum över ett fält rent.

Egenskaper

( Lam & 1999, s.154 ) Antag

$0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0$

är en kort exakt sekvens av R -moduler, då:

1. C är en platt modul om och endast om den exakta sekvensen är ren exakt för varje A och B . Av detta kan vi dra slutsatsen att över en von Neumann vanlig ring är varje submodul av varje R -modul ren . Detta beror på att varje modul över en von Neumann vanlig ring är platt. Det omvända är också sant. ( Lam & 1999, s.162 )
2. Antag att B är platt. Då är sekvensen ren exakt om och endast om C är platt. Av detta kan man sluta sig till att rena submoduler av platta moduler är platta.
3. Antag att C är platt. Då B platt om och bara om A är platt.

Om $0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\ longrightarrow 0$ är ren-exakt, och F är en ändligt presenterad R -modul, då kan varje homomorfism från F till C lyftas till B , dvs till varje u : F → C finns v : F → B så att gv = u .

•   Fuchs, László (2015), Abelian Groups , Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 9783319194226

•    Lam, Tsit-Yuen (1999), Föreläsningar om moduler och ringar , Graduate Texts in Mathematics No.-Ver Berlin: Springer Berlin, New York: , ISBN 978-0-387-98428-5 , MR 1653294